二次函数及一元二次方程根的分布

<正>二次函数与一元二次方程是数学的基础知识,它们之间具有千丝万缕的联系。二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)的图像与x轴有交点时,交点横坐标的值就是方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根。在一元二次方程中,当b~2-4ac>0时,方程有两个不相等的实数根;当b~2-4ac=0时,方程有两个相等的实数根;当b~2-4ac<0时,方程无实数根。其对应的二次函数图像与x轴分别有两个交点、一个交点和无交点。一、二次函数的交点问题     

关于二次函数性质的几点拓展

二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系.在二次函数y=ax~2+bx+c(a≠0)中.令y=0,即得一元二次方程ax~2+bx+c=0.若此时方程有实数根,则此实数根就是二次函数图象与x轴交点的横坐标.从这个基本事实出发,即可得到如下一些基本关系: 1.判别二次函数图象与x轴有无交点,可运用相应的一元二次方程根的判别式△=b~2-4ac,即     

根与系数的关系在二次函数中的应用

一元二次方程ax~2+bx+c=0和二次函数y=ax~2+bx+c的关系密不可分。在y=ax~2+bx+c中,当y=0时,就变成了ax~2+bx+c=0。而一元二次方程ax~2+bx+c=0的两根x_1,x_2,就是二次函数y=ax~2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标。因此,根与系数的关系不但可以用于方程这中,也常用于二次函数之中。 一 求待定系数的值 例1 抛物线y=x~2-(2m-1)x-2m与x轴的     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。     

实系数一元二次方程虚根的分布

对于实系数一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0) (*)当△=b~2-4ac≥0时有实根,且实根的分布情况常借助抛物线y=ax~2+bx+c (a≠0)与x轴的交点来实现的。当△=b~2-4ac<0时,方程(*)无实根。由于在复数范围内,任何一个实系数一元二次方程都有两个根,因此,当△=b~2-4ac<0时,方程(*)只有两个虚根且共轭。显然,这两个虚根对应的点不在x轴上。那么虚     

Δ~(1/Δ)/|a|在二次函数问题中的应用

如果抛物线y=ax~2 bx c与x轴有两个交点,那么方程ax~2 bx c=0有不相等的两实根,反之亦然,此时 ∵方程的两根为: ∴抛物线y=ax~2 bx c与x轴的两个交点A、B之间的距离为: 如果把作为一个公式来应用,那么对解决某些有关二次函数的问题就显得简便多了。 一、求二次函数的解析式 例1,已知对称轴与y轴平行的抛物线和y轴交点到原点的距离等于6,与x轴两交点的距离等于2,并且顶点在直线x y=0上,求二次函数的解析式。 解:设y=ax~2 bx c, 则顶点为 根据题意得: 解得: ∴所求解析式为: y=2x~2-8x 6或y=-2x~2-8x-6。 例2,二次函数y=ax~2 bx c在x=2时,它的最大值是16,且图象与x轴的两个交点间的距离是8,术该二     

抛物线中的“四点”“五距”

一、抛物线中的"四点"抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的"四点"是指抛物线与x轴的两个A交点,与y的交点及抛物线的顶点(如图).抛物线与x轴的两个交点是A(x1,0),B(x2,0).其中x1、x2是当y=0时,方程ax2+bx+c=0的两根;     

两点间距离公式及其在中考中的应用

二次函数y=ax^2＋bx＋c的图象（抛物线）与x轴的两个交点的横坐标x1,x2是对应的一元二次方程ax^2＋bx＋c=0的两个实数根,抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：     

活用构造 解题变妙

构造一元二次方程法在数学解题中有着广泛的应用,下面举例说明.一、因符合方程一般形式而构造方程若实数x1,x2满足ax12+bx1+c=0,ax22+bx2+c=0,则可构造一元二次方程ax2+bx+c=0,并将x1,x2视作方程的两个实数根来解决问题.     

y=ax~2+bx+c 中的 a、b、c

一、y=ax~2+bx+c中a、b、c的几何意义 1.抛物线开口向上,则(a>0,抛物线开口向下,则a<0;2.抛物线与y轴交于x轴上方,则c>O,与y轴交于x轴下方,则c<0.3。抛物线的对称轴位于y轴左侧,则a、b同号,对称轴位于y轴右侧,则a、b异号。例1 二次函数y=ax~2+bx+c图象如图所示,试决定a、b、c符号。解∵抛物线开口向上,∴a>0,抛物线与y轴交于x轴上方,∴c>0,又对称轴位于y轴左侧,故a、b同号,由于a>0,∴b>0,∴a>0,b>0,c>0。     

韦达定理及其应用研究

一、基础知识“若实数x1、x2是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根,则x1+x2=-b/a,x1x2=c/a”,这一关系称之为韦达定理;其逆定理是:“若实数x1,x2满足x1+x2=-b/a,x1x2=c/a,则x1,x2是方程ax2+bx+c=a(a≠0)的两个根”,韦达定理及其逆定理在各类数学竞赛中具有广泛的应用,下面举例加以说明:二、应用举例1.用于求方程中参系数的值例1 设m是不小于-1的实数,使得关于x的方程x2+2(m-2)x+m2-3m+3=0有两个不相等     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

判别式法

根据b~2-4ac的值的符号可以判别一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的情况,我们把b~2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号"△"来表示.具体判别方法是:一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0),(1)当△>0时,方程有两个不相等的实数根;(2)当△=0时,方程有两个相等的实数根;(3)当△<0时,方程没有实数根.这三     

一元二次方程根的判别式的应用

知识链接 一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b~2-4ac可用来判断方程根的情况。 ①△>0方程有两个不相等的实数根; ②△=0方程有两个相等的实数根; ③△<0方程没有实数根. 一、不解方程,判断一元二次方程根的情 例1 一元二次方程2x~2-4x+1=0的根的情况是( )。 (A)有两个不相等的实数根 (B)有两个相等的实数根     

△的妙用

我们知道△=b2-4ac是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的根的判别式,△>0时,方程有两个不相等的实数根,△=0时,方程有两个相等的实数根,△<0时,方程没有实数根。除此之外,△还另有妙用。 设抛物线y=ax2+bc+c（a≠0）与x轴交于A（x1、0）,B（x2、0）两点,则x1、x2是一元二次方程ax2+bc+c=0（a≠0）的两个不相等的实数根,此时△>0,并设A、B两点间的距离为d那么,     

活用一元二次方程根的定义解题

我们知道:若x1是方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,则ax12+bx1+c=0,反之若ax12+bx1+c=0(a≠0),则x1是方程ax2+bx+c=0的一个根,活用方程根的定义的正、反两方面知识,进行解题是一种重要的方法,现举例说明·一、正用方程根的定义例1(“祖冲之杯”数学邀请赛题)已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根平方和是n,求3an2+c3bm的值·解:设方程的二根是α、β,则aα2+bα+c=0,aβ2+bβ+c=0·两式相加,得a(α2+β2)+b(α+β)+2c=0,即an+bm+2c=0,所以2c=-(an+bm),所以3an2+c3bm=-31·例2(河北省初中数学竞赛题)求作一元二次方程,使它的根是方程x…     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]     

一无二次方程根与系数的关系及应用

大家知道，如果x1、x2是方程似ax^2+bx+c=0(0≠0)的两个实数根，那么x1+x2=-b/a，x1x2=；反之，若x1+x2=-b/a，x1&;#183;x2=c/a，那么x1、x2是方程似ax^2+k+c=0的两个实数根，这就是一元二次方程根与系数的关系，下面举例说明它的应用。     

特别的方程,特别的根

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)有性质: (1)若a+b+c=0,则方程的两根为x_1=1,x_2=c/a;反之,若一根为1,则a+b+c=0。     

初三代数结课测试题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.点P(3,-5)在第__象限,它关于y轴的对称点P_1的坐标是___,关于原点的对称点P_2的坐标是___。 2.一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),如果a c=b,那么这个一元二次方程必有一个根是___。 3.若方程kx~2 2(3k-1)x 9k-1=0有两个实数根,则k的取值范围是___。 4.若关于x的方程2(x-2m)(k-1)=x(m-4)的两根之和与两根之积相等,则m=___,方程的根为___。