等差数列一个性质的应用

等差数列{an}具有如下性质:若m,n,P,q∈N*,且m+n=p+q,则a_n+a_n=a_p+a_q.利用等差数列的通项公式a_n=a_1+(m-1)d,n∈N*容易证明.直接用这一性质解题可化难为易,化繁为简.     

直线的斜率公式在代数中的应用

(一) 解等差数列的有关问题。我们把等差数列的通项公式变形为a_n=dn+(a_1-d)(d≠0),易见它是关于n的一次式。这便表明:从几何上研究等差数列,就是线性函数y=dx+(a_1-d)(x∈R)时的有序点的图象上当自变量x依次取自然数列,而公差d就是点列所在直线的斜率。     

等差、等比数列的“斜率”性质及其应用

我们知道,若把等差数列{a_n}的通项公式a_n=a_1 (n-1)d写成a_n=dn (a_1-d),则上式表明点(n,a_n)(n∈N~*)均在直线     

用一次函数图像巧解等差数列二例

大家知道,公差是d的数列{a_n}的通项为:a_n=a_1 (n-1)d,即a_n=dn (a_1-d),可以把它看做n的一次函数,其图像是以d为斜率,纵轴截距为a_1-d的一条直线。当n∈N时,在直线上的对应点为(1,a_1),(2,a_2)…,(n,a_n)的点集,是该直线点集的一个子集。我们可以利用这种关系,巧解有关等差数列问题。例1 已知等差数列{a_n}的项a_m=n,a_n=m(m≠     

谈数列的递推关系与线性数列

现行高中数学课本的等差数列、等比数列的通项公式 a_n=a_1+(n-1)d ① a_n=a_1q~(n-1) ②如果把①改写成 a_n=a_(n-1)+d(首项a_1=a)③把②改写成 a_n=a_(n-1)q(首项a_1=a) ④则③和④就是递推数列。一个数列{a_n},如果对于每一个自然数n,有一种规则将a_(n+1)同a_n联系起来,就     

用直线方程解等差数列问题举例

在等差数列的通项公式a_n=a_1+(n-1)d(?)dn-a_n+(a_1-d)=0中,若令dn=Ax,a_n=y,a_1-d=c,上式就是Ax-y+c=0,于是等差数列中的各项就是直线Ax-y+c=0中x∈N时各点的纵坐标。既然如此,用直线方程的知识处理有关等差数列问题,不但是可行的,而且由下述例子知其方法也是简捷和别具一格的。现编举数例说明之。例1 等差数列{a_n}和{b_n},a_1、b_1、d_1、d_2分别为其首项和公差,且(b_1-a_1)/(d_1-d_2)∈N,求证{a_n}和{b_n}中必有a_m=b_m,并求出m和a_m,b_m。     

用斜率公式解等差数列问题

等差数列中,通项公式a_n=a_1 (n-1)d=nd (a_1-d),显然,点(n,a_1)是直线y=dx a_1-d)上的点,即(1,a_1)、(2,a_2),(3,a_3)…(n,a_n)是该直线上一系列点,其中d是该直线的斜率,因此公差d可用斜率公式来求:d=(a_n a_m)/(n-m)(m、n∈N、n≠m),运用这公式可简捷地解决等差数列中的某些问题。 [例1] 已知一等差数列的第n项是m,第m     

应用函数思想解数列题例说

在等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d中,通项a_n可以看成是项数n的一次函数(它的定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。 又等差数列前n项和的公式S_n=na_1 (n(n-1)/2)d,可以变形为以下形式,即S_n=(d/2)n~2 (a_1-(d/2))n。因此,公差不等于零的等差数列,前n项的和S_n可以看成是关于n的常数项为零的二次函数,即S_n=an~2     

一个例题的扩充

通过复数的学习,我们知道在复数集C中,代数方程的理论得到了进一步完善.对于一元n次方程f(x)=a_0x~n a_1x~(n-1) … a_(n-1)x a_n=0(其中a_0≠0,a_i∈C,i=1,2,…,n),它具有以下几个性质.     

例谈函数思想在数列中的应用

我们知道,等差数列的通项公式a_n=a_1 (n-1)d,通项a_n可看成是项数n的一次函数,(严格地说,其定义域是自然数),对一切n∈N,点(n,a_n)共线。     

一道数列习题的多解

题目在数列{a_n}中,已知a_n=25-2n(n∈N*),求其前n项和S_n取最大值时n的值．解法1:∵数列{a_n}为等差数列,a_1=23,d=-2,     

等差数列中的“定比分点公式”

等差数列通项公式a_n＝a_1＋(n－1)d可以写成a_n＝kn＋b(n∈N~N)的形式,这是关于n的一次函数,与直线方程形式一致,仅定义域不同,那么直线上的定比分点公式在等差数列中是否成立呢?下面给出相应的命题并进行证明。     

这两道题值得商榷

一本杂志上刊登过如下一道题目: 题一:设,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(x≤-2).(1)求f~(-1)(x);(2)设a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))(n≥2,n∈N),求a_n;(3)求sum from i=1 to n 1/(a_1+a_i+1)的值该题作为函数与数列的综合题在教学中广为流传,通常简解如下解:(1)函数,f(x)=(x~2-4)~(1/2)(定义域为x≤—2,值域为y≥0)的反函数为f~(-1)(x)=-(x~2+4)~(1/2)(定义域为x≥0,值域为y≤-2) (2)∵a_1=1,a_n=f~(-1)(a_(n-1))由迭代法得:a_n=-(a_(n-1)~2+4)~(1/2)=-(a_(n-2)~2+2×4)~(1/2)=…=-(a_1~2+(n-1)4)~(1/2)=-(4n-3)~(1/2)(亦可由a_n~2=a_(n-1)~2+4,n=2,3,…n,累加而得) (3) 注意到 a_n~2-a_(n-1)~2=4,     

几个特殊数列的求和公式

本文给出几种特殊数列的求和公式: 1、等差数列各项K次幂的和的递推公式。 2、等差数列与等比数列相应项之积的和的公式。 3、设(a_n)为等差数,公差为d,则 (1)sum from i=1 to n (a_ia_(i+k)…a_(1+k-1))=a_1a_2…a_k+(a_na_(n+1)…a_(n+k)-a_1a_2…a_(k+1))╱(k+1)d (2)sum from i=1 to n (1╱a_1a_2…a_(i+k-1))=1╱((k-1)d)(1╱a_1a_2…q_(n-1))-1╱(a_(n+1)a_(n+2)…a_(n+k=1))     

1995年全国高中数学联合竞赛试题及参考答案

一、选择题 1.设等差数列{a_n}满足3a_8=5a_13,且a_1>0,S_n为其前n项之和,则S_n(n∈N)中最大的是     

逆用等差、等比数列的求和公式

有很多问题需要逆用等差、等比数列的求和公式来解决问题.(一)逆用等差数列的求和公式例1已知数列{a_n}满足a_1=1,a_(n 1)=2a_n 1(n∈N~*) (Ⅰ)求数列{a_n}的通项公式;     

求数列通项方法举隅

<正>求数列通项在高考中属于常考内容,本文归纳整理了几种方法,供参考.一、已知a_1和a_n=a_(n-1)+f(n)型,其中f(n)可求和例1已知数列{a_n}满足a_(n+1)=a_n+3n+2,且a_1=2,求a_n.解由a_(n+1)=a_n+3n+2知a_(n+1)-a_n=3n+2,a_n-a_(n-1)=3n-1.a_n=(a_n-a_(n-1))+(a_(n-1)-a_(n-2))+…+(a_2-a_1)+a_1=(3n-1)+(3n-4)+……+5+2     

一道高考题探源

2007高考广东卷理科压轴题已知函数f(x)=x~2 x-1,α,β是方程f(x)=0的两个根(α>β),f′(x)是f(x)的导数.设a_1=1,a_(n 1)=a_n-(f(a_n)/(f′(a_n)))(n=1,2,…).     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

等差数列奇次方幂和的表示法

设数列{a_n}是公差为d(d≠0)的等差数列。若令a_0=a_1-d,a_(n 1)=a_n d,则① a_1 a_2 … a_n=(1/2d)(a_na_(n 1)-a_0a_1); ② a_1~3 a_2~3 … a_n~3=(1/4d)[(a_na_(n 1))~2-(a_0a_1)~2]。证①∵ a_ka_(k 1)-a_(k-1)a_k=a_k(a_(k 1)-a_(k-1)=2da_k,k=1,2,…。令k=1,2,…,n, 得n个等式,将它们的两边分别相加得 a_na_(a 1)-a_0a_1=2d(a_1 a_2 … a_n)。∴ a_1 a_2 … a_n=(1/(2d))(a_na_(n 1)-a_0a_1)。②∵ (a_ka_(k 1))~2-(a_(k-1)a_k)~2=a_k~2[a_(k 1)~2