巧用v-t图像解题数例

巧用ｖ－ｔ图像来解某些运动学题目，可收到简便快捷之功效． 例１火车从甲站到乙站的正常行驶速度是６０千米／时．有一次火车从甲站开出，由于迟开了５分钟，司机把速度提高到７２千米／时，才刚好正点到达乙站．求甲、乙两站的距离和火车从甲站到乙站正常行驶的时间． 解：根据题意作出ｖ－ｔ图像如图１，设甲、乙两站间距离为Ｓ千米，则Ｓ＝６０ｔ（１） ６０６０）＝ × ６０（２）由（１）（２）解得：ｔ＝０．５小时，Ｓ＝３０千米． 例２甲、乙两人同时从同一地点Ａ出发，沿直线同向到达Ｂ点．甲在前一半时间和后一半时间内的运动速…     

圆的有关性质中考题选登

一、填空题 １．ＡＢ是Ｏ的直径，弦ＣＤ⊥ＡＢ，垂足为Ｐ．若ＡＰ：ＰＢ＝３：１，，则ＣＤ等于 ２．如图１，ＣＤ是Ｏ的直径，ＡＢ是弦，ＡＢ⊥ＣＤ，垂足为Ｅ，如果ＣＥ＝２，ＡＢ＝８，那么ＥＤ＝＿，Ｏ的半径ｒ＝＿．（江苏省徐州市） ３．如果Ｏ的半径为５ｃｍ，一条弦长为８ ｃｍ，那么这条弦的弦心距为 ｃｍ（安徽省） ４．在圆内接四边形ＡＢＣＤ中，如果∠Ａ：∠Ｂ：∠Ｃ＝２：３：４，那么∠Ｄ＝ （吉林省） ５．如图 ２，ＢＡ是半圆Ｏ的直径，点Ｃ在Ｏ上．若∠ＡＢＣ＝５０°，则∠Ａ＝ （吉林省） ６．如图３，ＡＢ是Ｏ的直径…     

中考物理的一大景观—联系

在物理教育教学实践中，加强知识与其余事物之间的联系是势在必行的，作为检测效果或是选拔人才的试题更应如此．翻阅近几年部分省市的中考题，有很多试题就是这方面的好例子．１　与数学联系 这类题通常采用数学思想分析，数学解法解题，如函数类、方程类、比例类、不等式（组）类的问题等． 例１．（１９９８年，南京）图１所示，甲、乙两个物体做功与所需时间的关系图像，由图可知，甲物体的功率Ｐ甲与乙物体的功率Ｐ乙相比是 Ａ．Ｐ甲＞Ｐ乙．Ｂ．Ｐ甲＜Ｐ乙． Ｃ·Ｐ甲＝Ｐ乙　Ｄ．无法确定． 分析：此题孕育了数学中函数变量的思想． …     

几种特殊形式成比例线段的证题方法

１．ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ型如果欲证的等式是ａｎ∶ｂｎ＝ｃ∶ｄ形式,一般要考虑证明分别含有ａ、ｂ为对应边的两个三角形相似,然后利用面积关系或射影定理进行证明．图１例１　从圆外一点Ｐ引圆的切线ＰＡ,割线ＰＣＢ．求证ＡＢ２∶ＡＣ２＝ＰＢ∶ＰＣ．分析：含ＡＢ、ＡＣ、ＰＢ、ＰＣ的三角形是△ＰＡＢ和△ＰＣＡ,而易证△ＰＡＢ∽△ＰＣＡ,∴ＡＢ２ＡＣ２＝Ｓ△ＰＡＢＳ△ＰＣＡ＝１２ＰＢ·ＡＨ１２ＰＣ·ＡＨ＝ＰＢＰＣ．例２　已知矩形ＣＥＤＦ内接于圆Ｏ,过Ｄ作圆的切线与ＣＥ、ＣＦ的延长线分别交于点Ａ、Ｂ．求证：ＢＣ３Ａ…     

2002年高中联赛平面几何题的新证法

题目　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0°,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于Ｈ点 .点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .图 1　　解法 1　连ＡＨ交ＢＣ于Ｄ ,过Ｏ作ＯＰ⊥ＢＣ于Ｐ ,连ＡＰ交ＯＨ于Ｇ .设⊙Ｏ的半径为Ｒ ,连ＡＯ、ＢＯ ,则ＡＯ =ＢＯ =Ｒ .由∠Ａ =6 0°,知∠ＢＯＰ =12 ∠ＢＯＣ =6 0° ,ＯＰ= 12 ＢＯ =12 Ｒ .由欧拉定理 ,知Ｇ为△ＡＢＣ的重心 ,且 ＯＰＡＨ =ＰＧＧＡ=12 ,故ＡＨ =2ＯＰ =Ｒ .设∠ＢＡＯ =α ,由∠ＡＯＢ2∠Ｃ ,知∠ＢＡＯ =90° -∠Ｃ ,且∠ＨＡＣ…     

中考中的动点问题

运用运动观点设计问题是近些年来各省、市的中致命题热点之一 .解决这类问题要从不同角度、不同侧面 ,乃至全方位进行观察剖析 ,抓住点、线或图形在运动过程中保持不变的量 ,以及运动中各变量之间的关系 ,然后得出解决问题的正确思路 .下面举例说明 .例 1　如图 ,⊙Ｏ的直径ＡＢ=2 ,ＯＣ是⊙Ｏ的半径 ,ＯＣ⊥ＡＢ ,点Ｄ在ＡＣ上 ,ＡＤ= 2ＣＤ ,点Ｐ是半径ＯＣ上的一个动点 ,则ＡＰ +ＰＤ的最小值为 (　　 ) .Ａ . 3　Ｂ . 2　Ｃ .1　Ｄ .32解析　联想课本中的有关例题可知 :在某条直线上求一点 ,使其到直线同旁两点距离之和最小 ,需先找出其…     

初二(上)几何期考复习训练题

一、填空题（每空３分，共３０分）１．直角三角形的一个锐角是２４°２０′，则另一个锐角是２．在△ＡＢＣ中，若∠Ａ＝６０°，ＡＢ＞ＡＣ，则最长边是，最短边是．３．∠ＡＯＢ平分线上一点Ｐ到ＯＡ的距离为５ｃｍ，则Ｐ到ＯＢ的距离是．ｃｍ．４．等腰直角三角形底边为１０ｃｍ，顶角的平分线长为ｃｍ．５．线段ＡＢ的长为１０ｃｍ，点Ｃ是ＡＢ的垂直平分线上一点，且ＡＣ＝１０ｃｍ，则∠ＡＣＢ的度数是６．等腰三角形两边长的比是１１：５，周长是５４，则它的底边长为　　，腰长为７．直角三角形两锐角的平分线构成的钝角等于　　度…     

一道习题推出的高考题与引伸

许多资料上都有这样一习题 :命题 1　Ｏ为原点 ,ＯＡ、ＯＢ是抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ　 ( ｐ>0 )的两弦 ,若ＯＡ ⊥ＯＢ ,求证 :直线ＡＢ过定点Ｐ( 2 ｐ ,0 ) .证明略 .2 0 0 0年春季高考数学 2 2题就是由此题改编而成 .试题　设Ａ ,Ｂ为抛物线ｙ2 =4 ｐｘ　 ( ｐ>0 )上原点以外的两个动点 ,已知ＯＡ⊥ＯＢ ,ＯＭ ⊥ＡＢ于Ｍ ,求点Ｍ的轨迹方程 .略解　由命题 1知直线ＡＢ过定点Ｐ( 4 ｐ ,0 ) .∵ＯＭ ⊥ＡＢ ,即ＯＭ⊥ＰＭ .∴Ｍ点的轨迹是以ＯＰ为直径的圆 ,除去Ｏ点 ,即方程为(ｘ- 2 ｐ) 2 ｙ2 =4 ｐ2 　 (ｘ≠ 0 ) .　　如果我们把命题 1中…     

一道竞赛题的多种解法

题目如图１所示，水平地面上有一障碍物ＡＢＣＤ，较大平面镜ＭＮ在某一高度水平放置，试用作图法求出眼睛位于Ｏ点时，从平面镜中所能看到障碍物后方地面的范围．方法１根据平面镜成像的特点作图．解析　　从平面镜中看到地面的范围，实质上是这部分在平面镜中的像．所以很容易想到，作出地面在平面镜中成的像，而后观察．根据平面镜成像的特点，作出地面和障碍物在平面镜中成的像．人眼在Ｏ点应从障碍物ＡＢＣＤ和它的像Ａ'Ｂ'Ｃ'Ｄ'之间，才能观察到障碍物后方地面的像．从图２中可看出，人眼在Ｏ点只能看到Ｅ'Ｇ'部分，然后再根据平面镜…     

2002年IMO中国国家集训队选拔考试

一、设凸四边形ＡＢＣＤ的两组对边所在的直线分别交于Ｅ、Ｆ两点 ,两对角线的交点为Ｐ ,过Ｐ作ＰＯ⊥ＥＦ于Ｏ .求证 :∠ＢＯＣ =∠ＡＯＤ .图 1解 :如图 1,只需证明ＯＰ既是∠ＡＯＣ的平分线 ,也是∠ＤＯＢ的平分线即可 .不妨设ＡＣ交ＥＦ于Ｑ ,考虑△ＡＥＣ和点Ｆ ,由塞瓦定理可得ＥＢＢＡ·ＡＱＱＣ·ＣＤＤＥ=1.①　　再考虑△ＡＥＣ与截线ＢＰＤ ,由梅涅劳斯定理有ＥＤＤＣ·ＣＰＰＡ·ＡＢＢＥ=1.②　　比较①、②两式可得ＡＰＡＱ=ＰＣＱＣ.③过Ｐ作ＥＦ的平行线分别交ＯＡ、ＯＣ于Ｉ、Ｊ ,则有ＰＩＱＯ=ＡＰＡＱ,ＪＰＱＯ=ＰＣＱＣ…     

《光的反射》难题几例

例１如图１所示，光线投射到平面镜上时，入射角为１０°，若以入射点Ｏ为轴转动平面镜，当镜面转到跟水平面夹角为多少度时，光线沿水平方向向右传播？解析如图２所示，作∠ＡＯＢ的角平分线ＯＮ，即为法线，过Ｏ点再作ＭＮ上ＯＮ，β即为平面镜转过的角度，∠β＝１／２（１８０°－∠ＡＯＢ），β＝１／２［１８０°－（９０°＋１０°）］＝４０°．例２一人自马路上路灯的正下方经过，看到自己头部的影子正好在自己脚下，如果人高１．６米，灯高３．２米，人以不变的速度直线朝前走，则他自己头部的影子相对于地的运动情况是：（）Ａ．…     

扇形中内接矩形最大面积的探究

如图１，有一块以点Ｏ为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ＡＢＣＤ辟为绿地，使其一边ＡＤ落在半圆的直径上，另两点Ｂ，Ｃ落在半圆的圆周上．已知半圆的半径长为Ｒ，如何选择关于点Ｏ对称的点Ａ，Ｄ的位置，可以使矩形ＡＢＬＤ的面积最大？     

“等值线”概念的推广及应用

著名数学家、数学教育家Ｇ·波利亚在他所著《数学与猜想》（上卷）一书中有这样一个例子：在直线ｌ外有一线段ＡＢ，在ｌ上求一点Ｐ，使∠ＡＰＢ最大．他的解决办法是：过Ａ、Ｂ两点做圆，与ｌ的切点即为所求的点Ｐ．其依据就是过ＡＢ的同一圆弧上任一点对线段ＡＢ所张的角相等，他形象地把这样的圆弧叫等值线．笔者觉得有些条件最值问题利用这种“等值线”思想去解决，既直观形象，又简洁可行．下面对他的圆弧等值线做一推广，给出“等值线”概念的一般定义，然后通过例子来说明“等值线”概念的应用，最后给出利用“等值线”思想解决某些…     

一个简单的立体几何结论及其应用

众所周知 ,在平面几何中 ,如果线段ＡＢ的中点在直线ｌ上 ,那么Ａ、Ｂ两点到直线ｌ的距离相等 .在立体几何中有同样类似的结论 :如果Ａ、Ｂ两点在平面α的异侧 ,且线段ＡＢ的中点在平面α上 ,那么Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .证明　如图 1 ,过Ａ、Ｂ两点分别作平面α的垂线ＡＡ1 、ＢＢ1 垂足分别为Ａ1 、Ｂ1 ,则ＡＡ1 ∥ＢＢ1 ,ＡＡ1与ＢＢ1 确定一个平面 β,α∩ β=Ａ1 Ｂ1 ,ＡＢ∩Ａ1 Ｂ1 =Ｏ .易知Ｒｔ ＡＡ1 Ｏ≌Ｒｔ ＢＢ1 Ｏ ,从而ＡＡ1 =ＢＢ1 ,即Ａ、Ｂ两点到平面α的距离相等 .例 1　如图 2 ,四棱锥Ｓ-ＡＢＣＤ中 ,底面ＡＢＣ…     

谈谈点面距离的求解策略

线面距离及面面距离通常都是转化为点面距离进行求解，异面直线的距离也常常须转化为线面距离，进而转化为点面距离求解．所以掌握点面距离的求法是学习线面距离、面面距离的基本和关键．以下谈谈求点面距离的几种策略．１ 先作后求 先作后求的思路是：先过点作平面的垂线段，再利用解三角形的方法求出垂线段的长度．但这种解法一般要确定垂足的位置，通常是利用面面垂直的性质来确定垂足的位置． 例１已知正三棱锥Ｐ—ＡＢＣ底面边长为４，二面角Ｐ－ＢＣ－Ａ为６０°，求Ｐ在底面内的射影Ｏ到平面 ＰＢＣ的距离． 解 如图１，过Ｐ作＊ｏ上…     

有关直线和圆的位置关系中考题选登

一、填空题1 如图 1 ,ＰＣ切⊙Ｏ于Ｃ ,割线ＰＡＢ交⊙Ｏ于点Ａ、Ｂ ,若ＰＡ =2 ,ＡＢ =4 ,则ＢＣ2 ∶ＡＣ2 =.(四川省乐山市 )2 如图 2 ,等腰△ＡＢＣ的底边ＢＣ的长为ａ,以腰ＡＢ为直径的⊙Ｏ交ＢＣ于Ｄ点 ,则ＢＤ的长为 .(山东省青岛市 )3 ＰＡ、ＰＣ分别切⊙Ｏ于Ａ、Ｃ两点 ,Ｂ为⊙Ｏ上与Ａ、Ｃ不重合的点 ,若∠Ｐ =5 0° ,则∠ＡＢＣ =.(辽宁省 )4 ⊙Ｏ的半径为 5 ,Ｐ为⊙Ｏ内一点 ,ＯＰ =3,则经过点Ｐ的⊙Ｏ的最短弦和最长弦的长度之比为 .(山东省青岛市 )5 如图 3,⊙Ｏ的半径为 5ｃｍ ,ＰＯ =8ｃｍ ,若 ＰＣＣＤ=12 ,则ＰＣ的长…     

正三角形的又一性质

正三角形的又一性质兰州师专温传校引理正三角形外接圆上的任一点到它的三顶点的连线段的平方和为一定值。已知：如图（１），ΔＡＢＣ是正三角形，Ｐ是它的外接圆⊙Ｏ上的任一点，⊙Ｏ的半径为Ｒ。求证：ＰＡ２＋ＰＢ２＋ＰＣ２为一定值。证明：连接并延长ＢＯ交ＡＣ于Ｄ...     

一个命题的改进

一个命题的改进本刊１９９７．３期．刊登了一个改进命题（Ｐ４８）为：设△ＡＢＣ为一般三角形，它的外接圆为⊙Ｏ，⊙Ｐ与ＡＢ、ＡＣ两边分别相切于Ｇ、Ｈ，并与⊙Ｏ相内切，Ｋ为ＧＨ之中点．求证：Ｋ为△ＡＢＣ的内心．笔者经思考、探究，发现将上命题进一步改进，便有...     

应用重叠原理解题例说

重叠原理　设两个同类量Ａ、Ｂ,其重叠部分的量为Ｃ,则Ａ、Ｂ两量的总量Ｖ＝Ａ＋Ｂ－Ｃ（重叠部分只计一次）．有些数学问题用重叠原理来解,显得新颖巧妙,简捷明快．一、直接应用图１例１　如图１,两个半径为１的１４圆扇形Ａ′Ｏ′Ｂ′和ＡＯＢ叠放在一块,ＰＯＱＯ′是正方形,则整个阴影图形的面积是　　．（１９９８年希望杯初一赛题）解：由重叠原理Ｓ阴＝２Ｓ扇ＡＯＢ－Ｓ正方形ＯＰＱＯ′＝π－１２．例２　如图２,Ｒｔ△ＡＢＣ,∠ＡＣＢ＝９０°,Ｄ、Ｅ点在ＡＢ上,ＡＤ＝ＡＣ,ＢＥ＝ＢＣ,则∠ＤＣＥ的大小是（　　）．Ａ…     

从几个“问题”看数学考试的命题

从几个＂问题＂看数学考试的命题唐绍友问题１：如图１．ＡＤ切圆Ｏ于点儿ＢＤ经过圆心Ｏ，ＡＥ上ＢＤ于Ｅ．根据图形把线段成比例的式子写出１０个问题２：周长为６，面积为整数的直角三角形是否存在？若不存在，请给出证明；若存在，请证明共有几个？问题３：商店甲实行...