浅谈一道含参函数零点问题的几种求解方法

<正>题目若函数f(x)=x²+bx+1在区间[0,2]上有零点,求实数b的取值范围。解法一:方程求根公式法。f(x)=x2+bx+1在区间[0,2]上有零点,求实数b的取值范围。解法一:方程求根公式法。f(x)=x²+bx+1在区间[0,2]上有零点,等价于方程x2+bx+1在区间[0,2]上有零点,等价于方程x²+bx+1=0在[0,2]区间上有解,对于一元二次方程,最容易想到的方法,就是利用方程的求根公式的定义域及判别式的取值情况来求参数的取值范围,需分两种情况进行讨论:     

含参数一元二次方程根的分布问题的思考

<正>一元二次方程ax²+bx+c=0的根是二次函数y=ax2+bx+c=0的根是二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的零点,即抛物线与x轴交点的横坐标,关于一元二次方程ax²+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情况是同学们学习的难点,我结合二次函数图像,对一元二次方程根的分布问题进行了一些探讨和总结。设一元二次方程ax²+bx+c=0的两个     

归类分析初中数学中的易错点

<正>一、关于0和负数1.规定次数的整式中,最高次项系数不能为0;方程中的非常数项系数不能同时为0.如:一次函数y=kx+b,k≠0;函数y=kx+b,k可以为0.一元二次方程ax²+bx+c=0,a≠0;方程ax2+bx+c=0,a≠0;方程ax²+bx+c=0,a可以为0,但a、b不能同时为0.2.一元二次方程与二次函数中,Δ的取值范围根据具体情况确定.     

用“相关点”法解含参数的一元二次不等式

<正>解含参数的一元二次不等式ax²+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x2+bx+c<0,通常情况下,均需分类讨论,那么如何讨论呢?普遍方法有三种:(1)按x²项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax2项的系数a的符号分类,即a>0,a=0,a<0;(2)按判别式Δ的符号分类,即Δ>0,Δ=0,Δ<0;(3)按方程ax²+bx+c=0的根x2+bx+c=0的根x¹,x1,x²的大小来分类,即x2的大小来分类,即x¹>x1>x²,x2,x¹=x1=x²,x2,x¹2。以上分类方法学生不易掌握而且经常出现"二级分     

利用导数探究方程的根或函数的零点

<正>涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图像判断零点、方程根、交点的情况,归根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路。例(2016年高考江苏卷)已知函数f(x)=a^x+bx+b^x(a>0,b>0,a≠1,b≠1)。设a=2,b=1/2。     

缜密思维 严谨答题

<正>一、原题呈现(2016年泰州中考题)已知两个二次函数y_1=x²+bx+c和y_2=x2+bx+c和y_2=x²+m.对于函数y_1,当x=2时,该函数取最小值.(1)求b的值;(2)若函数y_1的图象与坐标轴只有2个不同的公共点,求这两个公共点间的距离;(3)若函数y_1、y_2的图象都经过点(1,-2),过点(0,a-3)(a为实数)作x轴的平     

利用方程的两根之比解题——由一道课本习题所想到的

如果一元二次方程ax²+bx+c=0的两根之比为2:3,求证:6b²=25ac,证明:设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁、x₂则x₁/x₂+x₂+x₁=2/3/2=（13）/6由一元二次方程根与系数的关系知: x₁+x₂=-b/a x₁·x₂=c/a     

函数零点个数的判断策略

<正>从近几年的高考来看,有关函数零点个数问题的高考试题层出不穷,对解决此类问题的能力考查力度也逐步加大.以下结合实例探讨判断函数零点个数的策略.一、利用解方程判断函数零点个数例1(2010年福建高考题)函数f(x)=x²+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x2+2x-3,x≤0,-2+ln x,x>{0的零点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3解当x≤0时,令x²+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e2+2x-3=0,解得x=-3;当x>0时,令-2+ln x=0,解得x=e².所以f(x)有两个零点,故选C.二、利用函数图象判断函数零点个数     

一道双零点导数压轴题的解法分析与拓展

<正>试题呈现 已知函数f(x)=e^x-1-a(x-1).(1)讨论f(x)的零点个数;(2)若f(x)有两个不同的零点x₁,x₂,证明：x₁+x₂>4.上述试题是广东省清远市2022年高三期末教学质检第22题,试题在素材的选取以及问题的铺设方面均与2016年全国卷Ⅰ理科数学第21题：已知函数f(x)=(x-2)e^x+a(x-1)²有两个零点.(1)求a的取值范围;(2)设x₁,x₂是f(x)的两个零点,证明：x₁+x₂<2.     

关于一类复合函数值域问题的探讨

在众多求函数的值域问题中,有一类函数形如y=log_m(ax²+bx+c),这类函数若从复合函数的角度来看,则可看成是由对数函数y=log_mu和二次函数u=ax2+bx+c),这类函数若从复合函数的角度来看,则可看成是由对数函数y=log_mu和二次函数u=ax²+bx+c复合而成。对于这类函数,常见考察的题型有求函数的定义域、函数的值域、函数的单调区间等,本文具体探讨了四种情况。     

错在哪里

<正>题目已知函数f(x)=x³-6bx3-6bx²+b在区间(0,1)内存在平行于x轴的切线,则实数b的取值范围为_____.解因为切线平行于x轴,所以切线的斜率为0.因为f(x)=x2+b在区间(0,1)内存在平行于x轴的切线,则实数b的取值范围为_____.解因为切线平行于x轴,所以切线的斜率为0.因为f(x)=x³-6bx3-6bx²+b,所以f′(x)=3x2+b,所以f′(x)=3x²-12bx.由题意知f′(x)=0在(0,1)内有解,所以f′(x)=3x2-12bx.由题意知f′(x)=0在(0,1)内有解,所以f′(x)=3x²-12bx=0,得x=0或x=4b,所     

二次函数交点式的应用

如果二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于两点A（x₁,0）、B（x₂,0）,那么二次函数的解析式可写成y=a（x-x₁）（x- x₂）的形式,其中a是待定系数,这就是二次函数的交点式（或零点式）.下面举例说明这个形式在解题中的应用.     

谈二次函数与三次函数的零点式应用

<正>对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若有根x1,x2,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).同理对一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)若有根x1,x2,x3,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),其应用广泛,下面简单讨论其应用.1巧证不等式     

说点又非点——由一道高考题说起

题目（2012年江苏高考18题）若函数y=f（x）在x=x₀处取得极大值或极小值,则称x₀为函数y=f（x）的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f（x）=x³+ax²+bx的两个极值点.（1）求a和     

浅析函数零点在解题中的应用

函数零点是函数的重要性质,也是高考的热点,有些数学问题如能由题设的结构特征巧妙转化或构造出函数零点,往往使问题迎刃而解.现结合实例说明如下.一、巧化零点例1（2009年海南卷）已知函数f（x）=（x³+3x²+ax+b）e^-x（1）若a=b=-3,求f（x）的单调区间;（2）若f（x）在（-∞,α）,（2,β）上单调递增,在（α,2）,（β,+∞）上单调递减,     

巧用二次函数与一元二次方程关系解题

<正>我们知道,二次函数y=ax²+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根;反之,一元二次方程ax²+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax2+bx+c=0 (a≠0)的根是二次函数y=ax²+bx+c (a≠0)的图象与x轴交点的横坐标.在求解相关问题时,它们之间的这种关系如果能够灵活地运用,则不仅可以使解题过程大为简化,而且还可以获得巧解.下面举例说明.一、判断二次函数图象与x轴的交点情况     

根与系数关系运用的五个技巧

<正>如果一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)有两个实数根为x₁,x₂,则有x₁+x₂=-b/a,x₁·x₂=c/a.这就是一元二次方程根与系数的关系(又叫韦达定理).在运用根与系数的关系解决问题时,常常要运用一些技巧,现举例说明.     

斐波那契恒等式的一种几何解释

<正>斐波那契恒等式是指以下的恒等式^([1]):(a([1]):(a²+b2+b²)(x2)(x²+y2+y²)=(ax±by)2)=(ax±by)²+(bx±ay)2+(bx±ay)².这两个恒等式是意大利著名数学家斐波那契(Fibonacci,约1170—1250)在他的名著《算盘书》(写于1202年)中给出的,它们说明了如果两个数都能表示成两个平方数的和,那么它们的乘积也能表示成两个平方数的和.斐波那契恒等式是二次型的高斯理论     

一个公式的证明及其应用

设二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴的两个交点为A和B,其横坐标分别是方程ax²+bx+c=0的两个根x₁,x₂,则A、B两点间的距离为:|AB|=（?）/|a|下面用两种方法证明公式     

函数零点问题的求解策略

<正>函数的零点、方程的根、函数图象的交点问题是高考的热点.这三者之间形异质同,解题时要注意三者之间的互相转化.本文介绍解决此类问题的以下几种策略.策略1利用方程f(x)=0的根求解例1求函数f(x)={x²+2x-3,x≤0,ln x-2,x>0的零点个数.解当x≤0时,由方程x2+2x-3,x≤0,ln x-2,x>0的零点个数.解当x≤0时,由方程x²+2x-3=0,解得x=-3;