利用结论 巧解赛题

结论若a+b+。~0,ab‘笋0,则l,1 .1-石一十兀下一.十一花一~a“O“‘.,1,1 .1、,L—日一下尸~卜—,“. a口‘二,l,1 .1、,一气—叶~~下-州卜—,“ aD‘ 1,l,12一一不刃日一一了犷州卜一下一州卜一-丁一La十白叫卜c少 a“O“f一aD汇,a十b+c~0,十告+告一(告+含+分·若a,b,乙为两两不等的有理数,明L证·二例求证理数 了1,1 .1、,一:^l,二ee一一了二二十一万厂一--万了十-丁一一-二二刀有 V气况一口,“又口一门“气亡一d,“-.(北京市1991,初二数学竞赛决赛题)证明’.’(a一b)+(b一。)+(。一a)~0, 1‘1 .1 ,厂一一一下不丁歹十一万二一一一二…     

取倒数解题几例

取倒数解题技巧性强,在竞赛中经常用到.本文举几例说明之.例1 已知:1bc百’万干石。、b、‘为实数,且 召ba十b一奋于六一含,~_,abc刀卜饭久二万一下一又丁一不二二一 ‘‘心尹一「砚沪‘刁一‘4名一 (1997年“希望杯”数学邀请赛初二试题)对已知条件中各式取倒数得 1_1月一-下一-J,几尸 口O+工一4,工十工一5,‘口解1一a 1,1 .1 —州卜~下,州卜—~ “口Cab+bc十caabe1二一一b取倒数得abcab+bc+‘a例2设a- 工y+二 y二+x,‘一:共,二,且x十y+z半 ‘￡.牛.y ~二a .bU,纵U二,不一丁~卜夏卜不-下尸刊一 “甲尸1口门尸1 ‘‘+1(1996年“五羊杯”数…     

一个比例性质的应用

。一--d 定理a年日且若落二十夕+z寺。,求证a一。肋斗。,‘一、日d斗01+刀z口1+a.1+m bl+Inc十—一—十—一二- 1+01+c=爪十2。c+adc+日汀式成为1=1,失去研究价值)证’:a、b、c不为零和一1,知x、y、:也不为零。从而将条件式分别改为 ︷一白一ba QU月则夕+a+(若a=钡日此证则x+夕 Z1一白 一一X一Z︷1尹 一一Z一+一Xy一,①②C十d①对照要证明的等式左边各项,选取a日=1由定理有 a +Cr口 一一 a 十a一乙==刀2acl一d一,以a日十一+C一C 一一乙一乙 a口尸同理有①、②得a刁一ab ba+日b bc十日dd②刀十z+mx_1一卜ma y+z十xl+a夕+“十1+水b1+b 当…     

香港考试局一九八五年高等程度会考普通数学试题

本试卷共八题,每题十六分,任选六题。一、设 .、、、弓...产/00占l0100了了rlee、、、 一一 及、、、111 11100 110 01J了l、, 一一 A(1)用数学归纳法证明对任意正整数n, ”(n+1)1刀0100)(2)求矩阵X其中k为大于1的常数。 (2)①设a,b,。为正数,试证 (a+吞)(b+c)(e+a)乡另abc。 ②已知(x一a)(x一夕)(x一川二大,十:尸+,x+*,其中a,夕,y,:,,,,均为常数.试以:,,,留表示a十口+y,a吞+吞y+ya和a口y。 ③若。。,夕.,y。为正数,且为尸一户十,二一1/32一。的三个根,其中,为常数,求a。+口。+y。及a。夕。y。的值. 利用①的结果,证明 (l一。。)(1一夕。)…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

利用函数的单调性证不等式

利用函数的单调性证明不等式,证题思路简捷明快,下面举例说明之. 例1已知a、b、。为△ABC的三边,求证: a_b .e二一一一<丁于下 了共一.1 a一1 b’1 c‘证:设f(x)一万华一(一1一 1卞X 11十x)(xa,b,‘),显然f(x)在R十上是增函数. 又‘:a、瓦:为△ABC的三边,a相似文献   

代数设参法证明不等式

例1 证明 已知a十b c- 矿十护 挤) d，求证 有 所以 b一x十1，a一y 1， 共 口—l 夕 a一1 _(夕 1)，l(x 1)， ——一r— 矛一3’ 设a 1 ~二丁d十X，口 j 1 一气犷a十y， 口 ，2 (止 兰)十(垫十 \Jy/、工 X 2工 \.11 .1\ 1十l一十一1 ，、工y， 1，.~ c一气犷a十z，主土x十y十z     

用“和式换元”证明分式不等式(高二、高三)

例1已知a,b,:eR ,且所以_一_.{b cc aa blU芝之入味,”nn气—,一飞一一,—了· 叹a OC夕 a bc~3水证:扩片一了一气万十了气甲了一一育玄十丁节尸夏甲一一育丁多万二丁丁. U~1一‘—八“‘门,以—八口以~「口—八‘。八弃去瑞十拜六丽 并食不踌韶瑞(笋分韵一备证明设b ‘一从~x, c a一劝一y,杯十百一知、示击而 3 1十久 32一久故原不等式成立./‘吐‘、1 十沱、、吸月乎尹则好淤器瑞例2设“、eR “一l,2,…,动,k)1.求证: 挥 y z(2一久)(1十久) x y十琴(2一久)(l卡久) 0(又<2, a1即十a3十…十嘶十(-下份群匕一 人al.月,a3州户.…乍a陀十… …     

用拆项法求分数项数列前n项和

1.直接拆项求和i一犷 + 劣 了气例1.求和尽。钊:+立一)+ 歹十。。。一卜 1‘留”十丽一解(劣,鱿=l) 夕一1军”(军一1),(公二1,夕戈1)S”==劣(]一劣n)一r 1.,1一工(x今1,夕,1)毛些卫丝斗1一劣 参一1夕”(今一1)(劣戈1,夕戈1.)2.用部分分式拆项求和~盆_。_、_。1”IJz·水利巧”二不可嘴’万l十 1+一丽不万灭而石犷’/..、114解S,=之).,11\十、—一尸二户少 5日+。二十(一生一-一-二一)一4几一34界+1〕 几石万‘ 一般地,若a:,aZ,数列,a,戈0,花=1,2,得: 一生一+卫匕+.” 口x口2口2口3a,,…为等差公差为d,则易 1十一 口”口”+l 件一一, G工…     

数学练习题(十二)解答

日T.设0《a,b,c(1,求证 a .b,c.,J_、,J,、,J、,J一丁-一丁一;尸一下-气二十下一一泞一二一下一一,十,丁-下一一,一下下,卞Li一a少LI一0少(i一‘少荟盏1。1十O十‘1十‘十al十“十口证设O‘a(b(‘(1,由于刁门+。+。)(z一。)(i一。)镇二工土兰土互立二里二兰上立上全曰-一2. J (1+a+乙)(1一a)(1一乙)(1. :、一1以{J Ll一a少气1一Uj尧;二~;兀不~厂. 1卞“勺卜U (1一a)(1一b)(1一e 一1一C1妥》、— 一1十a+b工一a1一+1一万+(1一“)(1一b)(1一c)(1a+b+e气万一一一不面一十气1一1~卜a十Oa)(1一乙)(1一c)(1.石一否一 一 一 a1+b+e 1+1十C+…     

凸四边形绝对值方程又一形式

②中给出凸四边形的一般形式.本文给出另一形式,它不含二重绝对值(符号). 引理若A(a,b),B(c,d),C(e,f),D(g,h)是凸四边形四顶点,令川刊川|川fd人尸‘g 一一 D弓.人,工‘.几bd召心g 一一 D 0. 笋D oD 事实上,因A,B;C,点,D:,D:非零且异号,0}D为凸四边形顶故,上︸.上‘.工11b d fh口c eg 一一 D D一}D,iDZ一}DZ}D,尹0. 定理凸四边形ABCD顶点为A(a,b),B(。,d),C(e,f),D(g,h).则其绝对值方程可写为 }a:x十b,y十‘,1+rlaZ二十饥y+。:}+a3x 十b3少十e3一0.(*) 其中a,,b,,。.,r(i~l,2,3)可由a,b,…,g,h确定. 可仿③定理l的证明.现举一…     

一组解析几何试题(1982年日本高考题选译)

①②一、昭和医科大学题题设有二曲线,~护(1)(2) 红二尸一Zx+3求①和②的公切线在①上取一点P,在②上取一点口,p和p‘的夕坐标设为yl、一y,,作出直线AP和A’P‘的方程,可以求其交点.利用点(x,,万,)在椭圆上,消去x,、刀,即可. 解答平行于y轴的直线为x~x、,P、p’的坐标一没为②③线段pQ的中点设为R。图示点R所在的区域.解(功所求公切线设为y一ax+乙,对于①、②有 xZ一刀x一乙一O,xZ一(2+。)x+3一b一0。的判别式各为0, 即a“斗4b一0, (2+a)“一4(3一b)一0 解之a~2,b一一1. 答:歹~Zx一1. (2)设P(a,aZ)、Q(口,夕2一2口+3),中点R的坐标(X…     

构造方程巧解题

例i已知5(a一。)+、厂息(。一。)+(。一。)一。(a举。),~(c一b)(c一a)‘二~户抓一一一一丁一-一一丁又爪片一一-口习1月‘. 气以—口,-解将已知等式变形为(a一占)(、/万),+(占一‘)·、污+(。一。)一0.这就是说,丫万是一元二次方程恤一b)x“+(b一c)x+(c一a)一O①的一个根.又因为(a一b)+(b一c)+(c一a)一。故方程①的另一个根是1,于是有一点点滴滴一厂污+1-生二“—息,轰—倪一b.厅由此可得(c一b)(c一a)(a一b)2了了十1).侧万一5+ 例2脚n4+趁2 m2一、_1 .1_匕翔砰十石一j-O,刀难+nZ3一。且六、nZ,求解的值.由已知条件知生,、,是方程尹十二一3…     

一道IMO预选题的简单解法

在第31届IMO预选赛中,有这样一道题:设a、b、c、d是满足ab 酝十cd da二1的非负实数,试证: a3西3 c3 d31于一厂二-二一于 一一,,一丁一; 一丁;一,一奋十一二、-下一)牛口 C 叮一口 C 以’a b 召一a 少 c一3 把上述不等式左、右两边分别招加: a 3b,e3口,云下-一万丁石十~丁丁二厂下一马十二了万一:一石 -尸二—u,‘一““个‘十a“十D十a夕升夕十C~1‘‘二,石~又a十口十C十a夕一 石412一矗〔·十”十‘十‘’1l3’本文应用均值不等式(宁异而·(a b c e)一,二 一竺苍丝习示,x、;、:、。*·)给出这道试题一种简单的解法.,.’ ab b‘ cd da=1…     

绝对值的一组练习(初一、初二)

已知三个数a,b,。满足a{+a=O,lab卜ab,{‘l一。=则}b{一}〔一bl一{a+b{+la一‘ b_.~__十下一二下小能寺丁一乙,U,1, }口{a一a,2.若ab并O,则2这四个数中的( (A)一2.(B)0.(C)(D)2.1镇二(2,则y的最大值与最小值之差是() (A)4.(B)3.(C)2.(D)1. 6.已知y一{2二+6】十】二一11一4}、十1{,求y的最大值. 7.二为任意有理数,则一x+1}+}二+21+}二+3!十}二+4}+}二十5}的最小值是_. 8.设a+b+‘一O,ab。>O,则3.若工一220042005,则{二}+1二一1}十}二一2一+b+c .c+aa十b,二,小二,—十甲万一下十下一一下四t巨,毛气一a}一o}}c}二一3{+},一41+}二一5}~ 4.…     

分式求值题的类型及其解法

J阵‘?一一钊奋J饱卜写泛;二,拓谈:__蔽共J卜‘a.十 砂画化简习甲价一sa十6 一示军a一二 几‘只一a于注萨:一竖、1其中硬二一3,_- 解原式:.(2002年四川省中考题_伙二qZ_7:_叭八卜b彝污泛一。(a·沁.乍1么居二二渗一1(卜3, 第四种类型:先将已知等武形.林乏亦虎羊干已翎等式亦开a+少二二~‘二-‘‘‘-- 矛.,乙 ;戈牛一、_竺土且二一口红 护一4矿气4{汀色一1‘干一一洛入只一以︸卜,,叶蕊‘=一树,麟、悬代入求伯 应歹沂汾叠杯万沂二卿订于一省’叭则分式竺二翅生互.合 一1,一琴勺{一y (,nn,革关士市中老颧应〕请你先化简,再选取-二,升斗甲 (…     

例谈解二元二次方程组的思想方法

解二元二次方程组除运用转化的思想方法外,还有:一 一、降次、消元的思想方法 例1解方程组①②x”一少二3x十3y尹一xy+少一27:由①有:(x+户(二一户一3(x+y)~。,仁l卜解:.(二+必(x一y一3)=o(降次)故原方程组可化为以下两个方程组:}‘+夕一o,_lx‘一习十y乙一27{’厂’一3一夕,Lx‘一秒十少一27用消元法可求得方程组的解为:一一3,二3; q口XyIJI.了l~3,y、一一3;J一3一6,y3一3;一一3,~一6.八为了.沪护、几!、了.1.‘es.二、整体思考的思想方法例2已知方程组{二+夕十少卜的两组解为lJ{互}一“曰一乞;了2一a,夕:一b:.则alb。十uZ乃的值为 分…     

怎样用a+b+c=0?(初一、初二、初三)

夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0…     

一题错解的改正

〔们中有这样一道选择题:设实数m、:、二、即,满足。:’+。,二a,x’+,’二b则,x+,,介勺最大值是(月)件乙(。)、/而(e),/亘三亘二 艺书名、2冬了。、杯a’+卜:、‘产,一一一二一~一 艺〔1〕给出的解答为::二二十·,、鱼’丫十传“’一仓护 .’.,x+,y的最大值为(a+b)/2,答案: (A)。 上述解答是错误的。因为上述不等式中要使等号成立.必须二二x且:二刀,’而当口斗b时,上述要求是无法达到的,因此当。含西时,只有爪x+n夕<口+b 2所以〔1〕给出的答案是错误的。 事实上,考虑向量OA二二i+)ll’OB二xi+y广,、产口和召乙,州x+,‘岁二、/a则OA、OBO…     

数学单元测试题（二）

~曰夸尹一、填空题 ,卜~~_______,sa一gb_,.,一‘~~。 1.1弋狱工、:乙UUj,乙x一jy,一匕mn“,一一下歹一,lx一十4工一1甲,毕现工气丈己 O项式;舰咐﹃2.单项式一单的系数是 ‘—,次数是3.请你写出一个是四次三项式的多项式4.多项式ab3一3a2b2一a’b一3,按a的升幕排列是介N冈冈自侧口一一一,,n、.矛.多项式3x2犷一xy‘十护一4少,按y的降幂排列是_.如果单项式一3x“犷与IOx一’‘犷的和是单项式,则m-.一aZ一3ab十2b3十2=一()二一aZ+2一(8·单项式:一5。,一告xy,一合XZ的和是—;9·当*-一时,、式XZ一3kxy一3y2号xy一8中。xy。 10.浓度为。%…