巧用抛物线焦点弦的中点解题——从一道解几题的再思考谈起

<正>贵刊2013年第三期刊登了安徽枞阳县会宫中学朱贤良老师的一篇文章,该文章对一道解几题进行了详尽的分析与解答,该题是:题目1一条直线l过抛物线y2=4px(p>0)的焦点F与抛物线交于P、Q两点,过P、Q两点分别向准线引垂线PR、QS,垂足R、S.如果|PF|=a,|QF|=b,M为RS的中点,则|MF|等于()     

抛物线中点弦的一个性质及巧用

文[1]中谈了椭圆和双曲线中，弦AB的中点为N，斜率为k，则有k·kON=e^2-1．受其启发，笔者对抛物线作了类似的探究，结果虽不是定值，用之解题却也有另一番风味．     

抛物线弦的中点问题

问题　设Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｙ２＝２ｐｘ的弦ＡＢ的中点,试求直线ＡＢ的斜率ｋ．解　设Ａ（ｘ１,ｙ１）、Ｂ（ｘ２,ｙ２）,则ｙ１＋ｙ２＝２ｙ０,且ｙ１２＝２ｐｘ１,ｙ２２＝２ｐｘ２．∴ｙ１２－ｙ２２＝２ｐ（ｘ１－ｘ２）,故ｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ｐｙ１＋ｙ２＝ｐｙ０．（当ｙ０＝０时,ｋ不存在）同理若Ｍ（ｘ０,ｙ０）是抛物线ｘ２＝２ｐｙ的弦ＡＢ的中点,则ｋＡＢ＝ｘ０ｐ．显然,用抛物线弦的中点坐标可以很方便地表示出弦所在直线的斜率,与中点弦相关的许多问题都可以此为基础较方便地解决,现举例如下：…     

抛物线焦点弦性质的推广

有资料介绍并证明了抛物线焦点弦的一个美妙性质，这就是：如果抛物线两条切线的交点在准线上，则切点弦必为焦点弦．     

一道抛物线焦点弦问题的联想与变型

题如图1,过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的一条直线和抛物线相交,交点的纵坐标为y1、y2.求证y1y2=-p2.证法1由已知,抛物线焦点F(2p,0),设过点F的直线与抛物线交于点A(x1,y1),B(x2,y2).若AB⊥x轴,则y1=p,y2=-p.所以y1y2=-p2.若AB与x轴不垂直,设直线AB的方程为y=k(x-2p),与y2=2px联立,得y2-2kpy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.证法2因直线AB过定点F且与x轴不平行,所以设直线AB的方程为x=my 2p.代入y2=2px得y2-2pmy-p2=0,因为y1、y2是方程的2根,所以y1y2=-p2.法1是常规解法,法2设出直线方程,避免了讨论直线斜率的存在性,是一种很…     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦的有关性质是高中数学教材中的重要内容,也是高考中的重点和热点.现以y2=2px(p＞0)为例,对其进行归纳总结,整理如下.     

浅析抛物线焦点弦的特征

平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫抛物线.其中定点F叫焦点,定直线l叫准线.经过焦点F的直线与抛物线相交于两点P、Q,线段PQ叫抛物线的焦点弦.     

看图说话——抛物线焦点弦问题的研究

宗旨:利用一张直线过抛物线焦点的图形,使学生自己寻找、自己发现、自己解决问题. 过程:在课前请学生根据这张图形,自己给出几个命题,并加以解决. 素材:过抛物线y~2=2px的焦点的一条直线和这抛物线相交,两个交点分别为A(x_1,y_1)和B(x_2,y_2). 序言:图1是我们在学习抛物线时经常看到的一张图.在这张图中包含了与抛物线有关     

抛物线焦点弦性质的引申与推广

抛物线是高中重点研究的圆锥曲线之一,抛物线的焦点弦问题是研究抛物线时比较常见的一类问题.抛物线焦点弦的性质及其引申与推广对学生的学习有着重要的现实意义.     

抛物线焦点弦的九条性质及其应用

本文运用解析几何的核心思想——数形结合的思想从抛物线的方程和图形两个方面对抛物线焦点弦的性质做了探究,运用性质解决了一些实际问题。     

由一个抛物线焦点弦问题引起的猜想

牛顿说过：“没有伟大的猜想,就没有伟大的发现．”因而,在平时的教学中,数学老师应加强数学猜想的教学,培养学生的科学探索精神,使学生形成稳定的创造性思维品质,从而实现数学育人的目的．     

关于“抛物线焦点弦的一个性质与推广”一文的再探讨

1问题的提出 本刊2011年第4期刊登了杨碧明老师关于“抛物线焦点弦的一个性质与推广”一文,文中证明了抛物线焦点弦的一个性质：     

从一道高考试题的背景看抛物线焦点弦的性质及应用

今年高考“3 X”型数学试卷理科第19题(文科第20题)是: 设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,证明:AC经过原点.     

巧用抛物线的对称性解题

若点(x1,y0),(x2,y0)在抛物线上,则抛物线的对称轴为直线x=x12 x2.巧妙运用抛物线的这一性质,可简捷快速地解答一类试题.一、求点的坐标例1如图1,抛物线的对称轴是x=1,与x轴交于A、B两点,点B的坐标为(3,0),则点A的坐标是.(2005年宁厦)分析与简解显然点A、B关于直线x=1对称,设点A的坐标为(x1,0),则x12 3=1,从而x1=2-3,故点A的坐标为(2-3,0).例2抛物线y=ax2 bx c经过点A(-2,7),B(6,7),C(3,-8),则该抛物线上纵坐标为-8的另一点坐标是.(2005年山东)分析与简解由点A(-2,7),B(6,7)的纵坐标相同,知A、B关于抛物线的对称轴x=-2 62=2对称.故设…     

有关抛物线焦点弦的几个重要结论

抛物线中的焦点弦问题是高考的热点问题,熟练掌握有关焦点弦的重要结论有利于解决焦点弦问题,大大节省解题时间,提高解题准确率,从而达到事半功倍的效果.     

关于抛物线焦点弦的若干结论

在抛物线与直线的关系中 ,过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重要 ,这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质 ,这些性质常常是高考命题的切入点 .本文对此作一些探讨 .不妨设抛物线方程为 ｙ2 =2 ｐｘ( ｐ>0 ) ,则焦点Ｆ ｐ2 ,0 ,准线ｌ的方程 :ｘ=-ｐ2 .过焦点Ｆ的直线交抛物线于Ａ(ｘ1 ,ｙ1 )、Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 )两点 ,又作ＡＡ1 ⊥ｌ,ＢＢ1 ⊥ｌ,垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 .ＡＢ⊥ｘ轴时 ,ｘ1 =ｘ2 =ｐ2 ,Ａ ｐ2 ,ｐ ,Ｂ ｐ2 ,-ｐ ,此时弦ＡＢ叫抛物线的通径 ,它的长｜ＡＢ｜ =2 ｐ .ＡＢ与ｘ轴不垂直也不平行时 ,设弦ＡＢ所在直线的斜率为…     

抛物线焦点弦三角形的几个性质

以抛物线的顶点及其焦点弦的两个端点为顶点的三角形，叫做抛物线焦点弦三角形．抛物线焦点弦三角形中，焦点弦称为它的焦点弦边，其余两边称为它的顶点弦边．本文给出抛物线焦点弦三角形的几个性质。