一个用途广泛的三角恒等式

本文现将一个用途广泛的三角恒等式及其推广介绍如下，供高中师生教与学时参考．     

三角恒等式变形十五种方法

对于三角恒等变形,由于公式繁多,技巧 性强,学生对三角恒等变形的方法又缺乏系统 了解,因此不少学生学习起来感到困难重重.下 面介绍进行三角恒等变形的十五种方法. 一、角的代换 在三角恒等变形中,常根据题目的条件 与结论中所出现的角,改变角的表达形式,适 当地进行角的代换,从而沟通已知与未知之 间的联系,创造使用三角公式的条件. …     

一个三角恒等式的浅显证明

文 [1]中给出如下问题 :设 sin4xa +cos4xb =1a+b,a>0 ,b>0 ,证明 :对任意正整数 n,都有 sin2 nan-1 +cos2 nxbn-1 =1(a+b) n-1 .文 [1]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .文 [2 ]通过构造椭圆及其切线来证明 .上述两种方法思维要求比较高 ,不易想到 .其实本题直接应用三角式的变形 ,简捷浅显 ,以下给出上述问题简证 .证明　由 sin4xa +cos4xb =1a+b,得 a+ba sin4x+a+bb cos4x=1,即 basin4x+abcos4x+sin4x+cos4x=1.又 sin4x +cos4x =(sin2 x +cos2 x ) 2 -2 sin2 xcos2 x=1- 2 sin2 xcos2 x,则 ba…     

一个三角恒等式的另两种证明

题目设(sin4x)/(a) (cos4x)/(b)＝(1)/(a b),a＞0,b＞0,证明:对任何正整数n都有     

两个三角恒等式的新的统一证明

三角恒等式 :cosα cos(1 2 0°-α) cos(1 2 0° α) =0 ,sinα- sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° α) =0 .其中 α为任意角 .文 [1 ]、[2 ]先后给出了这两个恒等式的统一证法 .其实 ,笔者得以下证法更显朴素自然 ,简捷明快 !证明　记P=cosα cos(1 2 0°- α) cos(1 2 0° α) ,Q=sinα- sin(1 2 0°-α) sin(1 2 0° α) .则　 P2 Q2 =3 2 [cosαcos(1 2 0°-α)- sinαsin(1 2 0°- α) ] 2 [cosαcos(1 2 0° α) sinαsin(1 2 0° α) ] 2 [cos(1 2 0°- α)·cos(1 2 0° α) - sin(1 2 0°- α) sin(1 2 0° …     

组合恒等式

高中课本"排列、组合、二项式定理"中介绍了一些组合数计算及组合恒等式证明的基本方法.然而,用这些方法解决数学竞赛中的组合恒等式问题还是有些困难的.本文结合实例来介绍数学竞赛中证明组合恒等式的常用方法与技巧,并给出组合恒等式在竞赛中的简单运用.     

一组三角恒等式的猜想、证明与推广

教师给出一组三角恒等式的猜想,并进行证明与推广,得出一些性质或定量.     

用恒等式解题

用恒等式解题,大体上有两个途径:一是应用已知的基本恒等式求解;二是根据问题的特点推证出一个适用的恒等式,这通常需要相当高的运算技巧和能力.例1设a、b、c都是正数,满足条件(a2 b2 c2)2>2(a4 b4 c4).求证:a、b、c一定是某个三角形的三边长.证明先把条件改成2a2b2 2b2c2 2c2a2-a4-b4-c4>0.应用恒等式(这是一个较常见的因式分解)2(a2b2 b2c2 c2a2)-a4-b4-c4=(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b),得(a b c)(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0,即(a b-c)(b c-a)(c a-b)>0.若上式左边有两个因式为负(另一个因式为正),例如,若a b-c<0,b c-a<0,两式相加得b<0,这…     

一个新的三角恒等式

文[1]用两种不同的方法分别证得: 题1 在△ABC中,D为BC边上一点,AD分∠A为a,β,求证:     

一个代数恒等式的诞生

<中学数学教学参考>编辑部举办的首届中学生数学智能通讯赛中高二年级试题第18题为:     

一些新的代数不等式与恒等式

引理1 若x,y为满足x y=1的实数,则x y2=x2 y≥(3)/(4).     

巧用行列式证明三角恒等式

在三角证明题中,大多是应用三角公式及有关定理直接或间接地进行推证.但有些三角恒等式可巧妙地应用行列式进行证明.下面略举两例加以说明.     

一类反三角恒等式的几何证法

证明反三角恒等式的常用方法是三角法与复数法，然而有许多反三角恒等式蕴含着丰富的几何直观，此时，若能由数思形，数形结合，便可开辟解题新径，现举例如下。     

一个三角恒等式的几何背景

文 [1]中的例 1是 :若 sin4θa + cos4θb =1a+ b(a,b为正数 ) .求证 :sin8θa3 + cos8θb3 =1(a+ b) 3 .该例是文 [2 ]例 4的特例 :设 sin4xa + cos4xb =1a+ b,a>0 ,b>0 .证明 :对任何正整数 n都有 sin2 nxan-1 + cos2 nxbn-1 =1(a+ b) n-1 .文 [2 ]用了丢番图恒等式来证明 ,并认为若用三角式的恒等变形 ,则过程复杂 ,运算冗繁 .实际上 ,如果发现了条件与结论中的某种对称性 ,用数形结合的思想和方法来思考 ,揭示这个三角恒等式的几何背景 ,简便易行 ,过程简明 ,体现了数学的和谐美与简洁之美 .设椭圆 (或圆 )的方程为(a+ b)· X2b + (a+ …     

巧用“1”的代换证明三角恒等式

在三角变换中,对于同角三角函数习惯于把sin2α cos2α化简为1,下面举例说明之.【例1】　求证1-sin6α-cos6α1-sin4α-cos4α=32分析:①易见要解决本题,只需“装腔作势”地把左边化简,且化简的结果为32②注意到左边分子、分母的次数分别为6次、4 次, 故对于分子中的“1”可代换成(sin2α cos2α)3,对于分母中的“1”代换成(sin2α cos2α)2;这样可使分子、分母都化成齐次,有利于问题的解决.证明:左边=(cos2α sin2α)3 -sin6α-cos6α(cos2α sin2α)2 -sin4α-cos4α=3(sin4α·cos2α sin2α·cos4α)2sin2α·cos2α=3sin2α·cos2…     

组合恒等式的几种证法

对于组合数恒等式的证明无固定的方法,初学者常感到无从下手,下面介绍证明组合恒等式的几种方法,供读者参考．     

单位圆与三角恒等式的证明

<正>~~     

三角恒等式的证明技巧

三角恒等式的证明，在未掌握证题的一般规律及命题的内在联系时，往往是盲目套用公式，常使证明钻进“死胡同”或“回到原地”．若能注意归纳类型，总结经验，掌握技巧，则三角恒等式的证明就有章可循，有法可依．[第一段]     

构造是一种创造性思维

所谓构造，就是根据数学问题的题设和结论，赋予问题中的解题依据(公式，概念，数学关系等)一定的新思维框架，构造新的数学问题，从而谋求对问题解决途径的一种重要的数学思维方法。构造没有具体的模式．它是人的联想能力和直觉思维能力发展到一定的时候的产物，因而构造的过程就是一种创造性思维的过程。构造的结果往往因其解题过程新颖性和独创性从而明显呈现出创造性的特征。现举例说明。     

同角三角函数关系式在同角三角恒等式证明中的妙用

同角三角函数关系式是一组基本的运算、化简工具,它在三角函数的化简求值及三角恒等式的证明等问题中都有着极其广泛的应用.下面我们通过同角三角恒等式的证明来说明同角三角函数关系式的若干应用.