谈高考试题中的正方体模型

正方体模型是集线线、线面、面面平行,垂直于一体的立几基本图形,它倍受高考命题者的青睐.在立体几何复习中,进行模型教学,融高考题于一体,创造性地设计、构造新颖,富有启发性的问题,对于把握立体几何中知识和能力要求的高度,提高授课质量,大有裨益.本文以正方体模型为依托,通过图形的演变揭示一些高考题的构成规律.例1 如图1,已知正方体ABCD—A_1B_1C_1D_1的棱长为a,以它的顶点为顶点的四面体共有(A)70个(B)64个(C)58个(D)52个(’90高考理科试题,叙述略有改变)分析 在8个顶点中取4个顶点有C_8~4个,由于4点共面不构成四面体,故排除正方体各侧面6个,对角面2个,相对棱共面4个,所求的四面体为C_8~4-12=58(个),故选(C).例2 已知某正方体对角线长为a,那么这个正方体全面积是     

运用补体法巧解立体几何问题

补体法就是将原已知几何体进行修补,使它成为熟悉的几何体,如正方体、长方体、平行六面体、锥体、台体、球体等等,再利用新图形特有的性质,探求解题途径的思想方法.本文例谈补体法在解立体几何问题中的应用. 一、求距离例1 若一个四面体相对棱长相等,其长分别为a、b、c,试求相对棱间的距离. 解:根据题意,将原四面体补成长方体如图1,则长方体相对面间的距离即为四面体ABCD相对棱间的距离,设AB=CD=a,AC=BD=b,AD=BC=c,长方体     

从一个特殊的四面体所想到的

正如三角形是平面几何的基本图形一样，四面体也是立体几何的一个基本的几何体在空间的点与线间的关系。线与面的关系、面与面的关系，都可以在四面体上进行研究．特别是有关二面角问题用四面体为载体进行研究更为便捷．下面就来研究一个特殊的四面体即四个面都是直角三角形的四面体，与立体几何题的关系．     

补形巧解立体几何题

<正>巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种解题方法,是把一个几何体补成另一个几何体,从而在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题,这样可以使要求解的问题变得简单,解题过程简捷,思维空间广阔,解题方法新颖,问题获解顺利.1把正四面体补成正方体例1一个四面体的棱长都为槡2,四个顶点都在同一球面上,则球的表面积为().A.3πB.4πC.3槡3πD.6π解析如图1,把四面体补成一个棱长为1的     

为什么被“溜走”、“停住”?

1.问题提出题目正四面体ABCD的棱长为1,棱AB平面α,则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值     

三角形的性质定理在四面体中的推广

空间最基本的几何图形是四面体,它的每一个面都是三角形,当共顶点的三条棱逐渐缩短,直到该点落到对面三角形所在平面,空间图形又回到平面图形．也就是说,四面体与三角形之间有着必然的联系．三角形的如下性质已经类比地推广到了四面体中：     

关于等腰四面体

本文简介等腰四面体的性质和四个充要条件。在此基础上,进一步阐述等腰四面体关于以棱为棱的二面角和相对棱的公垂线的两个充要条件,以及关于体积公式、三面角的几个推论。     

回归整体妙解立几题

在高中立体几何教学中,时常遇到这样的情况,从题目给出的条件和图形中直接求解,会感到很麻烦,甚至出现思路受阻而束手无策.此时倘若改变策略,视给出图形为局部,联想整体,即将已知图形置于某个特殊几何图形中,利用整体的特殊性质常能使问题柳暗花明,甚至能快速得解.本文试着眼于立几中最常用,也是极重要的三种几何体即四面体,长方体和正方体作为构建的特殊整体,来阐述回归整体法解立几题的妙处.1　回归四面体四面体即三棱锥,其特性有:相对两棱是异面直线;各个面皆为三角形.正四面体各棱长相等;各面为全等正三角形,中心(外接球、内切球球心)到…     

对一个特殊四面体性质的研究

有这样一个常见的四面体 (如图一 ) :棱ＰＡ⊥底面ＡＢＣ ,ＡＣ⊥ＢＣ 这个四面体有如下几个已知的性质 :性质 (1 )四面体ＰＡＢＣ中共有四个Ｒｔ△ ,分别是 :Ｒｔ△ＰＡＢ,Ｒｔ△ＰＡＣ,Ｒｔ△ＡＢＣ,Ｒｔ△ＰＢＣ.性质 (2 )四面体ＰＡＢＣ中共有三个面互相垂直 ,分别是 :面Ｐ     

排列组合题的求解策略

本文就排列、组合题的求解方法作一归纳总结,以揭示这类问题的求解规律.一、剔除法对有限制条件的问题,先以总体考虑,再把不符合条件的所有情况剔除,这是解决排列、组合题的常用策略.【例1】四面体的顶点和各棱中点共10个点,在其中任取4个不共面的点,不同的取法共有()A1150种B1147种C1144种D1141种分析:在这10个点中,不共面的不好寻找,因此采取剔除法,由10个点中取4个点的组合数C410减去4个点共面的个数,即为所求,4点共面的情形可分三类:第一类:四面体中每个面的四个点共面共有4C46=60种;第二类:四面体的每四个棱的中点构成平行四边形,则…     

例说立几问题解决中部分图形的整体化

1 部分图形延伸为整体后的增加直观 例1 一个四面体的所有棱长都为拒,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为（ ）．     

关于四面体的一个定理及其应用

四面体是空间最基本的几何体，对它的研究可以使我们在解决立体几何有关问题时找到解题的有效途径．本文将给出一个定理并简单说明其应用．定理设四面体P-ABC的一组对棱PA和BC所成的角为θ，则证明如图设MK是异面直线PA和BC的公垂线段（如图1）.AP和BC所成的角为θ．由异面直线     

将空间问题化归为平面问题的几种途径

化归思想是数学基本思想之一,即将新的问题化归为熟知的或者易于解决的问题,使新问题获得解决,取得一种“反弹”成功效应。化归思想在立几中的应用是多方面的,而空间问题化归为平面问题则是立几中重要的解题策略。一、利用投影将空间问题化归为平面问题例1 求证:四面体中有两组对棱平方和相等,则第三组对棱必互相垂直。分析:如图1,设在四面体ABCD中,AB~2 CD~2=AD~2 BC~2,现证AC⊥BD,很自然想到立几中的“骨干”定理——三垂线定理及其逆定理,故需作面垂线AH⊥平面BCD、若能证得CH⊥BD就能推出结论。这时空间四边形问题已化归为平面四边形问题,只须证明四边形BCDH中其对角线互相垂直。简证:设∠BOH=a,OB=a,OC=b,OD=     

从一道高考题谈起

20 0 3年高考江苏卷数学第 (16 )题是 :对于四面体 ABCD,给出下列四个命题(1)若 AB=AC,BD=CD,则 BC⊥AD.(2 )若 AB=CD,AC=BD,则 BC⊥ AD.(3)若 AB⊥AC,BD⊥CD,则 BC⊥AD.(4 )若 AB⊥ CD,BD⊥ AC,则 BC⊥ AD.其中真命题的序号是 .(写出所有真命题的序号 )真命题的序号是 (1)、(4 ) .给出的四个命题中的 (1)、(2 )是关于邻棱或对棱相等的四面体问题 ;(3)、(4 )是关于邻棱或对棱垂直的四面体问题 .笔者感兴趣的是 :一组、两组、三组对棱分别相等的四面体有何性质 ?一组、两组、三组对棱分别垂直的四面体又有何性质 ?经过…     

化学试题中的正八面体

正八面体是一种对称完美的立体图形，如图，它有八个完全相同的面，每个面都是正三角形．正八面体有六个顶点，十二条棱．它的6个顶点在空间完全等同，选定一个顶点后另五个顶点就在空间与之形成两种相对的位置，四个顶点与之相邻，一个顶点与之相对．就是说，正八面体的6个顶点在空间的位置只有两种：     

直角四面体的性质及应用

所谓直角四面体 ,是指由同一点出发的 ,两两互相垂直的三条棱所构成的四面体 .其中两两垂直的三条棱叫直角棱 ,两两垂直的三个面叫直角面 ,另一个面相对来说叫做斜面 .本文旨在通过对直角四面体的多种性质的挖掘 ,揭示直角四面体的结构特征 ,展示思维过程 .1　直角四面体中有关角的性质定理 1　直角四面体斜面上任一点与直角顶点的连线和三条直角棱所成角的余弦的平方和等于 1.分析　设Ｐ是直角四面体Ｏ -ＡＢＣ的斜面ＡＢＣ上任一点 ,若Ｐ为ＡＢ、ＡＣ、ＢＣ上的任一点 ,命题显然成立 ;若Ｐ为其他的点 ,则过Ｐ作三个平面分别平行于三个直角…     

会用图形的展开与折叠

日常生活中,我们见到的几何图形和几何体举不胜举,可你注意到许多关于立体图形的问题可以转化为平面图形来解决,而利用平面图形的知识也可以解决有关立体图形的问题了吗?没有亲身经历,相信你一定半信半疑.下面就结合例题和同学们一起“释密”.例1如图1,一个多面体的展开图中,每个面内的大写字母表示该面,被剪开的棱边所注的小写字母可表示该棱.(1)说出这个多面体的名称;(2)写出所有相对的面;(3)若把这个展开图折叠起来成立体时,哪些被剪开的棱将会重合?思路:选取面X相对固定,将面R,面Y想像折起,再遮挡面Q,Z,P即成.解答:(1)这个多面体是正…     

四面体重心的性质

四面体重心的性质陕西省武功县５７０２厂中学王丕直杨明皓四面体作为空间图形，应有四种重心：（ｉ）顶点集合的重心；（ｉ）棱集合的重心；（ｉｉ）表面图形的重心；（ｉｖ）几何体的重心．与三角形的情形相一致，四面体的体积重心与顶点重心相重合，简称为四面体的重心...     

构造长方体 巧求四面体体积

例 在四面体P-ABC中,三组对棱分别相等,且依次为2(5~(1/2))cm,2(13~(1/2))cm,2(10~(1/2))cm,求四面体的体积。 解 因长方体中,以不相邻的四个顶点为顶点的四面体的对棱相等,所以构造长方体,使得四面体的对棱分别为长方体相对面     

构造图形培养学生空间想象能力

空间想象能力是指:能根据条件画出正确的图形,能根据图形想象出直观形象,能对图形进行分解组合与变形.而学生空间想象能力提高的一个标志是如何构造满足要求的立体图形,例如:一个四面体的四个面中最多有多少个直角三角形?(A)1个 (B)2个(C)3个(D)4个(92年高考题),这样的问题需要学生去思考是否存在有四个面或三个面均为直角三角形的四面体(其中有二个面为直角三角形的图形容易构造),并画出它的图形?它需要学生具备创造能力,具有挑战性.因此在立几教学过程中,教师要有意识地渗透构造思想发展学生创造能力,下面谈谈笔者在教学实践中的一些做法和体会.