浅谈学生问题意识的培养

<正>一、问题的提出学习了高中数学选修4-4"极坐标与参数方程"之后,年级进行了一次周考,其中的一道填空题如下:过点P(4,3)的直线l_1的参数方程为x=4+6/13^(1/2)t,y=3+4/13(1/2)t,y=3+4/13^(1/2)t(t为参数),l_1与直线l_2:x+y-2=0的交点为Q,求|PQ|.测试结果是全年级96.8%的答案是13(1/2)t(t为参数),l_1与直线l_2:x+y-2=0的交点为Q,求|PQ|.测试结果是全年级96.8%的答案是13^(1/2)2,正确作答的不到4%.调查走访学生,回     

求与两条平行直线平行的直线方程的简便方法

我们知道,若两条平行直线的方程为,l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2)则ax+by+c_1+λ(ax+by+c_2)=0(λ≠0,λ≠-1)是与l_1、l_2都平行的直线l_3的方程。设M(x_0,y_0)是l_3上任一点,那么ax_0+by_0+c_1+λ(ax_0+by_0+c_2)=0(?)λ=-((ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)) (1)因此|λ|表示l_3到l_1的距离与l_3到l_2的距离之比。当λ>0时,从(1)知(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)<0,这时,l_3介于l_2、l_3之间;当λ<0时,由(1)知,(ax_0+by_0+c_1)/(ax_0+by_0+c_2)>0,这时,l_3位于l_1、l_2之外。这样,我们推出下列有用的结论。定理:若两条平行直线l_1:ax+by+c_1=0,l_2:ax+by+c_2=0(c_1≠c_2),则到l_1的距离与到l_2的距离之比为|λ|的直线l_3的方程为ax+by+c_1+λ(ax+     

错在哪里

题:已知两条直线l_1:x+(1+m)y=2-m,l_2:2mx+4y=-16。(1)当m为何值时,l_1与l_2相交;(2)求直线l_1和l_2交点的轨迹。解 (1)将两直线的方程组成方程组 x+(1+m)y=2-m 2mx+4y=-16 这时 A_1/A_2=1/2m,B_1/B_2=1+m/4。当A_1/A_2≠B_1/B_2 解得m≠1或m≠-2 (2)将两直线的方程组成方程组,消去参数m,得:x~2+xy-2y~2-2x-10y-8=0 即(x-y-4)(x+2y+2)=0     

直线的方程求法初探

<正>求直线方程是解析几何中最常见的问题,我们知道,直线方程有五种不同的形式,在求直线方程时,选择恰当的形式会使解题更迅速。本文用一道例题来谈谈直线方程的不同求法及其各自的特点。例题已知直线l经过点P(3,1),且被两平行直线l_1:x+y+1=0和l_2:x+y+6=0截得的线段之长为5,求直线l的     

关于倾斜角为α=kπ/4的直线对称的曲线方程

倾斜角为a=(kπ)/4的直线有四条l_1:x=a,l_2:y=b,l_3:x y-b=0,l_4:x-y b=0. 设(x_0,y_0)关于直线Ax By C=0的对称点为(x′,y′).应用对称点坐标公式可分别求得关于l_1-l_4的对称点坐标:     

提高教学有效性的若干思考

<正>提高数学教学的有效性,涉及的方面很多.笔者就以下几点谈一些自己的思考.一、教师个人良好的素质是实施有效教学的根本和源头例1(苏教版必修2第84页思考题)已知直线l_1:x+y+1=0,l_2:x-2y+4=0,那么方程x+y+1+λ(x-2y+4)=0(λ为任意实数)表示的直线有什么特点?过去遇到这个问题,一般都是直接给出答案:该方程表示经过l_1与l_2交点(-2,1)的     

对一道例题解法的商榷——兼谈平面上两条直线位置关系的判定

我们认为,高级中学《解析几何》课本(甲)第47页例2的解法有不妥之处,为了便于说明问题,现将题目及解法抄录如下。例2 已知两条直线: l_1:x+my+6=0 l_2:(m-2)x+3y+2m=0当m为何值时,l_1与l_2(i)相交;(ii)平行;(iii)重合。解:将两直线的方程组成方程组 x+my+6=0 (m-2)x+3g+3m=0这时,A_1/A~2=1/(m-2),B_1/B_2=m/3,C_1/C_2=6/2m.当     

异面直线距离的一个公式及应用

定理:l_1与 l_2为异面直线,l_1上两点 A、B 到 l_2的距离分别为 a、b,二面角 A-l_2-B 为θ,则 l_1与 l_2间的距离 d=absinθ/(a~2+b~2-2abcosθ)~(1/2)     

初等数学教材研究一例——关于直线束方程的备课笔记

定理设l_1:A_1X+B_1Y+C_1=0;l_2:A_2X+B_2Y+C_2=0是相交的两条直线,那么l:A_1X+B_1Y+C_1+λ(A_2X+B_2Y+C_2)=0(1)是经过l_1和l_2交点的直线束方程(不包括直线l_2),式中的λ是任意常数。学生学习这段教材照理不应当出现困难,但通常的教材和参考资料中,对此定理的证明不符合学生的思路,使得学生只能被动的接受,得不到多少新的启发,相反地还留下了不少疑问,并且这些疑问在以后的教材中亦不能得到妥善的解决。因此,对这个定理必须很好的进行研究。这个定理可以分成两个部分:(Ⅰ)一条直线l的方程如果具有(1)的形状,那么它一定经过l_1、l_2的交点;(Ⅱ)一条直线l如果经过l_1、l_2的交点(l_2除外),那么它的方程一定可以写成(1)的形状。     

旧问题 新探讨

思维是数学的心脏,问题是数学得以发展的源泉,下面我们对一个旧问题进行思考和探究.问题1 一直线 l 被两直线 l_1:4x+y+6=0和l_2:3x-5y-6=0截得的线段 MN 的中点 P 恰好是坐标原点,求直线 l 的方程.解法1:常规解法.设直线 l 与 l_1、l_2分别交于 M、N 两点,设点 M 坐标为(x_0,y_0),则点 N 的坐标为(-x_0,-y_0).     

要考虑特殊情况

在六年制重点中学数学课本《解析几何》的第47页上,有这样一个例题: 已知两条直线: l_1:x+my+6二0 l_2:(m一2)x+3y+2m=0,当二为何值时,l_1与l_2(i)相交,(ii)平行,(iii)重合。     

平面内的点到直线距离公式的应用例析

<正>在平面内,已知点P(x_0,y_0),直线l:Ax+By+C=0,则点P到直线l的距离公式d=|Ax-By+C|/(A²+B2+B²)2)^(1/2)。解析几何中的轨迹问题、最值问题、曲线与直线的位置关系等都与点到直线的距离有关。因此,应用点到直线的距离公式能够解决许多重要问题。一、求轨迹方程例1求两条直线l_1:3x+4y+1=0,l_2:5x+12y-1=0的交角平分线方程。     

对中点坐标公式的等价性思考

<正>解析几何中经常出现与中点坐标公式有关的问题.奇怪的是,在三点共线的前提下运用中点横坐标公式,与运用中点纵坐标公式有时得出的结果不一样,这是为什么呢?一、案例呈现例1 过点P(0,1)作直线l与直线l_1:2x+y-8=0和l_2:x-3y+10=0分别交于A、B两点,线段AB的中点为P,求直线l的方程.解法1 (1)若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,与l_1\,l_2的方程联立方程组,可     

例谈高考解析几何题中参数的考查与运用

<正>一、用直线的斜率作参数例1(2013年浙江卷)如图1,点P(0,-1)是椭圆C_1:x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的一个顶点,C_1的长轴是圆C_2:x~2+y~2=4的直径.l_1,l_2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l_1交圆C_2于A,B两点,l_2交椭圆C_1于另一点D.(1)求椭圆C_1的方程;(2)求△ABD面积取最大值时直线l_1的方程.     

直线与椭圆相切条件的几种几何解释

受直线与圆的位置关系判断方式有代数法和几何法两种的启发,笔者从直线l:Ax+By+C=0与椭圆E:x2/a2+y2/b2=1相切的条件"a2A2+b2B2=C2"出发,通过代数式的变形,发现了有趣的几何意义,在此与大家共享.1结论     

用平面几何知识解决解析几何问题

<正>解答平面解析几何题往往运算量较大,而有时用平面几何知识却能减少运算量.下面举例说明这一解题方法.例1 设直线l_1:a_1(x+1)+b_1y=0,l_2:a_2(x-1)+b_2y=0,满足a_1a_2+b_1b_2=0,求l_1与l_2交点P的轨迹方程.分析本题中有四个参数,若直接求出交点P的坐标,再消去参数得出所求轨迹方程,技巧强,运算量大.而充分挖掘题目的隐含条件,运用平面几何知识,可获得简解.解由条件可知,直线l_1、l_2分别过定点A(     

圆锥曲线中的一个四点共圆性质

正文[1]给出了直线与圆锥曲线位置关系的一个统一性质,笔者进一步探究,由文[1]中的性质推导得到了圆锥曲线中的一个四点共圆性质.文[1]中性质1已知椭圆Mx~2+Ny~2=1(M0,N0,M≠N)与直线l_1交于A、B两点,与直线l_2交于C、D两点,且A、B、C、D四点横坐标均不相同,若l_1与l_2的斜率互为相反数,则直线AC与直     

利用变式训练提高学生的解题能力

<正>函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型,它一直是初中阶段数学学习的一个重要内容.一次函数是较为简单但应用广泛的一种函数,本文力图对一道简单的题目通过变式训练的方式,层层递进,提高学生分析问题、解决问题的综合能力.例如图1,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,直线l_1:y=-(4/3)x+b与x轴的正半轴交于点A(6,0),与直线l_2:y=kx交于点B,     

圆锥曲线的一个统一性质

笔者在利用“几何画板”数学软件探讨圆锥曲线切线性质时,发现如下结论：已知过点E(m,0)的直线交抛物线y~2=2px (p＞0)(或椭圆(x~2)/(a~2) (y~2)/(b~2)=1(a＞b＞0,m≠0)或双曲线(x~2)-(y~2)/(b~2)=1(a＞0,b＞O,m≠0))于A、B两点,过点A、B且与抛物线(或椭圆或双曲线)相切的两直线为l_1、l_2,l_1与l_2的交点轨迹记为C,在C上任取一点M,则AM、EM、BM的斜率成等差数列．     

对一道作业题的探究

在学习三角函数的内容中,笔者布置了一道数学作业题,题目如下:在△ABC中,对应三边长分别为a,b,c,D是边BC上一点,AD⊥BC,垂足为D,且AD=BC=a,求b/c+c/b的最大值.学生作业交上来,方法很多,展示如下:解法一:由于AD=a≥BD,AD≥CD,∴0相似文献