一道联赛几何题的面积证法

题(1999年全国高中数学联赛加试题第一题)在四边形ABCD中,对角线AC平分∠BAD,在CD上取一点E,使BE与AC相交与F,延长DF交BC于G,求证:∠GAC=∠EAC.证明设∠BAC=∠CAD=γ,∠GAC=α,∠EAC=β,连接BD交AC于H,在ΔBCD中,SΔBFCSΔCFD=BHHD,SSΔΔCBFFDD=GCBG,SSΔΔBBFFDC=ECED,∴HBHD.CDEE.BCGG=SSΔΔBCFFDC.SSΔΔBBFFCD.SSΔΔBCFFDD=1.又∵AC平分∠BAD,∴AADB=BHHD,∴AABD.CDEE.BCGG=1,∴AADB.SSΔΔCAEDAE.SSΔAABCGG=1.∴AADB.ADA.CA.EA.Esi.n(siγnβ-β).∴sin(…     

一道几何题的五种证法

例题：如图1，AB∥CD，那么α、β、γ三者之间的关系为（ ）．     

一道几何题的多种证法

一题多解有利于开拓思路，培养思维能力．本文将研究一道几何题的多种证法，供读者参考．题目如图１，已知ＡＢＣ为等边三角形，延长ＢＣ到Ｄ，又延长ＢＡ到Ｅ，使ＡＥ＝ＢＤ，连结ＣＥ、ＤＥ．求证：ＣＥ＝ＤＥ．分析利用全等三角形证明两条线段相等是最基本而又最常用的方法．但在给定图形中并没有以ＣＥ、ＤＥ为一对对应边的全等三角形，因此必须添加辅助线，构成证题所需的全等三角形．具体添加辅助线的方法有如下六种：（１）在ＡＥ上取一点Ｆ，使ＡＦ＝ＣＤ，连结ＤＦ（如图１），则ＥＦ＝ＢＣ＝ＡＣ，ＢＦ＝ＢＤ．于是，欲证ＣＥ＝Ｄ…     

一道几何题的多种证法

在几何复习中,学生做题不在于多,而在于精,一题多解(证)有利于复习相关知识,加深知识间的联系,促进知识与能力相互转化。不仅如此,利用一题多解(证)还能激发学生的强烈的学习兴趣和求知欲,开阔学生的视野,促使学生多角度思考问题,促进学生思维发展,提高思维能力。题目:如图,四边形ABCD为⊙O的内接四边形,对角线AC⊥BD,垂足为E,M为AD的中点,AM=EM,ON⊥BC于N,求证:EM=ON思路一:从EM和ON的位置联想构造平行四边形。证明一:(如图)连结OM、NE,并延长ME交BC于P,延长NE交AD于Q,∵M是AD的中点,∠AED=90°,∴∠MEA=∠EAM.∵∠…     

一道几何题的多种证法

一题多解的目的在于开拓同学们的思路,培养同学们的思维能力,还能促使养成对事物的探索精神,努力运用数学基础知识,找出更多的解题途径,提高解决问题的能力。     

一道几何题的多种证法

在△ ABC中 ,∠ C=90°,CD⊥ AB于 D,AM是∠ BAC的平分线 ,交 CD于 E,交 BC于 M,过E作 EF∥ AB交 BC于 F。求证 :CM=BF。证法一 :(运用三角形知识 )证明 :过 M作 MN⊥ AB于点 N。∵∠ 1=∠ 2 ,易证△ ACM≌△ ANM,∴CM=MN。　 ( 1)又 CD⊥ ABMN⊥ AB CD∥ MN, ∠ 3=∠ 5∠ 4 =∠ 5 ∠ 3=∠ 4 CE=CM。　 ( 2 )由 ( 1)、( 2 )得 CE=MN。在 Rt△ EFC和 Rt△ NBM中 ,EF∥ AB ∠ B=∠ CFE,∠ CEF=∠ MNB,CE=MN Rt△ EFC≌ Rt△ NBM,∴ CF=BM,∴ CM=BF。　　证法二 :(运用四边形知识 )证明 :过 M…     

一道几何题的多种证法

题 如图所示,在矩形ABCD中,A_1E∥AB,AA_1=A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4D=a,AB_1=B_1B_2=B_2B=3~(1/2)a, 求证:∠B_1A_1E     

一道几何题的多种证法

在正方形ABCD中，P，E分别为BC，DC的中点，连接AP，BE交于点H，连接DH，试证明：AD=HD．     

一道几何题的多种证法

例已知:如图1 △ABC中,AB=AC、PE⊥AB.PF⊥AC,BD⊥AC.求证:BD=PE+PF.一、截取法一条线段等于两条线段的和,可在最长线段上截取一条与其中一条较短的线段相等,再证明剩下的线段与另一条线段相等,     

一道几何题的补充证法

《中等数学》1983年第2期第47页上有一道几何题:五、设 ABCD 是正方形,M 是 AB 边的中点,MN⊥DM,BN 平分∠ABC 的外角,用解析法证明:|MD|=|MN|.我们可以把题中的条件减弱为 M 是 AB 边上的任一点,则结论是完全成立的。     

一道几何题的多种证法

对于几何证明题,若能根据已知、求证、结合所给图形的特征(数字、关系、结构),通过分析、思考,适当的添置辅助线,则能形成证题思路,下面举例说明.例已知:AB∥CD,EB、EC分别为∠ABC和∠DCB的角平分线.求证:BC=AB DC思路分析:对于形如a=b c的结论,可运用截长补短法证,即在较长的线段上截取与两条线段中一条相等的一段,然后证明剩下的线段与另一条线段相等.或延长(补全)较短的一边使其与最长的线段相等,再证所延长的线段与另外一条相等.证法一:在线段BC上截取BK=BA,连接EK.∵EB、EC分别为∠ABC和∠DCB的角平分线,∴∠ABE=∠K…     

巧用面积证法证几何题

古希腊数学家和哲学家(欧几里得)在他的名著《几何原本》中巧妙地利用等积变换来完成了勾股定理的证明。我国古代数学家对勾股定理的证明也是利用面积的变换来完成的。用面积作为媒介可以证一些比较复杂的几何题,原因是三角形(或其他多边形)的面积与其边、角是有密切联系的(有很多公式揭示了这种联系),面积是多边形的一个整体量,而边、角是多边形的局部元素,巧妙地利用面积与边角的关系式是由整体到局部(或由局部到整体)过渡的有效手段。对有些证明线段相等、角度相等、和差倍分、比例式等问题采用“面积证法”有时会显得特别简便。