带余除法在求数列通项中的应用

在高等代数中,有关于多项式除法的一个定理:设f(x)和g(x)是F[x]中的任意两个多项式,并且g(x)≠0,那么在F[x]中可以找到多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)·q(x)+r(x),这里,或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数,     

关于多项式理论中一个问题的注记

某些高等代数教程(参考文献(1),(2))中有这样一个问题: 证明,数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x))=1或者存在一个正整数m使得f(x)|g~m(x). 这个命题中条件的必要性是成立的(这一点不难证明),而条件的充分性不是对于任意数域F都成立。请看下面讨论。假设f(x)是数域F上一个次数大于零的多项式,并且满足条件:对于任意g(x)∈F(x),     

分圆域Q(ξ)上矩阵方程g(X)=A有解的一个条件

文[1]在F=Q上讨论了f(x)与f(xm)的Galois群的阶的问题。本文我们就f=Q(ξ),A∈Mn(F),f(x)是分圆域Q(ξ)上矩阵A的n次不可约特征多项式,g(x)=xm-a∈F(x),以f(x)与f(g(x))的Galois群的阶来进一步讨论g(X)=A有解的一个条件。     

对《关于二元二次多项式能分解因式的充要条件》的一点商榷

将本文后面所列参考文献分别简称为文[1]、文[2]。本文中约定:1.在实数域(实平面)上讨论,2.F(x,y)为二元二次多项式: F(x,y)=ax~2+bxy+cy~2+dx+ey+f, 3.δ等分别表示下列行列式: 文[1]指出文[2]中F(x,y)能分解为两个一次因式之积的充要条件是错误的,并且说明了发生错误的原因。文[1]将文[2]的充要条件修改为(照文[1]中命题的编号):     

高等代数二道习题探讨

在一些较为流行的高等代数书中,都有这样2道笔者认为值得商榷的习题,本文在这里给予逐一探讨: 题目1:张禾瑞、郝鈵新:《高等代数》第3版2.4节习题5:证明:数域下上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的的幂充分必要条件是对任意     

PP-环的扩张

:文章证明了斜幂级数环、罗朗级数环R[[x,x-1]]、斜多项式环、罗朗多项式环R[[x;α]]R[x;α]、罗朗多项式环]R[x,x-1]及R上的多项式扩张环是PP-环的一些充要条件.     

高等代数复习提要

师资类数学专业高等代数本学期讲授了如下内容:一元多项式;一元高次方程;线性空间,线性变换;欧氏空间;抽象代数基本概念介绍。期末复习具体要求如下。 第六章一元多项式 掌握一元多项式的运算以及这些运算所满足的一些规律,知道什么是数域P上的多项式及符号p[x]、Q[x]、R[x]、C[x]的意义。     

多项式整除理论中几个概念的等价条件

<正>一、多项式整除用F(x)表示数域F上的所有一元多项式的集合,设f(x),g(x)∈f[x]:1.1.若(?)h(x)∈f[x],使得f(x)=g(x)h(x),则称g(x)整除f(x),记作g(x)|f(x).1.2.当g(x)≠0时,设g(x)除f(x)的余式为r(x),则g(x)|f(x)当且仅当r(x)=0.1.3.g(x)|f(x)当且仅当g~m(x)|f~m(x).其中m为任一自然数.1.4.g(x)|f(x)当且仅当g(x~m)|f(x~m).其中m为任一自然数.1.5.g(x)|f(x)当且仅当g(x)在复数域内的根都是f(x)在复数域内的根,且其在g(x)中的重数不大于在f(x)中的重数.     

辅助函数在数学分析中的应用

用作辅助函数来证明一些结论,是数学分析的一个重要手段和技巧,师范院校的学生懂得和掌握这种技巧是一件有益的事情.现以数例说明.一、关于函数介值的问题一些涉及到函数介值的问题,可以用辅助函数加以解决.[例1]设函数f(x)在[0,1]上可导,且00,F(1)=f(1)-1<0,而F(x)在[0,1]上是连续函数,依介值定理知(?)x_0∈(0,1),使F(x_0)=0,即f(x_0)=x_0     

多项式值的符号及应用

对于一个实系数一元n(自然数)次多项式F(x),要确定它的值的符号,步骤往往是:1°将这,F(x)在实数集内分解因式;2°用,F(x)的各实根分全体实数为若干个开区间;3°确定F(x)的每一个因式在每一个开区间内的符号,从而确定F(x)在每一个开区间内的符号。上述三个步骤,可以简化,这就是改用符     

有关一个整系数多项式环定理的矩阵证明

本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[　 ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 .     

零多项式

设R是实数集,则R上x的一元多项式一般可定义成: a_nx~n+a_(n-1)x~(2-1)+…+a_1x+a_0 ①此处a_1∈R(i=0,1,2,…,n)。n,n-1,…,是非负整数。多项式①可用符号f(x),g(x),…等记之。若a_n≠0,则称多项式①的次数为n。基于这个定义,六年制重点中学高中课本《代数》第一册提出“数零称为零多项式,我们不规定它的次数”。显然,这一讲法是合理的,与a_n≠0的要求一致。我们可用R[x]来记R上面x的一元多项式的全体,零多项式(以下简记成0)在R[x]中关于多项式的加法和乘法运算具有性质:任意f(x)∈R[x]有     

由考题谈背景——2006年全国高考数学陕西卷理科第21题(续)

3 高等数学的伯恩斯坦多项式背景3.1 函数逼近论的伯恩斯坦多项式在函数逼近论中有一个很基本的问题,就是能不能用结构最简单的函数——多项式,去逼近任意的连续函数,答案是肯定的,前苏联数学家伯恩斯坦证明了一个很漂亮的定理:若 f(x)在闭区间[0,1]上连续,则对于 x 一致有B_n(f(x);x)=f(x).其中多     

微积分基本定理浅谈

微积分基本定理通常叙述为: 若f(x)在[a,b]上连续,则 〈1〉Φ(x)=integral from n=a to x(f(x)dx)是f(x)在[a,b]上的一个原函数,即Φ’(x)=f(x)x∈[a,b]; 〈2〉若F(x)是f(x)在[a,b]上的任一原函数,则 integral from n=a to b(f(x)dx=F(b)-F(a)) (称为牛顿—菜布尼兹公式) 此定理就其对微积分的重要性来讲,称之为基本     

函数不动点在解题中的应用(下)

2 .2　利用函数不动点解方程例 7　若α、β是二次函数F(x) =Ax2 +Bx +C的两个不动点 ,则α、β也是四次函数F(F(x) ) =A(Ax2 +Bx +C) 2 +B(Ax2 +Bx +C) +C的两个不动点 .证明 :由Aα2 +Bα +C =α ,Aβ2 +Bβ +C=β消去B、C ,可得F(x) =x +A(x-α) (x - β) .则F(F(x) ) -x=F(x) +A[F(x) -α][F(x) - β]-x=A(x -α) (x - β) +A[x +A(x -α)·(x - β) -α][x +A(x -α)·(x - β) - β]=A(x -α) (x - β) {[1 +A(x - β) ]·[1 +A(x -α) ]}.所以 ,α、β是F(F(x) )的两个不动点 .从例 7的证明中看出 :F(F(x) )的另两…     

不定积分概念中值得注意的问题

高等数学的不定积分概念中 ,有一个重要结论 :函数f(x)的任意两个原函数之间相差一个任意常数。可是有的学生在求原函数或不定积分的计算中往往忽视该结论 ,因而出现错误 ,甚至出现荒谬的结论 ,请看下面几个问题。例 1.设f(x) =e│x│ ,求f(x)的一个原函数。　　 [错解 ]f(x)可表示成分段函数。f(x) =ex　　　　x≥ 0e-x　　　x<0因为ex 和e-x的一个原函数分别为ex 和 -e-x,所以f(x)的一个原函数可用F(x)表示 :F(x) =ex　　　　x≥ 0-e-x　　x <0　　由原函数定义可知 ,若F(x)是f(x)的一个原函数 ,则F(x)应在 (-∞、+∞ )内处处可导 ,但上…     

契比谢夫最佳逼近定理的一个扩充

在加权意义下 ,对契比谢夫的两定理给予推广 .证明了 :①在集合Hn 中总存在多项式P0 (x) ,使得‖f -P0 ‖ =P ;②多项式P0 (x)是 f(x) 的最佳加权逼近多项式的充要条件是 ρ(x)｜p(x) -f(x)｜在 [a ,b] 中不少于 n + 2 个点处达到其绝对极大值     

关于连贯多项式

K·Sastry在文[1]中定义了连贯多项式:若多项式f_n(x)与f_n(x) 1同时在数集K上可约,则称f_n(x)为K上的连贯多项式。对于二次连贯多项式,仅有一些简单结果:多项式φ(x)=x~2 bx c与φ(x) 1=x~2 bx c 1在整数集Z上同时可约的充要条件是b=2d,c=d~2-1,d∈Z。对于更高次的,则未见任何论述。杨之先生在[2]中考虑了一般的二次多项式y=ax~2 bx c,提出了如下尚未解决的问题:     

关于二元的Бернштейн不等式

如果T(x)=a_0/2 sum from k=1 to n(a_k coskx b_k sinkx)是n阶三角多项式,则 |T’(x)|≤n max|T(x)|。这便是著名的С.Н.Бернштейн不等式。本文运用[1]的方法先建立二元三角多项式的parseval等式从而得到二元三角多项式类似的不等式。定义在Ω:[-π≤x≤π,-π≤y≤π]上的二元三角多项式为     

强诣零Armendariz环

结合环尺称为强诣零Armendariz的如果对于R[x]中任意两个多项式f(x),g(x)当f(x)g(x)∈Nil*+(R)[x]时,有ab∈Nil*(尺),这里a,b分别是f(x),g(x)的任何系数,而N*(R)为R的素根.证明了强诣零Armendariz环R的素根与上诣零根一致;强诣零Armendariz环足诣零Amlendariz环;证明了R是强诣零Amaendariz环当且仪当R的每个子环是强诣零Armendariz环,当且仪当R的多项式环R[x]是强诣零Armendariz环,当且仪当R的上三角矩阵环Tn(R)是强诣零Armendariz环;R是强诣零Armendariz环当且仪当R/Nil*(R)是Armendariz环.并推广了弱Armendariz环的两个结果.