成果集锦

成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮编：３０１８００．自然数集的一个有趣性质我校数学竞赛曾出过这样一道题：把数１，２，…，１６分成两组，使每组的８个数中任两...     

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初等数学问题 (续 ) 1 7的解决杨之在“第四届全国初数会议”上所作“初等数学问题 (续 )”的报告中 ,提出的无限棋盘上最小图形问题(问题 1 7)是 :在无限棋盘上 ,求一个由 1 0 0个正方形 (棋盘格 )组成的图形 ,使其直径 (图形任两点间的最大距离 )达到最小 ,这最小直径是多少     

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球体积公式的极限法推导本文的目的在于使学生明白 ,球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法 .定理　半径为Ｒ的球 ,其体积Ｖ =43πＲ3 .证明 :考虑半球 ,将其大圆弧分为 2ｎ等份 (如图 ) ,过分点作球大圆的平行截面 ,设第ｉ个截面 (自下而上 )的半径为ｒｉ,其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θｉ=ｉπ2ｎ,ｉ=0 ,… ,ｎ(ｒ0 =Ｒ ,ｒｎ=0 ) .第ｉ- 1与第ｉ个截面间的距离为ｈｉ,以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖｉ,则可以证明Ｖ =2ｌｉｍｎ→∞ ∑ｎｉ =1Ｖｉ.我们来计算Ｖｉ.由于ｒｉ=Ｒｃｏｓθｉ,ｒｉ-1 =Ｒｃｏｓθｉ-1 ,…     

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多项式幂展开式的再发现唐志华江苏省宜兴市丁蜀高中编者按：学完“二项式定理”之后,如果我们懂得一点类比、推广等合情推理方法,自然会想到去研究（a＋b＋…＋d）”展开式,但往往走入误区．以下是唐志华老师再发现多项式定理的真实（大大减缩叙述）的过程．（a＋b）”展开式的系数可排成“杨辉三角”,且有一系列美妙的性质,这促使我研究（a＋b＋…＋d）”展开式的系数．先从（a＋b＋c）”研究起,命n＝1,2,3,4等,观察,看不出任何规律性．这时,有两条路：一是类比于（1＋x）”,考虑（1＋x＋x2）”,发现有类似的系数三角：有类…     

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ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,...     

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成果集锦关于三角形ｎ等分线的三个命题定理１［１］设△ＡＢＣ的的ｎ（ｎ≥２）等分线交对边ＢＣ于Ｄ１、Ｄ２、…、Ｄｎ－１，则该定理应用面积法易证，此处略．定理２条件同定理１，则特别，当ｎ＝２时，得角平分线公式定理３条件同定理１，则证明：设，则．在△ＡＤＣ...     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００．（ｍ，ｎ）阶等差数阵如果数阵｛ｘｉｊ｝的行、列数列分别为ｍ、ｎ阶等差数列，则｛ｘｉｊ｝就叫做（ｍ，ｎ）...     

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正ｎ边形的方程多边形方程,不限于“绝对值方程”一种形式,本文就获得了下述定理．定理中心在极点,一顶点为（Ｒ,０）（Ｒ＞０为正ｎ多边形的半径）的正ｎ边形的方程为ρ＝Ｒｃｏｓπｎｃｏｓ１ｎａｒｃｃｏｓ（－ｃｏｓｎθ）．（１）证明：设正ｎ边形Ａ１Ａ２…Ａｎ...     

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筝形初探两个全等的三角形沿对应边拼接的方式有二：一图１是中心对称拼接（图１）,获得的是平行四边形;另一种是轴对称拼接,得到的是本文将研究的图形（图２）．前者可看作将一个三角形以一边的中点为中心旋转１８０°的结果,后者可看作以一边为轴将三角形翻折的结果...     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００求黑洞数的初级复合法对初级黑洞（６１７４）、（８６４１９７５３２）等，中间适当插入若干数，可衍生成新的“复合...     

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等差数列的一个性质定理　设 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ,ｍｉ∈Ｎ ,ｉ =1,… ,ｋ.若∑ｋｉ =1ｎｉ=∑ｋｉ=1ｍｉ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .证明 :设 {ｆ(ｎ) }的公差为ｄ ,则ｆ(ｎｉ) =ｆ(ｍｉ) (ｎｉ-ｍｉ)ｄ .于是∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ=1ｆ(ｍｉ) ∑ｋｉ=1(ｎｉ-ｍｉ)ｄ=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) ｄ(∑ｋｉ =1ｎｉ-∑ｋｉ=1ｍｉ)=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .推论 1　 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ∈Ｎ ,且∑ｋｉ=1ｎｉ=ｋｍ ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =ｋｆ(ｍ) .推论 2　 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓ-ｎ 表示前ｎ个奇数项和 ,Ｓ …     

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关于三角形中角格点问题的研究如果三角形内角都是 10°的整数倍 ,其内某点同三顶点连线得到的所有角 ,也都是 10°的整数倍 ,则该点称为三角形内的角格点 .本文研究三角形角格点的计数及应用 .首先 ,三个角都是 10°整数倍的三角形共有 2 7种(即Ａ Ｂ Ｃ =18,Ａ≤Ｂ≤Ｃ的正     

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一个不等式猜想的证明猜想见本刊2000年第5期”成果集锦”.证明:猜想的不等式等价于2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ≥ｍｂ ｍｃ,即(2ａ-ｂ-ｃ 2ｍａ)2≥(ｍｂ ｍｃ)2.应用中线公式,展开,有Ｔ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ)-8ｍｂｍｃ 8ａ2 11ｂ2 11ｃ2 8ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ≥0.①∵(4ｍｂｍｃ)2=(2ａ2 2ｃ2-ｂ2)(2ａ2 2ｂ2-ｃ2)=(2ａ2 ｂｃ)2-2(ａ ｂ ｃ)(-ａ ｂ ｃ)(ｂ-ｃ)2≤(2ａ2 ｂｃ)2,∴4ｍｂｍＣ≤2ａ2 ｂｃ.∴Ｔ≥16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) 4ａ2 11ｂ2 11ｃ2 6ｂｃ-16ａｂ-16ａｃ=16ｍａ(2ａ-ｂ-ｃ) (2ａ-ｂ-ｃ)(2ａ-7ｂ-7ｃ) 4(ｂ-ｃ)2≥(2ａ-ｂ-ｃ)(16ｍａ 2ａ-7ｂ…     

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关于三个正数的一个代数不等式设ｘ ,ｙ ,ｚ∈Ｒ ,∑表示三数的循环和 ,Π表示三数的循环积 定理　∑ ｙｚ( ｙ ｚ)(ｘ2 ｙ2 ) (ｘ2 ｚ2 ) ≥∑ｘ .①证明 :①　 ∑ ｙｚ ( ｙ ｚ) ｙ2 ｚ2 ≥∑ｘΠ ｙ2 ｚ2 ,两边平方 ,得∑ｙ2 ｚ2 ( ｙ ｚ) 2 ( ｙ2 ｚ2 ) 2∑ｘ     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室．邮码：３０１８００．方程２｜ｘ｜＋２｜ｙ｜＝ｘ２ａ＋ｙ２ｂ＋ｃ的图形在杨之先生倡导下，我们对一次绝对值方程作了比较深入地研究，...     

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成果集锦摘编：天津市宝县教研室杨之复数域上含模的二次方程根的初步研究当ｍ，ｎＥＲ时，对方程ｚ’＋ｍｌｚｌ＋ｎ—０（ｌ）的根的情形已研究得到性质１当且仅当ｎ＜０或ｍ’一４。一０时，（１）有一对非零的相反数实根．性质２当且仅当ｍ’一４。＜０且ｍ＜０时，（...     

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一个有趣的同期数阵设ｎ1 为自然数ｎ的各位数字之和 ,ｎｋ 为ｎｋ -1 的各位数字之和 ,ｋ =2 ,3,… .若 0 <ｎｋ<9,则记Ｔ (ｎ)=ｎｋ,于是有ｎ≡Ｔ (ｎ) (ｍｏｄ9) ,0 <Ｔ (ｎ) <9,易证[1 ] :引理 1　若ｍ≡ｎ(ｍｏｄ9) ,则Ｔ(ｍ) =Ｔ(ｎ) .引理 2　设ｋ ,ｌ∈Ｚ-,ｕ ,ｖ∈Ｎ ,ｖ≥ 2 ,则Ｔ( ( 9ｋ ｕ) 6ｌ ｖ) =Ｔ(ｕｖ) .记Ｔ(ｎｍ 1 ) =ｘｍｎ(ｍ ,ｎ =1,2 ,3,4 ,… ) ,则称{ｘｍｎ}为“自然数方幂的数码和数阵 ,它有如下有趣的性质 (请读者自行写出观察 ) :定理 1　数阵 {ｘｍｎ}的行、列数列都是周期数列 ,周期分别是 9和 6 .由此 …     

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成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

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对一道几何极值问题的辨析有一道流行很广的几何极值应用问题,又被现行几何课本选为例题：图１如图１,要在河（直线ａ）边修建一个水泵站,分别向张村（Ａ）、李庄（Ｂ）送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短？（人民教育出版社,初中《几何》第二册第９１页）其...