如何使“等号”成立

运用均值不等式求最值是一种常用的求最值方法,但由于其约束条件苛刻,不少同学在使用时,往往顾此失彼,尤其易忽视等号成立的条件.如何使等号成立,是运用均值不等式求最值的关键.下面探讨运用均值不等式求最值时如何使等号成立的几种方法.     

运用均值不等式的八类配凑方法

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑方法．笔者把运用均值不等式的配凑方法概括为八类．     

均值不等式求最值常用技巧

均值不等式是解决最值问题的有效工具,掌握一些常见的变形技巧,可以更好地使用均值不等式求最值.一、拆项为了创设使用不等式的条件,有时需将一些项拆为多项之积或和,从而达到凑积或和为定值的目的.为了使等号成立,一般遵循"平均分拆"的原则.     

均值不等式等号成立的配凑技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点．在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式,或者不便于利用题设条件,此时需要对题中的式子适当进行配凑变形．均值不等式等号成立的条件具有潜在的应用功能．以均值不等式的取等条件为出发点,为解题提供信息,可以引发出种种配凑技巧．笔者通过实践,把运用均值不等式的配凑技巧概括为六类,下面对此作些论述．     

拆项法在“等号不成立”型最值问题中的应用

我们知道,在运用二元均值不等式(a+b)/2≥(ab)～1/2(或a+b≥(ab)～1/2求解最值问题时,常常出现等号不成立的情况,这时必须另外探寻变形的方法.拆项法就是破解这类问题的快速通道,拆项的目的还是使不等式中的等号成立,以便求出最值.大家从以下示例中能够学到一些拆项的方法。     

浅谈均值不等式的正确使用

利用不等式求最值,要注意不等式成立的条件、等号成立的条件以及定值的条件,初学不等式时容易用错,现通过比较来说明均值不等式的正确使用.     

均值不等式等号成立的构造技巧

利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点.运用时必须具备三个必要条件--即一正(各项的值为正)、二定(各项的和或积为定值)、三相等(取等号的条件).但在题设中未给出和(积)为定值的条件下,如何凑出定值使等号成立,却深感困难,为此,本文举例说明构造均值不等式等号成立的常用技巧.     

含参数均值不等式在数学竞赛中的应用

正在数学竞赛中,有些问题很难直接用均值不等式加以解决,因为事先很难知道不等式等号成立的条件,为了使这些问题能通过均值不等式加以解决,引进参数,利用含参数的均值不等式,然后利用等号成立条件,解出待定参数,使问题得到解决.下面举例说明:     

利用带参数的均值不等式求函数的最值

利用均值不等式求函数的最值,必须注意“一正二定三相等”的条件,尤其在各个正数的和不是定值时或等号不能成立时,我们可以利用带参数的均值不等式求函数的最值。读者不难通过下面几道     

用均值不等式求函数最值的常用技巧

<正>均值不等式是求函数最值的有效工具,也是高考考查的一个重要知识点.运用均值不等式求函数最值时,需满足"一正,二定,三相等"三个条件,其中"定"和"相等"是题目命制中常被设计的两个难点.下面举例说明运用均值不等式求最值的解题技巧.     

运用均值不等式六注意

用均值不等式求函数最值的关键是：将函数变形为两项的和（或积）的形式,然后用均值不等式求出最值．但在应用均值不等式解题时必须验证： 一正：各项的值均为正; 二定：各项的和或（积）为定值; 三相等：取等号的条件．     

正确应用均值不等式求最值

现行高中数学教材中,均值不等式的应用几乎涉及高中数学的所有章节,且在每年的高考试题中常考常新,其题型主要以大小判断、求最值、求参数的取值范围以及何时取得最值等几个方面出现.其中利用均值不等式求函数的最大(小)值是重点,但是学生在运用均值不等式求解最值的题目时往往出现错误。     

浅谈利用a b≥2(ab)~(1/2)(a、b∈R~ )求最值

不等式a b≥2ab(a、b∈R )(当且仅当a=b时等号成立)a b2≥ab(a、b∈R )(当且仅当a=b是等号成立),其中a b2、ab分别是a与b的算术平均数、几何平均数,故简称其为“均值”不等式或“均值”定理.另外均值不等式可推广为三个(或多个)变元的形式,即:a b c≥33abc(a、b、c∈R )(当且仅当a=b=c时等号成立)a1 a2 a3 … an≥na1a2a3…an(a1,a2,a3,…,an∈R )(当且仅当a1=a2=a3=…=an时等号成立)均值不等式的功能除用于比较数的大小及证明不等式外,主要用于求函数的最值,在使用均值不等式求最值时必须具有三个缺一不可条件,即为:一正:诸元皆正;二定:…     

均值不等式常见的解题误区分析

均值不等式是高中数学中的一个重要不等式,它在证明不等式和求最值时十分有用,但是在使用过程中,由于种种原因,导致了解题过程中可能出现一些错误,下面举例说明容易出现的解题误区,希望大家能正确运用均值不等式解题.     

基本不等式中的等号成立问题剖析

在不等式的学习中,我们结识了一个重要的不等式定理,即基本不等式(又叫均值定理),这个定理在解题中应用十分广泛.运用基本不等式时除了要注意"一正、二定、三相等"的条件以外,在多次运用基本不等式时,需要特别注意其中等号成立的条件,下面以例说明其重要性.     

对“纠正一道变式题的错误解法”一文的补充

题目设x、y、z为正数,求w＝2xy＋2yz＋3xzx2＋y2＋z2的最大值。文［1］中马占山、黄海红老师对上述题目作了解答,文［2］黄承浩、吴超两位老师指出该解答是错误的,原因是多次使用均值不等式放缩后等号取不到,并提供了一个奇妙的解法,笔者读后深受启发,钦佩之余,笔者觉得文［2］的解法抛弃了文［1］中作者欲用均值不等式的方法求最值的初衷,另起炉灶,略显美中不足。     

用均值不等式求函数最值的技巧

运用均值不等式求函数最值，是中学数学中求函数最值的重要方法之一．大家都知道利用均值不等式求函数最值应满足三个条件：一、各项全正。二、和积定值．三、等号成立．对于不满足这三个条件的函数，可采用下列技巧来转化．     

忽视等号同时成立致错剖析

<正> 同学们在运用平均不等式求最值时,不仅要注意条件:一正二定三相等,而且要注意多次使用平均不等式时等号必须同时成立,忽视这一点就容易造成解题失误.本文举例予以剖析,希望引起同学们注意.     

例谈平均值不等式应用技巧

在应用平均值不等式证非严格的轮换对称不等式时,若能根据不等式取等号的条件,凑配特殊的项(值),可收到事半功倍之效.     

运用均值不等式的错因分析

正利用均值不等式求函数最值简捷明了,方便易行,常常可收到事半功倍的效果,深为同学们所喜爱.但如果不注意限制条件,也常常致错.本文就利用不等式求最值中常见错误及纠错心得作归类分析,使学生从纠错中进一步领悟均值不等式,进而培养学生数学思维的周密性和深刻性.一、忽略"同为正的条件"导致错误