正n边形内接三角形的个数

定义　平面上 ,以凸n边形Q的顶点作为顶点的凸r边形 (3 ≤r≤n)称为Q的内接r边形 .命题 1　正n边形有16n(n - 1 ) (n - 2 )个内接三角形 ,其中互不全等的内接三角形有 n2 +31 2 个 ,亦即〈n21 2 〉个 .([x]表示不大于x的最大整数 ,x∈R ;〈x〉表示最接近x的整数 ,x∈R ,x≠n +12 ,n∈Z)证明 :正n边形Q的内接三角形一一对应于Q的顶点集S的三元子集 ,由相等原理[1] 知Q的内接三角形个数M =C3n=16n(n - 1 ) (n - 2 ) .如图 1 ,设△ABC为Q的内接三角形 ,A、图 1B、C按逆时针方向排列 ,设其外接圆周长为n ,依逆时针方向的弧长AB =n1,BC …     

过抛物线顶点的内接三角形的一个性质

性质：直线,交抛物线y^2=2px（p〉0）异于顶点O的两点A、B,（1）若直线,与x轴交点在原点与点（2p,0）之间,则抛物线内接三角形AOB为钝角三角形;（2）若直线,与x轴交点为（2p,0）,则抛物线内接三角形AOB为直角三角形：（3）若直线,与x轴交点在点（2p,0）右侧,则抛物线内接三角形AOB为锐角三角形。     

抛物线的内接三角形

如图1,抛物线y=ax2 bx c(a≠0),当△=b2-4ac>0时,它与x轴必有两个交点.设两交点为A(x1,0)、B(x2,0),抛物线顶点为P,我们把△PAB叫做抛物线的内接三角形.由抛物线的对称性可知它是等腰三角形.它的形状、大小由P、A、B三点坐标确定.那么该三角形形状与抛物线系数a、6、c有怎样的内在联系呢?     

圆内接四边形的垂心及其性质

众所周知 ,三角形的三条高所在的直线必相交于同一点 ,这个点称为三角形的垂心 .在△ABC所在的平面内 ,以它的外心O为原点建立直角坐标系xOy ,设△ABC三顶点A、B、C的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3) ,其垂心H的坐标为 (xH,yH) ,那么容易推得xH = 3i=1xi,yH = 3i=1yi.这就是三角形的垂心的坐标公式 .据此 ,运用类比方法 ,我们可以建立圆内接四边形的“垂心”概念 ,并探讨其性质 .定义　设四边形ABCD内接于⊙O ,以圆心O为原点建立直角坐标系xOy ,设顶点A、B、C、D的坐标分别为 (x1,y1)、(x2 ,y2 )、(x3,y3)、(x4 ,y4 ) ,…     

抛物线y=ax^2的若干性质

如所周知,将抛物线 y=ax~2(a≠0 (1)平移,可得抛物线y=ax~2 bx c (2)我们将顶点在抛物线上的三角形叫做抛物线的内接三角形.性质1 若抛物线(1)和(2)的内接△A_1A_2A_3和△B_1B_2B_3的顶点的横坐标分别相等,则这两个三角形的面积相等.证明:设顶点的横坐标依次为 x_1,x_2,x_3,由     

一道初中几何竞赛题之别证

《 中学数学月刊》1997年第2期上介绍了第十一届江苏省初中数学竞赛试题及解答.其中第三道试题为: 设△ABC三边上的三个内接正方形（有两个顶点在三角形的一边上,另两个顶点分别在三角形另两边上）的面积都相等.证明:△ABC为正三角形. 这里,笔者给出上述赛题的另一种证法. 证明 如图1,设一边在BC边上的内接正方形DEFG的边长为x.则由△AGF∽△ABC.可得上x/a=(h_a-x)/h~a,于是x=     

等腰直角三角形内接正方形的问题

<正>本文约定:若正方形的两个相邻顶点在三角形的同一条边上,其余两个顶点分别在三角形的另两条边上,则称该正方形为三角形在该边上的内接正方形.显然,等腰Rt△ABC中,∠A=∠B=45°,∠C=90°,AC=BC=a,则S_(△ABC)=a²/2.关于等腰直角三角形内接正方形一般有两种情形:(1)当正方形PMNQ为等腰Rt△ABC斜边AB上的内接正方形时,如图1.     

抛物线内接三角形形状的数值特征的证明及应用

如图1,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0),当Δ=b2-4ac>0时,它与x轴有两个交点,设这两个交点为A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为P,我们把△PAB叫做抛物线的内接三角形,因为抛物线是轴     

关于内接于三角形的正三角形问题

定义　若正三角形的三个顶点分别在已知三角形的三条边上 ,则称这个正三角形为(已知三角形的 )内接正三角形 .对于任意给定的一个三角形 ,它是否存在内接正三角形 ?若存在 ,有多少个 ?本文回答了这些问题 ,同时还给出了内接正三角形的边长公式等重要结论 .定理　任意三角形都存在内接正三角形 .已知 :△ABC是任意三角形 .求作 :正三角形 EFG.其中 E,F,G分别在三边 BC,CA,AB上 .图 1分析　假设正三角形 EFG已经作出 (如图 1) ,则由正弦定理知BEsin y=EGsin B,ECsin x=EFsin C,由此得 BEEC=sin Csin ysin Bsin x. (* )可见△ E…     

海伦公式的行列式表示

我们知道,三角形的面积可用它的顶点坐标的行列式表示:设△ABC三个顶点坐标为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则三角形面积为: 由于三角形的边长也可以用它的顶点坐标不表示,BC=a,AC=b,AB=c,有     

2007年全国初中数学联赛

第一试一、选择题(每小题7分,共42分)1.已知x、y、z满足2x=y3-z=z+5x.则5yx+-2zy的值为().(A)1(B)31(C)-31(D)212.当x分别取值20107,20106,…,21,1,2,…,2006,2007时,计算代数式11-+xx22的值,将所得的结果相加,其和等于().(A)-1(B)1(C)0(D)20073.设a、b、c是△ABC的三边长,二次函数y=a-2bx2-cx-a-2b在x=1时取最小值-85b.则△ABC是().(A)等腰三角形(B)锐角三角形(C)钝角三角形(D)直角三角形4.已知锐角△ABC的顶点A到垂心H的距离等于它的外接圆的半径.则∠A的度数是().(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°5.设K是△ABC内任意一点,△KA…     

三角形内接三角形周长最小值及其应用

<正>本文探求三角形内接三角形周长的最小值,并利用其最小值得出两个有趣的定理．定理1如图1,△DEF的三个顶点分别在三角形△ABC的三边上,AH是△ABC的BC边上的高,■,则△DEF周长最小值为2AHsinθ.     

一个优美结论的几何本质——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的再探讨

《数学通报》2013年第2期刊登了《一个优美的结论——椭圆内接直角三角形斜边恒过定点的探讨》[1]一文,笔者读后觉得意犹未尽.首先这个问题的几何本质是什么,其次这个问题还可以再拓展,即椭圆内接三角形两边斜率之积为非零常数(不等于b2/a2),则第三边恒过定点.文[1]给出定理:"已知Rt△MAN的三个顶点均在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上,其中直角顶点A(x0,y0),则斜边MN所在直线恒过定点     

椭圆内接三角形一个性质的移植

文[1]研究了有两边与轴夹等角的椭圆内接三角形的性质,证明了 定理设△ABC内接于椭圆,则其两边AB和AC与椭圆的一条对称轴夹等角的充要条件是:边BC和切椭圆于点A的直线l与椭圆的对称轴夹等角. 本文拟将这一结论移植到抛物线和双曲线上. 定理 1设△ABC内接于抛物线Г,则其两边AB、AC与Г的对称轴夹等角的充要条件是:边BC和切Г于点A的直线1与Г的对称轴夹等角. 证:以Г对称轴为x轴,顶点为原点建     

抛物线中内接三角形的特性

<正> 已知二次函数Y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,顶点为C,则△ABC具有下列两条性质: (1)当△ABC为直角三角形时,△=b2-4ac=4. (2)当△ABC为等边三角形时,△=b2-4ac=12.     

三角形的最小内接正三角形

1　问题的提出若△DEF的三个顶点分别在△ABC的三边上 ,图 1称△DEF是△ABC的内接三角形。如图 1 ,△DEF是△ABC的内接三角形。文 [1 ]讨论了三角形的内接正三角形的存在性问题 ,指出三角形的内接正三角形是存在的 ,并给出了一种作图方法。文 [2 ]指出任意三角形都存在无数个内接正三角形 ,给出了另一种作图方法。那么 ,一个给定的三角形的无数个内接正三角形中 ,有无边长最小的三角形 (最小内接正三角形 )呢 ?本文研究这一问题 ,给出最小内接正三角形的边长和位置。2　最小内接正三角形的边长设在△ABC中 ,∠C是最大角 ,△DEF是…     

2002年上海市高中数学竞赛试题

一、填空题(共70分)1.一个正△ABC内接于椭圆x2/9+y2/4=1,顶点A的坐标为(0,2).过顶点A的高在y轴上,则此正三角形的边长为____.2.已知x、y为正数,且x/y的值为____。3.袋里装有35个球,每个球上都记有从1到35的一个号码,设号码为n的球重(n2/3-5n+23)克,这些球以同等的机会(不受其重量的影响)从袋里取出.若同时从袋内任意取出两球,则它们重量相等的概率为(用分数作答).     

抛物线内接三角形的面积

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）当b2－4ac＞0时，它的图象与x轴有两个交点A（x1，0）、B（x2，0），且两交点间的距离，图象与y轴的交点为D（0，C），抛物线的顶点为，抛物线上任意一点为P（xp，yp）.抛物线内接三角形，就是顶点在抛物线上的三角形，其面积问题已成为中考数学压轴题的主要题型之一．这类问题一般有以下几种类型．一、以抛物线与x轴的两个交点A、B和抛物线的顶点C为顶点的三角形，其底边长是抛物线与x轴两支点问的距离，高的长是抛物线顶点的纵坐标的绝对值，三角形的面积为例1已知二次函数y＝（m2－2）x2－4mx＋n的图象…     

高三数学第一轮复习自测题

一、选择题(每小题5分,共40分)1.设集合M={x|x2-x<0,x∈R},N={x||x|<2,x∈R},则M、N的关系为().AN M;BM∩N=M;CM∪N=M;DM∪N=R2.已知点A(1,2),过点D(5,-2)的直线与抛物线y2=4x交于B、C两点,则△ABC的形状是().A钝角三角形;B直角三角形;C锐角三角形;D无法确定图13.如图1是函数f(x)=x3 bx2 cx d的大致图象,则x12 x22等于().A32;B43;C38;D1324.函数y=x3-3x在[-1,2]上的最小值为().A2;B-2;C0;D-45.给出下列4个命题:①各侧面都是正方形的棱柱是正棱柱;②若一个简单多面体的各面都是三角形,则它的顶点数V和面数F的关系是2V-F=4;…     

椭圆中内接三角形的特殊性质探究

<正>当三角形的三个顶点都在椭圆上时,我们可称此三角形为椭圆中的内接三角形。笔者经过探究发现,椭圆中的内接三角形具有以下性质:已知椭圆x~2、a~2+y~2、b~2=1(a>b>0),P(x P,y P),A,B为椭圆上的不同三点,且k_(PA)·k_(PB)=y_P~2/x_P~2。