用课本结论简解九道高考题或竞赛题

一、用公式sin3α=3sinα-4sin3α简解题设中含"B=2A"的两道解三角形的高考题普通高中课程标准实验教科书《数学4·必修·A版》第138页的习题B组第1题是:证明:(1)sin3α=3sinα-4sin3α;(2)cos3α=4cos3α-3cosα.笔者发现运用上面的第一个公式"sin3α=3sinα-4sin3α"可以简解题设中含"B=2A"的解三角形问题.定理1:在△ABC中,若B=2A,则cos A=b/(2a),a(a+c)=     

不要满足“第一答案”的安慰——听课及听课后的调查引发思考

应市教研室的邀请,笔者参加了市里组织的高三教学督导听课.其中,一位数学老师的一个教学片段让人深思.教学片段实录:教师出示题目(这是一节"三角变换与解三角形"的复习课,课前教师已将复习讲义发给学生,此题为讲义上例题):在斜三角形中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且b~2-a~2-c~2/ac=cos(A+C)/sin A cos A.     

一个三角形性质的应用

<正> 在△ABC中,A+B<π,则0cos(π-B).∴ cos A+cos B>0. (*)(*)式说明△ABC中任两角的余弦之和均大于零,利用三角形的这一性质解一类三角求值问题,既可以避免繁烦的角的范围讨论,又可以防止增解,达到迅速解题目的.下面举例说明.     

Mollweide公式在解三角形内三角函数题的应用

德国天文学家K·B·Mollweide(1774—1825)发现的Mollweide公式指出:若△ABC的三内角A、B、C所对边分别为a、b、c,则有(a b)/c=(cos(A-B)/2)/(sin(C/2)) ,(a-b)/c=(sin(A-B)/2)/(cos(C/2))本公式揭示了三角形内六个基本元素(即三边和三内角)间的关系,因此在解三角形内的三角问题、尤其是解某些同时涉及边与角的三角函数题时,具有其独特的作用.本文先给出Mollweide公式的一个推论,再举例说明它们的应用.     

一类三角形问题的两种常规解法

三角形的问题一直是高考的重点,纵观多年的高考试卷,很多题目都是围绕三角形的角和边进行拓展,如何解决这一类的问题,严谨踏实不丢分,作者凭借多年的经验提出精彩的阐述,希望对同学们有所帮助.题:△ABC中,角A,B,C所对边分别为a,b,c,tan C=sin A+sin B cos A+cos B,(1)求角C的大小;(2)若△ABC外接圆的直径为1,求a2+b2的取值范围.这是一道高三复习三角知识时     

理解和把握数学的一种重要思想（续）——基本量思想

3．3．4 解三角形问题 例8 （2007年上海文理卷第17题）在AABC中,a,b,C分别是三个内角A,B,C的对边．若a=2,C=π/4,cos B/s=2√5/5,求ΔABC的面积S。     

对新教材解斜三角形问题进行研究性学习的几点想法

为了更好地了解新教材编写的意图 ,帮助学生有效地掌握新教材解斜三角形部分知识 ,把研究性学习真正落实到实处 ,根据笔者教授该教材的经验 ,特提出指导学生进行研究性学习的几点想法 ,供同行们参考 .想法 1　善于将公式变形由于正弦定理是以连等的形式出现的 ,所以常常把比值令成 k( k>0 ) ,从而将它变形成 a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C和sin A=ak,sin B=bk,sin C=ck两种形式 ,这两种形式在具体解题时很有用 .实际上比值 k有明显的几何意义 ,它是三角形外接圆的直径 .同时要注意余弦定理的变形形式 :cos A=b2 + c2 - a22 bc ,这样 ,共有…     

解三角函数题的角的误区

三角函数问题中由于角的处理不当,从而导致解题失误是解三角函数题的常见病;为引起学生注意并帮助学生对此有更深刻的了解,本文就结合一些具体的例子来加以剖析与说明.一、解的概念不清【例1】若α、β为第三象限角,且α>β,则()(A)cosα>cosβ(B)cosα相似文献   

一题多解,培养学生思维能力——以2016年高考数学题为例

<正>下面以2016年高考理科数学新课标Ⅱ卷中的第13小题来举例,让大家体会一下在解三角形类型题中一题多解的思路和思维能力的培养。例△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=4/5,cos C=12/13,a=1,则b=____。解法一:直接根据余弦定理,列出方程组,解未知数。根据余弦定理有     

解题从审题开始

审题是解题的基础,是正确、迅速解题的前提.学生常常对此掉以轻心,致使解题失误或陷入繁冗之中,影响解题速度,增多失分.本文对高考数学解题中,审题时要注意的几个环节综述如下.一、审视条件条件是解题的主要材料,充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路.审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含的信息,发挥隐含条件的解题功能.例1(2009全国Ⅱ理)设.△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c,cos(A-C)+cosB=3/2,b~2=ac,求B.分析由cos(A-C)+cosB=3/2,易想到先将B=π     

垂足三角形外接圆半径之间的一个恒等式

关于垂足三角形外接圆半径之间有下面一个恒等式:定理设△DEF是锐角△ABC的垂足三角形,且BC=a,CA=b,AB=c,△ABC的面积,外接圆半径,内切圆半径分别为?,R,r,若△AEF,△BDF,△CDE的外接圆半径依次为R A,BR,RC,则cot cot cotA2B2C2R A+R B+RC2(R r)r=??.(1)证明如图,由文[1]知EF=a cos A,FD=b cos B,DE=c cos C,∵A2sinREF=A cos2sina A=A2sin cos,R A A=A H D AE BFC∴R A=R cos A.同理RB=R cos B,RC=R cos C.令cot cot cot,A2B2C2K=R A+R B+RC在△ABC中应用常见恒等式:?=rs,cot2422∑A=s?R?r?r,csc2422…     

一个连等式结论的妙用

利用性质“若实数x=y=z,且xyz=1,则x=y=z=1”,可妙解下列两例:例1在△ABC中,设命题p:sina B=bsin C=sinc A,命题q:△ABC是等边三角形,那么命题p是命题q的().(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分又不必要条件(2005年高考江西卷(文史)试题)解必要性显然,下面看充分性.对命题p三边分母同乘以2R,得ba=bc=ac.由于ab·cb·ac=1,所以ab=cb=ac=1.即a=b=c,故充分性成立.选C.注本题用等比性质解也很简单:ab=cb=ac=ba cb ac=1,所以a=b=c.例2△ABC中,ab2cos A=bc2cos B=ca2cos C,判断此三角形的形状.解原式三边除…     

相似三角形错解分析

在解答相似三角形问题时,有些同学由于对所学概念和定理理解不透彻,解题时经常会出现错解.为帮助同学们弄清错解的原因,现将几种常见错误归纳如下.一、用错比例关系例1如图1,梯形A B CD的对角线交于点O,过点O作EF∥A D,分别交两腰A B、D C于E、F两点.求证:EO=O F.错解:因为EF∥     

构造单位圆,巧解三角题

有些三角问题 ,若根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,巧妙地构造单位圆 ,化数为形 ,利用单位圆的直观性 ,便可简捷地求得问题的解 .例 1　已知sinA +sin 3A+sin 5A =a ,cosA +cos 3A +cos 5A =b ,求证 :当b≠ 0时 ,tan 3A =ab.证明　如图 1,因点A′(cosA ,sinA)、B′(cos 3A ,sin 3A)、C′(cos 5A ,sin 5A)均在单位圆上 ,连结OA′、OB′、OC′ ,则有∠A′OB′ =∠B′OC′=2A ,于是｜B′A′｜ =｜B′C′｜ , A′B′C′为等腰三角形 ,其重心必在B′O上 .又 A′B′C′的重心坐标x =13 (cosA +cos 3A +cos 5A) =13 b ,y…     

小题小做 事半功倍——谈客观题解题技巧

客观题的解题基本原则是 :小题不能大做 ,解题的基本策略是 :巧做 .常用方法有直接求解法、定义法、数型结合法等 .具体解题时 ,除了用单一的方法来解题外 ,有时还需要综合运用几种方法来解 ,请读者通过下面的练习仔细体会 .1.集合P ={ 1,4 ,9,16 ,… } ,若a∈P ,b∈P ,则a b∈P ,则运算 可能是 (　　 ) .A .加法　　B .减法　　C .除法　　D .乘法2 .sinαcosα =38,且 π4 <α <π2 ,则cosα-sinα的值是(　　 ) .A .12 　　B .- 12 　　C .14 　　D .- 143.已知f(x) =ax3 +3x2 +2 ,若f′(- 1) =4 ,则a的值等于 (　　 ) .A .193　…     

转化——数学解题常备策略

转化 ,数学解题常备的重要策略 ,甚至可以这样说 ,任何一个数学问题都是通过数或形的逐步转化来揭示出未知与已知的联系而获得解决的 .本文旨在从几个不同的侧面 ,说明转化策略在解题中的应用 .一、常量向变量转化用抽象的字母代替常数 ,就容易突显各种联系 ,便于整体把握 ,是避繁就简之道 .例 1　设 9cos A +3sin B +tan C =0 1,sin2 B - 4cos A tan C =0 2 .求证 :|cos A |≤ 16 .析与解 :“变元”太多 ,感到难以下手 .事实上在 1中视 3为方程 cos A x2 +sin Bx +tan C= 0的根 .若 cos A =0 ,结论显然成立 ;若 cos A≠ 0 ,由方程 2知…     

三角函数模拟训练题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.在△ABC中,sinAcosC<0,则△ABC是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定2.函数(x)f=asinx b的最大值是A.a b B.｜a｜ b C.｜a b｜D.｜a｜ ｜b｜3.若α![0,2π),且1 cosα 1-cosα=sin-α"2"22cosα,则α的取值范围是2A.[0,2π)B.[π,π)C.[0,π)D.[π,π)224.设a=cos6°-1"3sin6°,b=2tan13°c=221 tan213°,"1-cos50°,则有2A.a>b>c B.c>b>a C.b>c>a D.b>a>c5.若y=2cosωx在[0,23]上是递减的且有最小值π1,则ω的值可以是A.2B.1C.3D.1236.函数(x)=cos x sin x的图像中相邻的两条f2255…     

解答三角函数题常见易错点扫描

错因 涉及含有三角函数问题的集合的表示方法以及两个集合的交集的定义与求法问题,关键是结合题目条件确定相关的集合后再加以运算．以上错解没有充分考虑集合B中函数值y=cos x中的自变量x的取值限制,直接结合余弦函数得到-1≤y≤1,而实际上这里x∈A,求出B={cos 1,1}是解题的关键．     

两道高考题的简解

1.设ΔA BC的内角A、B、所对的边长分别为、b、c,且Ca a cos B=3,b sin A=4,求(2008年全国卷Ⅰ文(17)(Ⅰ)).a解:∵sina A=sinbB,b sin A=4,∴.又,故a sin B=4a cos B=3a2sin2B+a2cos2B=42+32,即a2=25,∴a=5.2.双曲线的中心为原点,焦点在x轴上,两条渐近线分别为l1、l2,经过右焦     

三角函数中角的错用

<正> 在三角函数中,关于角的问题,若处理不当,则容易导致解题失误.请看下面几个例子.例1 若α、β为第三象限角,且α>β,则( )(A)cosα>cos β (B)cos α相似文献