一道高考题求解视角探索

<正>一、试题呈现(2015年浙江高考题)若实数x,y满足x~2+y~2≤1,则|2x+y-2|+|6-x-3y|的最小值为_.二、试题解析这是2015年浙江省高考数学理科卷的第14题,问题要求的是在约束条件(实数x,y满足x~2+y~2≤1)下,以x,y为变量的二元函数(|2x+y-2|+|6-x-3y|)的最小值.问题     

不等式综合性试题的常见考查类型

<正>新课程标准实施后,高考数学中对不等式的考查越来越注重综合性,多数在集合、函数与导数、数列等综合性试题中呈现,是高考中出现的一类新的命题形式。一、与集合结合进行考查集合与解不等式的关系可谓"如影随形",从近几年高考试题来看,解不等式一直是考查的热点题型。解不等式要求准确无误地完成不等式的转化。例1(2015年陕西卷)设集合M={x|x²=x},N={x|lgx≤0},则M∪N=     

一次函数性质的应用

1996年全国高考试题第 2 5题 ,是一次、二次函数和不等式的综合性试题 ,当年的考生反应强烈 ,得分率很低 .实际上 ,除试题本身较难、思维层次高外 ,也说明学生对一次、二次函数特别是一次函数的性质掌握得不好 .现将原题及解答抄录于下 :已知 a,b,c是实数 ,函数 f ( x) =ax2 +bx +c,g( x) =ax +b,当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,( 1)证明 :|c|≤ 1;( 2 )证明 :当 - 1≤ x≤ 1时 ,|g( x) |≤ 2 ;( 3)设 a >0 ,当 - 1≤ x≤ 1时 ,g( x )的最大值为2 ,求 f ( x) .解 :由 ( 1)由条件当 - 1≤ x≤ 1时 ,|f ( x) |≤ 1,取 x =0得 |c|=|f ( 0 ) |…     

函数周期性的是与非

近几年的高考试题中出现了一些深层次刻画函数周期性的题,这类题以前主要用于数学竞赛或高考模拟训练,现在高考试题中也时有出现,这是一种新动向.为此,笔者撷取高考中的几例,对函数周期性的是与非进行一些探索.一、函数周期性判断的变式例1 (2006年安徽卷第15题)函数 f(x)对于任意实数 x 满足条件 f(x 2)=1/(f(x)),若     

构造向量求函数最值

函数最值问题 ,屡屡出现在国内外各类竞赛试题中 .适当构造向量 ,可使一类函数最值问题的思路清晰 ,解题方法简捷巧妙 ,并富于规律性、趣味性 .定理　m,n为两个向量 ,则| m| 2 ≥ ( m· n) 2| n| 2 .证明　设两向量的夹角为θ,则| m| 2 =| m| 2· | n| 2| n| 2 ≥ | m| 2 | n| 2 cos2θ| n| 2 =( m· n) 2| n| 2 ,证毕 .1　构造向量 ,求整函数最值例 1　求实数 x,y的值 ,使得 ( y- 1 ) 2 +( x+ y- 3) 2 + ( 2 x+ y- 6 ) 2 达到最小值 .( 2 0 0 1年全国初中数学联赛试题 )解　构造 m=( y- 1 ,x+ y- 3,2 x+ y-6 ) ,n=( - 1 ,2 ,- 1 ) ,依定理 …     

点击2007年高考中的图像试题

图像是表示函数的一种重要形式,其最大的优点是直观,给出已知条件学生要能画出函数图像,反之给出图像也要能从中读出有用的信息,即实现数与形的转换.在历年的高考中,函数图像都是考查的重要内容之一.本文以2007年高考试题为载体,谈图像题的类型及解法.1由函数图像求解析式解这类题的关键是抓住图像中的重要信息,如选择特殊题点可的用代坐标入、法函、数排的除单法调性、奇偶性等,若是等非常规方法快速求解.例1(安徽卷文)图中的图像所表示的函数的解析式为()A.y=32|x-1|,(0≤x≤2)B.y=32-23|x-1|,(0≤x≤2)C.y=32-|x-1|,(0≤x≤2)D.y=1-|x-…     

高考不等式综合试题考点解析

不等式处在代数、三角、几何等知识的交汇处,是高考的重要内容.根据近年高考不等式试题的分析研究,不难发现下面考点是高考的重点内容,预测它们还是今后高考命题的首选题材.下面探求这几类试题的考点及其求解思路和方法.考点1　综合法证明不等式例1　(1993年全国高考题)已知关于x的实系数二次方程x2+ax+b=0有两个实数根α,β,证明:如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2.解析:综合法的证明思路是“由因导果”,即从题设条件或已经证明的结论、公式出发,逐步推理,得到欲证的不等式.这种证明方法条理清楚,易表述.证明:设f(x)=x2+ax+b,由2|a|<4…     

例谈一类复合函数零点个数及相关问题的求解

<正>纵观近几年高考试题和各地高考模拟试题,不难发现有不少形如y=f(g(x))+k的复合函数零点个数及相关问题.此类问题背景深厚,构思巧妙,综合性强,解决它的行之有效的办法是图象法.下面通过实例展示其具体作法.一、零点个数问题例1(2013年安徽高考题)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c有两个极值点x1,x2.若f(x1)=x1相似文献   

浅谈中学数学教学的三个转变--一道高考题的启示

<正> 一、解析一道高考试题2004年北京高考题第8小题: 函数f(x)= 其中P、M为实数集R的两个非空子集,又规定f(P)={y|y=f(x),x∈P},f(M)={y|y=f(x),x∈M},给出下列4个判断,其中正确的判断有( )     

两道超越函数零点题的解法及反思

<正>函数与导数是高考数学中重要内容之一,而有关超越函数零点的问题在各地的高考以及模拟试题中屡次出现.本文就超越函数零点的两个零点x1、x2,证明形如x1+x2>a、x1x2>b的命题展开讨论:例1已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R),若函数f(x)有两个不同的零点x1、x2.求证:x1x2>e2.解法1(转化为比较大小问题)     

怎样解决导数零点不可求问题

<正>在近几年全国各地的高考试题中,出现了一类函数、导数的综合题型,这类问题在用导数解决的时候,常常难以求出导函数的零点.下面以高考试题为例对此问题作一初步探讨.一、数形结合例1(2013年天津卷)函数f(x)=     

一道绝对值不等式试题的多视角探究

<正>以函数为背景的绝对值不等式的求解或在含绝对值的不等式成立背景下求参数的取值范围问题是高考的重点题型.本文以2020年一道全国高考试题为例,多视角探究这类问题的解法.一、试题呈现试题已知函数f(x)=|x-a²|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.二、解法探究1.第(1)问的思路分析与解答分析1 将a=2代入化简函数,利用零点划分区间讨论求解不等式.     

析1993年高考试题中的若干数学方法

在《数学科考试说明》中曾把考查数学思想方法作为基本要求之一,也是近几年来高考命题的方向。对于数学思想方法的应用已越来越引起大家的重视。数形结合的思想,函数与方程的思想,逻辑划分与等价转化的思想等等对于发展智力、提高能力有着不可估量的影响。从今年高考试题可以看到数学思想方法教育的迫切性。 1993年全国试题的压阵题(29),已知关于x的实系数方程x~2 ax b=0的两实根α、β,证明(1)如果|α|<2,|β|<2,则2|a|<4 b且|b|<4;(2)如果2|a|<4 b且|b|<4,则|α|<2,|β|<2。此题有多种解法,但如     

最值问题简解探源

<正>1试题呈现答案比较(2016-2017江苏省苏北四市高三联考试卷第14题)已知函数f(x)=|x²-4|+a|x-2|x∈[-3,3].若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是__.参考答案1因为函数f(x)的最大值为0,故函数f(x)≤0在-[3,3]上恒成立,从而     

活跃在高考中的分段函数题型

分段函数是一类重要的函数。它能有效地考查函数的概念、符号及性质,体现了分类讨论的数学思想,是近年高考的重要内容。现以2005、2006年高考试题为例,谈谈活跃在高考试题中的分段函数常见题型与解题思路。题型一．求分段函数的解析式例1(2005年广东卷、9)在同一平面直角坐标系中,函数y=f(x)和y=g(x)的图像关于直线y=x对称．现将y=g(x)图像沿x轴向左平移2个单位,再沿y轴向上平移1个单     

对一道高考试题的探讨

高考试题:已知函数f(x)=x2+2/x+alnx(x>0),f(x)的导函数是f’(x),对任意两个不相等的正数x1﹑x2,证明: (Ⅰ)当a≤0时,[f(x1)+f(x2)]/2>f[(x1+x2)/2];(Ⅱ)当a≤4时,|f’(x1)-f’(x2)|>|x1-x2|.该题可以运用不等式和导数的有关知识给出证明.在这里提出这样的问题:能否对题目中给出的a的条件作出进一步的加强,使得(Ⅰ)﹑(Ⅱ)仍然成立呢?为了探讨这个问题,首先给出一个定义和一个定理:定义(函数凸凹性):已知函数f(x)在区间(a,b)有定义,     

数形结合思想在高考中的应用

数形结合的思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图象结合起来,也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景,在代数与几何的结合上寻找解题思路·最常用的是以形助数的解题方法,其实质就是对图形性质的研究,使要解决的数的问题转化为形的讨论,实现“由一种代数形式转化为几何形式”的数学化归·例1(2005年高考全国卷Ⅱ)函数f(x)=2|x+1|-|x-1|,求使f(x)≥22的x的取值范围·解:f(x)≥22,也即|x+1|-|x-1|≥32·设函数g(x)=|x+1|-|x-1|=-2(x≤-1),2x(-1相似文献   

例析抽象函数问题的求解策略

近年来 ,经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题。一般地 ,抽象函数是指 :没有给出具体的函数解析式 ,只是给出函数所具有的某些性质的函数。这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高 ,因此 ,学生常常感到难以掌握 ,教师也常为如何适时处理它等问题而苦恼。现本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法 ,供参考。1　合理递推例 1　函数 f具有下列性质 :f(x) +f(x -1 ) =x2 ,如果 f( 1 9) =94,那么 f( 94)除以 1 0 0 0的余数是多少 ?解　由 f(x) +f(x -1 ) =x2 ,得f(x) =x2 -f(x -1 ) ,又 f( 1 9) =94,∴f( 2 …     

反函数问题求解的步骤与方法

反函数是高一数学的重点知识,也是高考常考内容之一.综观高考试题,主要从五个方面考查:给出函数y=f(x)的解析式,求出它的反函数y=f-1(x);利用“函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象关于直线y=x对称”解决有关问题;求反函数的定义域或反函数的某一值.下面结合具体例子加以说明.     

巧用对称变换方法解题

对称问题是中学数学中常见的一类问题,它涉及函数、不等式、数列、排列组合、解析几何、立体几何等诸多内容.对称变换思想也是一种常用的数学思想方法,是近几年高考考查的热点问题之一.一、函数中的对称问题根据函数的奇偶性、周期性、光的反射定律、互为反函数图象的性质等所具有的对称性,解答高考试题.例1将y=2x的图象(),再作关于直线y=x对称的图象,可以得到y=log2(x+1)的图象.