平面基本图形浅说——初一数学竞赛系列讲座(7)

在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?这5条直线最多有几个交点?这是平面基本图形的一个典型问题:点、线、三角形是最基本的平面图形,值得认真研究.基本知识1.过两点有且只有一条直线;2.平行线的判定与性质;3.三角形的内角和等于180°.三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.在同一个三角形中,等边所对的角相等,等角所对的边相等,大角所对的边较大.例1在平面内任意画出5条直线,最多可以把平面分成多少部分?分析两条直线相交时(设交点为O),把平面分成4…     

趣味图形游戏(七)

这是个长方形,请你用彩色笔描边,每一条边用一种颜色,然后数一数长方形有几条边?它们一样长吗?哪些边一样长? 长方形有几个角?请你用圆圈把角圈出来。请你用直尺把颜色相同的4个点连成一个图形,然后说一说,哪一个图形是长方形?其他的图形也有4个角,为什么不是长方形?     

正多边形性质初探(下)

二、定理的推广上节已经把对正三角形和正方形成立的两个事实拓展到了任意正 n 边形的情况。可以进一步讨论:当 P 点在正 n 边形的内切圆周上是什么情况呢?当 P 为正 n 边形内或正 n边形外任意点又是什么情况呢?定理一、定理二、定理三所描述的是 P 在正 n 边形外接圆周上的特殊情况,     

折出正方形的黄金分割点

黄金分割是几何中的一个著名问题.它是指把一条线段分成两条不等的线段,使其中较长线段为原线段与较短线段的比例中项.现有一张正方形的纸片,能否通过折叠的方式找出正方形纸片各边的黄金分割点呢?我们只需按图1～图3所示的方法折纸即可找到正方形各边的黄金分割点.1.将正方形纸片对折(图1),折痕为EF;2.折出折痕AF(图2);3.把AD边翻折到折痕AF上,新折痕为AG(图3).那么G点即为DC边的黄金分割点.现在我们来证明上面结论的正确性.如图3,设正方形ABCD的边长为a,DG=x,那么BF=12a,AF=52a,CG=a-x.因为△AGD′是由△AGD翻折所成,所以△A…     

和爸爸在一起的一年

一月 当妈妈发现我有某些缺点时她就说,这就像你爸.去年她对我说十二岁的孩子该懂事了,接着她叹口气说,唉,要是你只听你爸的……可是他们也真没吵架.我妈妈除了当物理教员外还要操持家务.我爸爸每天上班搞统计.记得小时候有一天我问他,统计是什么呀?他回答说,你想一想我把每天早晨八点到九点听法国国内广播的人数加起来或者把边吃早饭边读某种报纸的人数算出来.     

三角形中的三个最值问题

众所周知,到三角形三个顶点的距离之和最小的点是费尔马点,到三角形三个顶点的距离的平方和最小的点是三角形的重心.那么,三角形中到三边距离之积最大的点,到三边距离平方和最小的点,到三边距离之和最小的点又是什么点呢?笔者对此作了一番探索.下面的三个定理回答了这一问题.     

三点四步教“两位数加一位数、整十数”例1

基本训练抓三点:听算抓10以内的加法;视算抓整十数与几相加;口答抓两位数的组成与分解.新知讲授抓四步:第一步,抓动手操作.教师先出示(黑板左边)2l朵花,后出示(右边)6朵花.边出示边问:"左边有几朵花?右边有几朵花?把左边的21朵花和右边的6朵花合在一起,求一共有几朵花用什么方法算?"怎么算21+6呢?"学生拿出小棒,同座边摆边议:先把1根和6根合在一起得7根,再把20根(2捆——每捆10根)和7根合在一起得27根.第二步,抓图示过程.教师先移动出示在黑板上的花,边指算式边讲:把     

小院夜色美

我家小院的夜,是最美的.夏天的晚上,在那儿搬把小椅,拿把扇子,再拿点小吃,边乘凉边吃,不知多美好.     

一道例题的教学探讨

正例题如图1,在四边形ABCD中,AD∥BC,对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F.四边形AFCE是菱形吗?为什么?     

一道中考题解法的探究与推广

一目 已知:在△ABC中,AB=10. (1)如图1,若点D、E分别是AC、BC边的中点,求DE的长. (2)如图2,若点A1、A2把4C边三等分,过A1、A2作AB的平行线,分别交BC边于点B1、B2,求A1B2+A2B2的值. (3)如图3,若点A1、A2、…、A10把AC边十一等分,过各点作AB边的平行线,分别交BC边于点B1、B2、…、B10,根据你所发现的规律,直接写出A1B2+A2B2+…+A10B10的结果. (2004年江苏省南通市中考题)     

思而不学则殆

节外生枝 一般情况下,一张长方形纸条 很容易做成一个纸圈,这个纸圈会 有上下两条边和正反两个面。 可是,当我们把纸条拧转180 度,A点和C点、B点和D点分别重 合时,做成的纸圈却只有一条边、一 个面。您相信吗?这就是莫比乌斯圈。 "莫比乌斯圈"是德国数学家莫 比乌斯在1858年研究"四色定理"     

五角链的点PI指标

图G的点PI指标指的是:取遍G中的每一条边,满足到这条边两个端点距离不相等的点的个数.为了得到五角链的点PI指标,把它的边分成三类并分别进行计算,可以得到五角链的点PI指标.利用PIv(G)=mn-∑S(e),给出二部图点PI指标的界:(n-1)n≤PIv(G)≤n.     

圆

圆、线段和点是好朋友。一天它们三个去戏院看戏。戏快看完的时候,圆对线段和点说:“你们知道舞台上演员的动作为什么那么优美吗?不就是因为他们在舞台上转的是圆圈吗?圆难道不是最完美的图形吗?”点听了,说:“不错呀,你是很完美。那我和线段怎样呢?”圆瞧了瞧点和线段说:“你们呀,一个高高瘦瘦,一个矮矮小小,哪有我圆这么美丽。”它们边说边走出了戏院。这时,一辆黑色的小轿车疾驰而来,一不小心“咚”的一声把圆撞了出去。圆咕噜咕噜滚了好远,线段赶紧伸出手去一把将圆拉了回来。圆站了起来,不但没哭,反而嘿嘿笑了起来。线段以为圆被撞傻了…     

图形变式--命题的一种重要思路(上)

平面几何题的特点是先构图后命题.如何构造几何图形呢?本文结合一道国家集训队选拔考试题谈谈平面几何的命题.图1题目如图1,给定正△ABC,D是边BC上任意一点,△ABD的外心、内心分别为O1、I1,△ADC的外心、内心分别为O2、I2,直线O1I1与O2I2相交于点P.试求:当点D在边BC上运动时,点     

平面向量在几何中的若干应用

向量是数学研究的一种重要工具,尤其是解决几何问题,常有独到之处.下面我们来看看向量在几何中的若干应用.一、垂直平分线例1如图1,O、A、B是平面上三点,向量OA=a,OB=b,设P是线段AB垂直平分线上任意一点,向量OP=p.若a=3,b=2,求p·(a-b)的值.分析:要不要把式子p·(a-b)展开?有没有必要把p用a、b来表示?题意中最主要的条件是什么?P是线段AB垂直平分线上任意一点,那么线段垂直平分线上的点有什么性质呢?线段垂直平分线上的点到线段距离相等,即PA=P B,a-p=b-p,两边平方得a-p 2=b-p 2即(a-p)·(a-p)=(b-p)·(b-p),a2-2a·p p2=b2-2b·p p…     

一道中考题解法的探究与推广

题目已知:在△ABC中,AB=10. (1)如图1,若点D、E分别是AC、BC边的中点,求DE的长. (2)如图2,若点A1、A2把AC边三等分,过A1、A2作AB的平行线,分别交BC边于点B1、B2,求A1B1 A2B2的值.     

拟学机:与陈胜吴广起义

“今亡亦死,举大计亦死,等死,死国可乎……”一阵说话声被压得低低的,但仍一字不漏地从拟学机中传人我们耳中。“说的是什么意思嘛?真难懂。”紫丽嘟了嘟嘴,“都怪你.硬是要把拟学机调到语文档,一点都没劲。”我连忙辩解:“现在我们不是在学《陈涉世家》吗?你边听边对照课文不就行了。”“嘘!”紫丽     

俄罗斯萨温竞赛题选(五)

在历年的萨温数学竞赛题中,有不少涉及了图形面积.它们都要求证明所给的面积是否相等,证法也千变万化.现介绍几例:1.在任意凸四边形ABCD中取各边的中点,并与它相对的一个顶点连结,如图1所示.那么所围成的中央四边形面积与周围那4个阴影三角形的面积总和相等吗?2.在等边三角形内任意取一点,该点与3个顶点连线,又从该点向3条边作出垂线,如图2所示.这样图中的3个阴影三角形的面积总和与余下的3个三角形的面积总和相等吗?3.过正方形内某一点,先作出两条与正方形边平行的直线,再作两条与正方形对角线平行的直线,把正方形分割成8块,如图3所示.图…     

对一道趣题的再探索

题目10个点如图1那样摆放着．把这些点作为三角形的顶点．可画出多少个正三角形(三边长相等的三角形)?至少应当去掉多少个点，才能使得留下的任何三点都不能组成一个正三角形?     

探索数据归纳在求格点图形面积中的应用

<正>我们把网格线的交点称为结点,如果多边形的顶点都在结点上,则称这样的多边形为格点多边形(如图1).同时,我们将位于多边形内部的结点称为内点,位于多边形边上的结点称为外点.本文探究五个格点(凸)多边形(即矩形、平行四边形、三角形、四边形、五边形)的面积,这些格点多边形的内点数、边点数与其面积有什么关系?能否将这些格