关于一类Diophantus方程n↑∑↑i=1=n↑П↑i—1xi的整解

作在本中，引入了解型概念，并将解型分为平凡、正、负、0－混合及非0－混合五种，从而极大地降低了问题的复杂性，得到了两个关键定理（定理4以及定理10）提供了求Diophantus方程n↑∑↑i=1=n↑П↑i-1xi的全部正解型及全部非0－事解型的途径，从而，解决了这两种解型的个数及构造问题。     

关于一类Diophantus方程n∑I=1xi=n∏I=1xi的整解

作者在本文中,引入了解型概念,并将解型分为平凡、正、负、0-混合及非0-混合五种,从而极大地降低了问题的复杂性,得到了两个关键定理(定理4以及定理10)提供了求Diophantus方程n∑xii=1=n∏xii=1的全部正解型及全部非0-混合解型的途径.从而,解决了这两种解型的个数及构造问题.     

应用不等式n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2解竞赛题

定理设n≥2,xi∈R(i=1,2,…,n),则有n∑i=1x2i≥1/n(n∑i=1xi)2,且在诸xin全相等时才取等号.     

sum form i=1 to n(i~ma~i)解析求和公式的程序设计

对文献 [1 ]中解析求和公式 :∑ni=1imai=an∑mi=0(-1 ) iCimnm-iβi+ (-1 ) m+1βm,m =0 ,1 ,2 ,… ,利用TurboC语言 ,给出了原公式与解析求和公式及其系数的实用程序 ,解决了实际计算中的数据处理问题 ,同时验证了解析求和公式的正确性 .     

不等式multiply from i=1 to n X_i-sum from i=1 to n X_i>2~n-2n及其简单运用

本文介绍不等式∏≥2~n-2n,并且说明它的一些简单运用。定理设整数 x_1≥2,i=1,2,…,n,那么∏≥2~n-2n.i=1 i=1证明不失一般性,令 x_1≥x_2≥…≥x_n.对 n 用数学归纳法。当 n=2时,x_1·x_2-(x_1+x_2)=x_1(x_2-1)     

限定条件下nⅡi=1（xi＋1/xi）的最小值

文[1]证明了下述结果： 设xi∈R^＋,i=1,2,……，n,且nⅡixi=1,则nⅡi（xi＋1/xi）≥（n＋1/n）^n（1）     

不等式multiply from i=1 to n (xi+1/x_i)≥(n+1/n)~n的推广

关于不等式multiply from i=1 to n(x_i+(1/x_i))≥(n+(1/n))~n(x_i为正数,sum from i=1 to n x_i=1)的正确性,《数学通讯》已有多篇文章给出了证明,本文将这个不等式推广到较一般的情形。从sum from i=1 to n x_i的值上推广有: 定理1 (1)如果x_i∈R+(i=1,2,…,n),     

不等式multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)≥(n+1/n)~n的简证及再推广

i =1∏(xi+xi≥)(n+n)本文给出了不等式的一种简证,并对其进行了推广,同时提出更进一 步的猜想.     

关于不定方程8∑i=1 1/xi-8∏i=1 1/xi=1

讨论了不定方程8∑i=1 1/xi-8∏i=1 1/xi=1,给出了该方程解序列的递归性和求解的一个充要条件,同时得到了方程的部分正整数解。     

不等式n(∏)i=1(1/xi-xi)≥(n/k-k)n成立的另一限制条件

文[1]用数学归纳法证明了如下不等式:设正整数n≥3,xi＞0(i=1,2,…,n),n∑i=1xi=k≤1,则     

关于sum from i=1 to n+1 a_ic_n~(i-1)的两个定理

通过研究,得知 sum i=1 to n+1 a_ic_n~(i-1)的结果与数列有密切的关系,有以下二个定理:定理1:当数列{a_i}是等比数列时,sum i=1 to n+1 a_ic_n~(i-1)=a_i(1+q)~n证明如下:∵{a_i}是等比数列,不妨设公比为 qsum i=1 to n+1 a_ic_n~(i-1)=a_1c_n~0+a_2c_n~+1+a_3c_n~2+…+a_bc~(n-1)_n+a_(n+1)c~n_n=a_1c~0_n+a_1c~1_nq+a_1c~2_nq~2+…+a_1c~n_nq~n=a_1(1+q)~q     

sum from i=1 to n x_i~2的性质及应用

函数的极值是数学中常见而且很重要的内,它在实际问题中也有不少的应用。本文借助于理论力学的点滴知识,论证几个结论,用这些定理来解决平方和的极值及其有关问题是十分有益而简洁的。假定有n个质点,它们的质量分别是m_1、m_2、…m_n,分别位于P_1、P_2、…P_n诸点,G点为这些点的重心(质心)。根据理论力学知识,下述两个引理明显是成立的。引理一:在直角坐标系中,重心(质心)的坐标为: X_G=sum from i=1 to n(m_i x_i)/sum from i=1 to n(m_i) y_G=sum from i=1 to n(m_i y_i)/sum from i=1 to n(m_i) Z_G=sum from i=1 to n(m_i z_i)     

sum from i=1 to n([a+(i-1)d]~m)与求和矩阵

构造一个多项式递归序列 ,得到∑ni=1〔a +(i- 1)d〕m 的一种求法 ,使求和矩阵∑ni-1im 的计算成特殊情况     

求sum from i=1 to n i~k的简便递推公式

寻找求sum from i=1 to n i~k值的方法,研究得不浅[1-9]都有介绍。这里仅用微积分的最基本知识推出较简便的自然数幂之和的求值递推公式:S_n~(k 1)=(k 1)[integral from n=0 to n(S~k(x)dx)-n integral from n=-1 to 0 (S~k(x)ds)。其中S~k(x)是S_n~k=sum from i=1 to i~k的派生函数。     

不等式Π^ni=1（xi＋1／xi）≥（n＋1／n）^n的简证及再推广

本给出了不等式Π^ni=1(xi 1/xi)≥（n 1/n)^n的一种简证，并对其进行了推广，同时提出更进一步的猜想。     

关于sum1/i(i+1) from i=1 to n 的两次推广

求 1i兀厄+乏11,,,_~万十云兀飞+’‘·田徽限。先求其前n项和: 1习,=不厄+乏云+’‘’.’.s,二合(〔洽一寿〕+〔寿一捻〕+〔捻一寿〕 1+一气二一一,-弋下二. 称戈犯+1)-,.’通项。‘蔽汁石=专-:.。。二(于一分‘(合-+〔而标一而潇而〕)=抓寿一‘而气石面).jl+、、,产:i一3+(合一宁)+… limn.弓卜00。1O”=,~二.. 4 1 11\+.—一.甲甲一丁) 、介乃十_L/ 1_11民IJ不甲下一下,+万下子二厂+只尸下不二于+ 1.‘.0‘.0.任0.4.0”’的极限为奋 1称+1 1 imn.勺卜C心泞,二1。我们考虑下列的极限问题: 11丁闰犷七丁一二+二-二~:一:一+.’.1.乙.J.任…     

关于nΣi=1Cin=2n的一个推广

利用二项式定理将(1 x)n进行展开,得 (1 x)n=C0nx0 C1nx1 C2nx2 … Cnnxn.(1)     

三角方程sum from i=1 to n sintx=0和1 sum from i=1 to n cosix=0的解集

一九七九年高考数学副题中有这样一道题:在0相似文献   

不等式multiply from i=1 to n(1/x_i-x_i)≥(n-1/n)~n的一般化和初等证明

文[1]提出一个猜想:设x_i>0(i=1,2,…,n),n≥3,sum from i=1 to n x_i=1,则multiply from i=1 to n(1/(x_i)-x_i)≥(n-1/n)~n①.文[2]用逐步调整法证明了①式.文[3]细致地探讨了①式的证明策略,用拆项法和磨光变换对①式给出了两种初等证明.这些证法的计算量都比较大,反映了该问题有一定的难度,同时也提示我们应当寻求更为简捷的本质证     

再探“sum from i-1 to ∞ (1/i～(1/2))的整数部分”

《一个不等式问题的初等研究》(《数学通讯》1 998年 5月对“求 ∑ni=11i 的整数部分”这一问题进行探讨 .该文提出的具体问题是 :设 an=1 12 13 … 1n,求 a1 0 0 ,a1 998,a2 0 0 0 ,a2 0 2 0 的整数部分 .该文最后又提出无法解决的一个遗留问题 :∑1 999i=11i 的整数部分是 87呢 ,还是 88?笔者在本文中侧重于求 ∑1 0 0i=11i 及 ∑1 999i=1 1i 的整数部分的解法作深层次探究 .1　求 ∑1 0 0i=11i 的整数部分的解法引申求 ∑1 0 0i=11i 的整数部分一题 ,也屡见于诸多中学数学复习用书 ,如《高中数学练习总复习》(江苏教育出版社 )中的…