一道数学奥林匹克训练题的推广

《中等数学》2011年第4期有一道奥林匹克高中训练题，如下：如图1，在某城市中，M，N两地之间有整齐的（3×3）方格形道路网，A1，A2，A3，A4是道路网中位于一条对角线上的四个交汇点处．今在道路网M，N处的甲乙两人分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时分别向N，M处行走，     

一道爱尔兰数学奥林匹克题的推广

2012年爱尔兰数学奥林匹克有这样一道题为： 题目记S（n）表示整数n的各位数字之和．证明：不存在正整数n,使得     

一道美国数学奥林匹克几何题的推广

题1 设E、F分别是凸四边形ABCD的边AD、BC上的点,满足AE：ED=BF：FC,射线FE分别与射线BA、CD交于点．S、T．证明：△SAE、△SBF、△TCF和△TDE的外接圆有一个公共点．     

一道数学奥林匹克题的简证及推广

1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有这样一道题目 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并求不等式成立的条件 .简证　由于不等式是关于 x,y,z轮换对称的 ,故可设 x≥y≥z,从而　 x2 y y2 z z2 x≤ x2 y 2 xyz=xy(x 2 z) =12 x· 2 y· (x 2 z)≤ 12 (x 2 y x 2 z3 ) 3=12 [2 (x y z)3 ]3=12 × (23) 3 =42 7.等号在 x=2 y=x 2 z时成立 ,即 x=23,y=13,z=0时成立 .若条件不变则结论可推广为 :xnym ynzm znxm≤ nn· mm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .证明　推广后的不等式仍是关于 x,y,z的轮换对称…     

一道数学奥林匹克选拔题的探究与推广

<正>题目(2006年法国数学奥林匹克国家队选拔题)已知a,b,c是正实数,且abc=1,证明:■本题内涵丰富,由之可得到一些有用的结论,并进一步变换出一系列数学竞赛试题和数学问题．     

一道数学奥林匹克题的简证及推广

题　令ｘ、ｙ、ｚ是满足ｘ ｙ ｚ =1的非负实数。证明 :ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ 42 7,并求不等式成立的条件。( 1 999年加拿大数学奥林匹克题 )简证　由于不等式是关于ｘ、ｙ、ｚ轮换对称的 ,故可设ｘ≥ｙ≥ｚ ,从而ｘ2 ｙ ｙ2 ｚ ｚ2 ｘ≤ｘ2 ｙ 2ｘｙｚ=ｘｙ(ｘ 2ｚ) =12 ｘ·2 ｙ·(ｘ 2ｚ)≤ 12 ( ｘ 2 ｙ ｘ 2ｚ3 ) 3　 (∵ｘ、ｙ、ｚ非负 )=12 [2 (ｘ ｙ ｚ)3 ]3=42 7,等号在ｘ =2 ｙ =ｘ 2ｚ时成立 ,即ｘ =2 /3,ｙ =1 /3,ｚ =0。推广　若条件不变 ,则结论可推广为 :ｘｎｙｍ ｙｎｚｍ ｚｎｘｍ≤ ｎｎ·ｍｍ(ｎ ｍ) …     

一道数学奥林匹克高中训练题的简证

本文给出了一道数学奥林匹克高中加试训练题直接、简洁的证明过程.     

解答一道数学奥林匹克题

题目 定义正整数数列｛an}为a1=1,a2=2,ak＋2=2ak＋1＋ak（k≥1）.     

巧用均值不等式简解一道数学奥林匹克训练题

笔者无意中在文献[1]中看到了如下一道数学奥林匹克训练题，拜读了作者提供的解答后，受益匪浅，发现还可以利用均值不等式进行解答，且对该不等式进行推广．     

一道数学奥林匹克题的商榷

第33届美国数学奥林匹克(第二天,2004年4月28日)第6题: 凸四边形ABCD有内切圆W,设I为W的圆心,且(AI DI)2 (BI CI)2=(AB CD)2, 证明:ABCD是一个等腰梯形.     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]给出了一道东南数学奥林匹克试题的推广，本文继续讨论了这一试题，得到了推广结果以及给出一个相关命题．     

一道数学奥林匹克试题的推广

文[1]介绍了一组“世界各地数学奥林匹克试题”(文[1]未注明时间及出处)．第5题点M是△ABC的边AC上一点,以BM为直径的圆Γ交AB,AC于点P,Q,圆Γ在P,Q两点处的切线相交于点R．当点M变动时,求点R的轨迹．本文旨在对这道数学奥林匹克试题加以推     

一道数学奥林匹克问题的推广

2006年《中等数学》第三期的《数学奥林匹克问题》栏目提出了下面的问题： 已知x、y、z∈R＋，x＋y＋z=1．求证：（1/x^2）（1/y^2-y）（1/x^2-z）≥（26）^3．①本给出式①的变量个数推广形式和指数推广形式及相应的证明．     

一道数学奥林匹克问题的推广

《中等数学》2 0 0 2年第 2期数学奥林匹克问题高 1 1 0 :设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ .试证 :ａｂ2 + ｂｃ2 + ｃａ2 ≥ 1ａ+ 1ｂ+ 1ｃ.①本文推广不等式① ,得到如下命题　设ｘ1,ｘ2 ,… ,ｘｎ ∈Ｒ+ ,ｎ >1 ,αβ>0 .则ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ3+… + ｘαｎ - 1ｘβｎ+ ｘαｎｘβ1≥ｘα - β1+ｘα- β2 +… +ｘα - βｎ ,②等号当且仅当ｘ1=ｘ2 =… =ｘｎ 时成立 .证明 :(用数学归纳法 )( 1 )当ｎ =2时 ,式②左 -右 =ｘα1ｘβ2+ ｘα2ｘβ1-ｘα - β1-ｘα- β2=(ｘα1-ｘα2 ) (ｘβ1-ｘβ2 )ｘβ1ｘβ2.根据ｘ1>0 ,ｘ2 >0 ,αβ >0及幂函数…     

一道数学奥林匹克试题的推广

1999年加拿大数学奥林匹克第五题是: 设x、y、z是满足x y z=1的非负实数,证明:     

探究一道东南地区数学奥林匹克题

问题1求一个是三元整数组（l,m,n）（1〈z〈m〈n）,     

也谈一道数学奥林匹克题的简证及推广

1999年加拿大数学奥林匹克竞赛有一道试题 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 .证明 :x2 y y2 z z2 x≤ 42 7,并指出等号成立的条件 .文 [1]给出了这道赛题的简证并将其推广为 :令 x,y,z是满足 x y z=1的非负实数 ,则xnym ynzm znxm≤ nnmm(n m) n m(n>m,n,m∈ N) .上述推广是正确的 ,但赛题和推广的证明方法都是错误的 .这是因为式子xnym ynzm znxm (n>m,n,m∈N) (*)是关于 x,y,z的轮换对称式 ,而不是 x,y,z的 (可换 )对称式 .如果在 (*)式中作轮换代换 (x,y,z)→ (y,z,x)或 (x,y,z)→ (z,x,y) ,所得式子与 (*)式相同 ;但…