运用判别式△证明不等式

二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若a>0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≥0;若a<0,△=b2-4ac≤0,则f(x)≤0. 二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根,则△=b2-4ac≥0. 以上性质,我们可以用来证明不等式. 例1 已知a,b∈R,且b>0.求证:a2+b2>3a-2ab-3. 证明:被证不等式可变形为     

根的判别式在几何不等式中的应用

根的判别式在解题中应用很广，尤其是在解决某些几何不等式时，若能恰当地运用根的判别式，则可达到出奇制胜的效果，请看下面几例．     

逆向思维在不等式问题中的应用

逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式.用逆向思维指导解题的基本特点是:从已有思路的反方向去思考、分析问题,表现为逆用定义、定理、公式、法则;逆向进行推理,即顺推繁复时考虑逆求;反向进行证明,即直接解决较困难时考虑间接解决;从反方向形成新结论,即探讨可能性或合理性存在     

分离参数法在不等式和方程中的应用

分离参数法是求参数范围的一种常用方法,通过分离参数,用函数观点讨论主变量的变化情况,由此确定参数的变化范围.     

例谈导数在不等式和方程中的应用

导数是高中数学新增内容，是高考的考点之一，其应用广泛，解方程、讨论方程根的情况、解不等式、证明不等式等问题，都可通过研究函数的单调性来解决。下面举例说明导数在解不等式和方程中的应用。     

浅析方程和不等式在反比例函数中的应用

反比例函数是一种重要的函数形式,利用它建立数学模型,为解决生活中的很多问题提供了便利.方程和不等式在反比例函数的应用中,以其各自的特点从不同的角度和层面给解题带来不同的思路和方法.     

巧用判别式证明不等式

一元二次方程根的判别式是初中代数内容,在不等式的证明中,若能善于利用不等式的结构特征,通过巧妙地构造一元二次方程,利用根的判别式来证明不等式,往往能起到事半功倍的效果.现拟举数例,就一元二次方程根的判别式在不等式证明中的应用,谈谈自己的浅见,意在抛砖引玉.     

利用判别式证明不等式

我们先看几个例题:例1.己知x,y,z是实数,且满足等式 x盆一yz一sx+7=0- yl+:!+yz一6盆+6=0.求证: 例2。 1艺十一- 吕1乓x叹9。若z是复数,e为:的幅角,且满足二1.求证:‘兀+晋‘,、k二+晋二.例3.已知实数a,b,。,d, a+b+e+d+e二8, aZ+bZ+eZ+dZ+eZ二16. _16求证:。成e戒管· (k是整数)e满足等式以上几个例题从表面看来,风马牛不相及,但1983年第六期仔细观察就会发现,这些题目的巳知条件都是一些等式,而所求证的是不等式。这样一类题目,有不少都可以用判别式法来解。解题的具休思路是:根据题目的已知等式化出一个含有参数的一元二次方程,然后利…     

判别式在高中数学中的应用

实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),有实数根的充要条件是判别式△=b2-4ac≥0,在初中数学的学习中,学生已经掌握.但是,在高中数学中应用判别式的等价性解决问题仍是高中数学中的难点之一,不少学生在学习中可能产生障碍,甚至出现一些错误.因此,判别式应用中的等价性问题,应引起师生的充分重视.1 使用判别式求函数的值域(最值)     

判别式在几何中的应用

△ =b2 - 4ac叫做一元二次方程 ax2 bx c=0的根的判别式。它的取值大小决定着一元二次方程 ax2 bx c=0实根的有无及多少。灵活运用它可使一些几何问题的解答变得简易、迅捷。在这种方法中 ,应注意根据几何图形的性质 ,构造关于某一几何量为元的一元二次方程。例 1.如图 ,在四边形 ABCD中 ,AD=DC=1,∠ DAB=∠ DCB=90°,BC、AD的延长线交于 P,求 AB·S△ PAB的最小值。解 :设 PD=x,AB· S△ PAB= y,那么 PA=x 1,PC=x2 - 1。∵∠ PAB=∠ PCD=90°,∠ APB=∠ CPD,∴△ PAB∽△ PCD。　　∴ PAAB=PCDC。∴ AB=…     

判别式在解析几何中的应用

1　问题提出题目　以椭圆 ｘ212 ｙ23=1的焦点为焦点 ,过直线ｌ:ｘ - ｙ 9=0上一点Ｍ作椭圆 ,要使所作椭圆的长轴最短 ,点Ｍ应在何处 ?并求出此时的椭圆方程 .文 [1]的作者利用椭圆的定义 ,将问题转化为在已知直线上求一点 ,使该点到直线同侧两已知点距离之和最小 (解题过程见 [1].解法巧妙 ,但文 [1]作者在评析中提到 :若忽略椭圆定义 ,不作这种转化 ,则问题将难以解决 .我们自然要问 :此说法是否妥当 ?求解方法可否优化 ?2　优化解法解　易知所求椭圆的焦点为 (± 3,0 ) ,故可设椭圆方程为 ｘ2ａ2 ｙ2ａ2 - 9=1　 (ａ>3) .将直线ｌ:…     

判别式在解题中的应用

一无二次方程ax~2 bx c=0(a≠0)根的判别式Δ=b~2-4ac常用于解方程、判别根的性质以及求解有关直线与二次曲线的位置关系等问题。除此之外,如能创造必要的条件,还可用判别式解其他某些题目,下面举例加以说明。 (一) 根据二次函数f(x)=ax~2 bx c(a≠0)的图象,容易得到:当a>0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≥0;若a<0,Δ=b~2-4ac≤0时,则f(x)≤0。     

判别式在初等数学中的应用

在初等数学中应用判别式解决问题仍然是难点之一.本文总结了判别式在求函数值域、实数的取值范围、方程的解、不等式的证明等方面的应用,以便在解题中取得事半功倍的效果.     

方程中的不等式

方程与不等式是两个不同的概念,但它们之间却有着千丝万缕的联系.尤其是在解含有字母系数的方程(组)时,常常需要通过解不等式来完成.举例说明如下:例1已知关于x的方程4x-m 1=5x-1的解是负数,求m的取值范围.解:解关于x的一元一次方程4x-m 1=5x-1得x=2-m.因为x<0,所以2-m<0.所以,m>2.例2已知(x-2)2 2x-3y-a=0中,y为正数,则a的取值范围是().A.a<2B.a<3C.a<4D.a<5解:由题设及非负数性质得:x-2=0,2x-3y-a=0!;解得x=2,y=4-a3"$$#$$%.因为y>0,所以4-a3>0.解得a<4.选C.例3设有方程组3x ay=5,x 2y=1!.问a为何值时,y<0?解:3x ay=5,(1)x 2y=1.(2!…     

判别式在解题中的应用

一元二次方程的根的判别式在初中数学解题中的应用极为广泛，现归纳如下．一、不解方程判断其根的情况例则关于工的一元二次方程的根的情况是（）（A）无实根；（B）有两个负根；（C）有一正根，一负根，且正根的绝对值比负根的绝对值大；（D）有一正根，一负根，且负根的绝对值比正根的绝对值大．（1994年，海南省）解”．”凸一32－4·5·c＝9－20c，而Cwto，“．乙too．放方程有两个不相等的实数根．设方程的两根为JI、rZ，由韦达定理，得3c，ie，＋H，＝－ryH，HI·H，＝ryryrto．q”’—“q方程有一个正根和一个负根，且负极的绝…     

判别式在圆锥曲线中的应用

大家都知道在一元二次方程中,判别式可以判定方程根的个数,在圆锥曲线问题中判别式也起到非常重要的作用.     

判别式在解几中的应用

一、判断与解决曲线位置关系利用消元法把曲线位置关系问题转化为一元二次方程根的个数问题,在解析几何中很常见. 例1 已知椭圆C:(x2)/4+y2=1和直线L:y=2x+m,当m取何值时,椭圆与直线相交、相切、相离?     

判别式在解题中的应用

判别式除了可以用来判定方程根的情况之外,它在解题中有着技巧性很强的应用,现举例如下,供参考。1 当题目中含有△=b~2-4ac≥0条件或结论 时,可以返回去构造方程ax~2 bx c=0 (a≠0),再用方程知识求解 例1 若(z-x)~2-4(x-y)(y-z)=0,求证x z=2y。 分析:观察条件式的结构特征,形似于判别     

判别式在解析几何中的应用

解析几何是通过研究代数方程的性质来研究曲线几何性质的,因而有关代数方程的定理及代数运算的一些方法,在解析几何中有着广泛的应用,下面谈谈实系数一元二次方程实根判别式在解析几何中的应用.     

判别式在解题中的应用

一元二次方程的判别式是判别一元二次方程是否有根的重要依据。但在解其他一些题时,判别式同样也起着重要的作用。以下试例谈之。一、利用判别式来自担的应征与最值二、利用判别式证明不筹式利用判别式证明不等式,同样是构造—一元二次方程,然后利用判别式来证明。三、利用判别式问平几间回运用判别式解平几问题的关键,是根据已知条件和图形的数量特征,构造一个一元二次方程,把几何问题转化为代数问题。例4．已知凸ABC的面积为S,作直线LIBC,且与AB、AC分别交于D、E两点,若凸BED的面积为R,求例5．如图,在rtABC中,D、E…