巧解排列组合常见应用问题

排列组合的应用问题,历来是高中数学学习的难点.同学们在学习排列组合的过程中,总是感到抽象,解法灵活而不容易掌握.本文将总结其中常见的几种类型及其相应解法.1排列问题排列问题是高中排列组合应用问题中最常见的一种题型.此类问题的解法通常有捆绑法、插空法、优先法等.例14个男同学和3个女同学站在一排.(1)3个女同学必须排在一起,有多少种不同的排法?(2)任何两个女同学彼此不相邻,有多少种不同排法?(3)甲乙两人相邻,但都不与丙相邻,有多少种不同排法?解(1)用捆绑法.先把三名女生当作一个人,与四个男生在一起相当于五个人全排列有A55种…     

浅谈排列组合应用题基本解法

排列组合应用题是高中数学学习中的一个难点 ,其内容抽象 ,解题时稍有疏忽就会出现重复或遗漏解的错误 ,要想正确无误地解答排列组合应用题的关键是熟悉问题的类型及其相应的解法 .1.相邻元素的排列可以采用“整体到局部”的排法 ,即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列 ,然后再局部排列 ,这种方法又叫“捆绑法” .【例 1】　 4名男生与 4名女生并坐一排照相 ,女生要排在一起 ,问有多少种不同的排法 ?解 :将 4名女生看作 1个人 ,与 4名男生排队 ,有P55种排法 ,女生之间又可互换位置 ,有P4 4种排法 ,故共有P55·P4 4=2 880种排法 .2 .元…     

自不相邻排列的计数问题

有一道排列题,其错误解法已出现在多处书刊: 题目 书架上有4本不同的数学书,5本不同的物理书,3本不同的化学书,全都竖起排成一行,如果要求同类书本互不相邻,一共有多少种不同的排法? 误解1 先排3本化学书有P_3~3种排法,再在其间4个空档中各插入一本数学书,有P_4~4种排法,最后在这7本书之间的8个空档处任选5个空档插入物理书,有P_8~5种排法,因此,由乘法原理共有     

2007年第11期问题解答

133.把3个男生和7个女生从左往右排成一列,使得这10名学生从左往右逐个依次离开队伍时,任何时候剩下的学生中,女生人数至少是男生人数的2倍.问有多少种不同的排法(只关注性别,不区分每一个男生和女生)?解:如图1,用A点表示有7名女生和3名男生的状态(即队伍     

数学中的统一性

数学中有许多问题表面看起来互不相干 ,但仔细分析以后会发现 ,这些问题却具有相同的数学模型 .请看下面数例 .问题 1　在图 1中有多少个三角形 ?问题 1′　导演要从 2个女演员、3个男演员和4个儿童中选 1个母亲 ,1个父亲和 1个孩子 ,有多少种方法 ?这两个问题之间的相似性是明显的 ,其答案都是 2× 3× 4.问题 2　将正整数ｍ写成ｎ个正整数之和 ,如果和式中项的位置次序不同 ,则认为是不同的写法 ,求所有写法的种数 .问题 2′　把ｍ个黑球与ｎ个白球排成一行 ,有多少种排法 ?分析　如果用数学符号表示问题 2中的数量关系 ,可以设这ｎ个数分…     

把握问题情境 搭建思维平台

问题1一个班级合唱队有49人,1人指挥,其余48人唱歌,若要把唱歌的同学按人数排成递增的等差数列(行数不小于3),有多少种不同的排法?     

关于排列与组合的几个问题

排列与组合的内容抽象,解法和技巧特殊,是学习的一大难点,这里举例谈谈它的几个问题．1连排问题例13名教师和6名学生共9人排成一排照相,若3名教师必须站在一起,一共有多少种不同的站法？解先把3名教师看成1人参加排队,这样7个人有P;种排法;在每一种排法中,3名教师相互又有PI种不同的排法．根据乘法原理,所有不同的站法种数为川·PI一5040X6—30240．由本例可推广到连排问题的结论是：在n个不同元素的全排列中,若某m个元素必须排在一起,则所有不同的排法数为只：：纠·P＝．2＆位间回例2一排共有12个座位,只有8个人坐,每人…     

课本题改编题训练一(计数原理,集合、常用逻辑用语、算法)

1.(人教B版选修2-3第1.2.1点排列例7)有6个人排成一排.(1)甲、乙两人相邻的排法有多少种?(2)甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种?1-1.(改编)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有多少个?1-2.(改编)用字母A,B,C,D,E,F,G,H组成无     

从一道典型的例题谈排列组合问题的解法

排队、排数、抽样和分组是排列组合题中最为典型的问题.下面仅以7人排队的典型问题为例,介绍求解排列组合问题的基本方法,希望能够对同学们学好这部分知识有所帮助.题目:7位同学排成一列,按下列要求各有多少种不同的排法?     

有多少种可能

[题目]小猫、小猴、小狗和小兔四个小动物排成一列去做操,一共有多少种排法呢? [分析与解]小朋友们可能都想到了好几种排法。但如果想把所有的排法都找出来,可以先确定某一个小动物的位置,再按顺序思考。     

插空法的多种应用

<正>插空法是解决排列组合问题的一种重要方法,它有着多方面的应用.下面举例说明.类型1解决排列中的几个元素不相邻的问题例1含甲和乙的6个人排成一排,甲和乙不相邻的排法有多少种?分析先将甲和乙之外的四个人排列共有A_4⁴=24种排法,这时共有5个空(两边也为空);再将甲和乙分别插入这5个空中,共有5×4种插法,故排法种数为24×5×4=480.     

同样的方法会出现两个结果——二次插空所引起的问题

在解排列问题时,我们经常遇到相邻和不相邻问题,解决它们的方法常用的有捆绑法和插空法．例如：有一道与人民教育出版社第二册（下B）119页的第10题类似的题目：有3本不同的数学书,2本不同的物理书,3本不同的化学书,全部竖起排成一排,如果不使同类的书分开,一共有多少种排法？[第一段]     

十六类排列组合题型及解题策略

本文介绍十六类排列组合典型题求解策略,供广大读者参考.一、相邻问题捆绑法【例1】6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同的方法有()A.720种B.360种C.240种D.120种分析:解决对于某几个元素要求相邻的问题,可先将相邻元素整体考虑成一个“大”元素,然后与其他元素全排列,此方法即称捆绑法.解:因为甲、乙要排在一起,他们之间排列有顺序,故“捆绑”甲、乙看成一个人有A22种排法,将“大人”与其他四个人进行全排列有A55种排法,由乘法原理可知,共有A55·A22=240种不同排法.故选C.二、相间问题插空法【例1】要排一张有6个歌唱节…     

女生散步问题

有一位教师带着15个女生散步,女生们排成三行、五列行进。请问:是否有一种排法,使得在一个星期的七天里,每个女生都曾经和其他所有的女生在同一行?这个问题叫做“女生散步问题“,在数学史上非常有名。请问:你能找到它的答案吗?     

排列组合问题中的重复计算剖析

在解答排列组合问题时 ,易犯的错误是遗漏与重复 .遗漏多半比较明显 ,而重复较为隐蔽 .本文对一些隐蔽的重复计算错误举例剖析 .研究失误的原因 ,寻求补正和预防的方法 .例 1　某天有六节不同的课 ,若第一节排数学 ,或第六节排体育 ,问共有多少种不同的排法 ?错解　数学排第一节的排法有Ａ55种 ,体育排第六节的排法也有Ａ55种 ,根据加法原理 ,第一节排数学或第六节排体育的排法共有Ａ55+Ａ55=2Ａ55=2 40 (种 ) .剖析　在数学排第一节的排法中 ,存在着体育排第六节的排法 ,在体育排第六节的排法中 ,也存在着数学排第一节的排法 ,它们是数学排…     

排课表中的排列组合问题例说

近几年来的考卷中常出现有关功课表的排列问题。功课表的排法多属有限制条件的排列,其基本解法有三:1.考虑有条件限制的特殊位置法;2.考虑有位置限制的特殊元素法;3.从无条件限制的排列总法减去不合要求的排列法,简言之,排除法。例1 某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、化学六节课。如果第一节不排体育,最后一节不排数学,一共有多少种不同的排法? 分析:(解法一)特殊位置法。第一节不排体育,可以排上其它五门课的任一门,可以这样     

排列组合的常见题型与解法

<正>排列组合题目题型多变、解法灵活,要认真分析,灵活选择最佳方法.本文试图通过典型例题,归纳这类题目的解题规律.一、特殊元素(或特殊位置)问题,优先考虑法对于带有特殊元素(或特殊位置)的排列组合问题,一般应先考虑特殊元素(或特殊位置),然后再考虑其它元素(或位置).例1一名教师和四名学生排成一排照相,若教师不在两端,则共有多少种不同的排法?解法1从特殊元素(教师)出发.先排     

用所占比例关系解排列问题

有些排列的问题,可以根据机会均等的关系或每个元素出现的机会所占整个问题的比例关系,使问题得到解决．例1 有5人站成一排照相,如果甲必须站在乙的右边(甲、乙可以相邻也可不相邻),有多少种不同的排法? 若不考虑限制条件,则5人进行全排列排法共有:A55=120 (种)．考虑到甲在乙的右边与甲在乙的左边机会均等,所以甲     

排列中的不相邻问题探析

一、典型的不相邻排列问题例1高三(1)班需要毕业晚会的4个音乐节目,2个舞蹈节目和一个曲艺节目的演出顺序,要求两个舞蹈节目不连排,则不同排法的种数是()     

从一道高考题说起

1993年全国普通高考数学卷中有这样一道题 :同室四人各写一张贺年卡 ,先集中起来 ,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡 ,则四张贺年卡不同的分配方法有 :(A) 6种 (B) 9种 (C) 11种 (D) 2 3种这道题用穷举法不难得出答案 B.现在要问 :当人数增大到难于用穷举法时 ,能否用其它方法解答呢 ?答案是肯定的 .我们先将这类问题一般化 :问题 :将 a1 ,a2 ,a3,… ,an,共 n个元素排成一行 ,要求元素 ai 不在第 i(i∈ N且 1≤ i≤ n)位上 ,问共有多少种排法 ?解法 1　设这样的排法共有 f (n)种 ,则 :(1)显然 f (1) =0 ;(2 )当 n≥ 2时 ,先将这 n个元…