应用托勒密定理证明Erds不等式

Erds 是近代匈牙利数学家,1935年他提出了一个很强的不等式:“P 为△ABG 内一点,它到边 BG,CA,AB的距离分别为 PA_1,PB_1,PC_1,则 PA+PB+PC≥2(PA_1+PB_1+PC_1)”.他本人在1937年利用三角方法证明了这个不等式.这里试用托勒密(Ptolemy)定理以纯几何的方法加以证明.     

Erds—Mordell定理的一个简证

<正> 1935年,Faul Erdos猜想,对三角形ABC内(或其边界上)任一点I、从I到各顶点的距离之和至少二倍于从I到△ABC各边的距离之和、他更进一步地猜想,等号的情况成立当且仅当△ABC是等边的且I为其外接圆心虽然这猜想是极易阐明的,但第一个证明却是到1937年才由L·J·Mordell所给出,并且一点没用初等方法第一个初等证法是在1945年由D·K·Kazarinoff给出,但其证明之繁杂以致于看起来有矫柔造作之感.本文的目的,就是给一个对大学生来讲既自然又易于接受的证明.     

应用均值定理证明不等式

均值定理是“不等式”这一章重要的公式之一,它是不等式证明的有力工具,本文介绍了均值定理证明不等式的几项基本原则,希望对同学们学习有所启迪,下面举例说明.     

应用不等定理证明不等式

不等式证明题是数学证明题的重要组成部分,其内容相当丰富,证法非常多,本文将应用不等定理来证明不等式.     

一个加权的Erds-Mordell型不等式及其应用

建立了一个新的加权的Erdos Mordell型不等式 ,由此推导出其它一系列新的几何不等式 ,同时提出了一个有关的猜想 .     

也谈利用函数证明不等式

不等式的证明是高中数学中的一个重要内容,方法多、思路灵活、技巧性强．教材中介绍了比较法、分析法和综合法等常规证法．但对于许多结构新颖、风格各异的不等式,运用常规方法往往难以奏效,或者证明过程十分繁琐,有必要另辟蹊径,以发挥求异思维的探索功能．函数是贯穿于高中数学课程的一条主线,它是高考与竞赛试题的主要内容,而利用函数在处理不等式问题上往往大有用武之地．     

也谈一道不等式的证明

浙师大《中学教研》(数学)1991年6期6页上有三篇文章都谈到了如下的不等式:|a|0得1 a~2b~2>a~2 b~2,在后一式两边同加上2ab 得(1 ab)~2>(a b)~2,即|(a b)/(1 ab)|<1。     

也谈一类不等式的证明

文 [1 ]通过构造数轴上的点 ,借助定比分点公式给出了形如ｘ1<ｘ <ｘ2 型不等式以新证。但此法较繁。如果我们利用如下熟知结果 :若ｘ1、ｘ2 ∈Ｒ ,且ｘ1<ｘ2 ,有(ｘ -ｘ1) (ｘ -ｘ2 ) <0 ｘ1<ｘ <ｘ2 。则可给出这类不等式以简洁流畅的证明 ,现就文[1 ]各例述之。例 1　 (原文例 1 ,下同 )　已知 |ａ| <1 ,|ｂ| <1。证明 :-1 <ａ ｂ1 ａｂ<1。证明　∵ |ａ| <1 ,|ｂ| <1 ,∴ａ2 <1 ,ｂ2 <1。( ａ ｂ1 ａｂ 1 ) ( ａ ｂ1 ａｂ-1 ) =(ａ ｂ) 2 -( 1 ａｂ) 2( 1 ａｂ) 2=-( 1 -ａ2 ) ( 1 -ｂ2 )( 1 ａｂ) 2 <0 ,故 -1 <ａ ｂ1 …     

Ptolemy定理的应用

本文着重探讨初等几何中著名的Ptolemy定理在几何及代数问题中的应用。     

应用微分中值定理证明不等式

本文着重说明应用微分中值定理证明不等式时,函数f(x)的选取方法,介绍一些用初等数学方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式,而用微分中值定理可以简捷地解决的情形,其中关键是要选择好函数f(x)。微分中值定理是:“若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得 f′(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)”。用微分中值定理证明不等式的主要依据是选定符合微分中值定理条件的函数f(x)后,若在所讨论的区间内有m相似文献   

也谈利用柯西不等式及其推论证明不等式

文[1]在分析文[2]解题过程后,从柯西不等式出发,推导出两个推论(推论1和推论2),并通过举例试图说明利用这两个推论可方便迅速地解决很多不等式证明问题.笔者仔细研读后,发现文[1]中给出的方法比文[2]的方法方便得多;但同时也发现文[1]对柯西不等式表达不够严谨,给出的两个推论过于特殊化(受条件     

也谈一组不等式的证明

本刊87年第3期30页用“组合知识”证明了一组条件不等式。这些结果,在函数的凹凸性质看来是显然的,而限于初等方法却颇具技巧。本文将应用平均值不等式和连乘的技巧证明几个更一般性的命题,其方法本身为这类不等式提供了一个较为经济而统一的处理。     

中值定理在不等式证明中的应用

本文运用二元函数中值定理,导出一个基本引量和几个结论,并应用于不等式的证明。     

利用二项式定理证明不等式

含有指数为正整数的不等式或者含有组合数的不等式的证明的方法比较多,不过多见用二项式定理证明和数学归纳法证明。本文笔者仅谈用二项式定理来证明有关指数为正整数的不等式。     

运用二项式定理证明不等式

二项式定理以结构的对称性给人以美的享受,这种美感更体现在它的广泛应用上。运用二项式定理证明一些不等式,结构简明,思路清晰,可达事半功倍之效。 例1 已知数列|a_n|,|b_n|,分别是等差数列和等比数列,且a_1=b_1,a_2=b_2,a_1≠a_2;a_n>0(n∈N~ ),求证:当n≥3时,a_nN时a_n<0,矛盾。故d>0。 n≥3,b_n=b_1q~(n-1)=a_(a_2/a_1)~(n-1) =a_1((a_1) a_1)~(n-1)=a_1(1 d/(a_1))~(n-1) =a_1[1 C_(n-1)~1d/(a_1) C_(n-1)~2 … C_(n-1)~(n-1)(d/(a_1))~(n-1)]     

用二项式定理证明不等式

在不等式证明中,我们发现一些与自然数n有关的幂不等式的证明,若能根据不等式的结构特征,联想二项式定理,常能收到事半功倍的效果,请看例题:     

也谈一个不等式的证明及推广

本文对《一个猜想的否定及改进》一文给出的一个命题及其拓展进行了探究,同时给出该命题的另一种证法,并对命题及其拓展进行加权推广.     

也谈数列和式不等式的证明策略

数列中的不等式的证明（或比较大小）是高考中比较常见的题型,且大多是无法求出通项公式的