抽象函数的解题策略

抽象函数,其性质常常是隐而不露.但就其类型,最基本的有以下几种:(1)线性函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)+f(y);(2)指数函数型抽象函数,如f(x+y)=f(x)f(y);(3)对数函数抽象函数型,如f(xy)=f(x)+f(y)(4)三角函数型抽象函数,如f(x+y)f(x-y)=2f(x)f(y)(余弦函数型),f(x±y)=f(x)g(y)±f(y)g(x)(正弦函数型),f(x±y)=f(x)±f(y)/1-+f(x)f(y)(正切函数型).只要善于借用相应函数的相关性质,就     

抽象函数解读

Ⅰ.正比例函数f(x)=kx(k≠0,x∈R)的抽象函数的特征式为:(1)f(x+y)=f(x)+f(y);(2)f(x-y)=f(x)-f(y);(3)f(xy)=k1f(x)f(y),特别地当k=1时,有f(xy)=f(x)f(y).例1:定义在R上的函数f(x),恒有f(x+y)=f(x)+f(y),若f(16)=4,那么f(2003)=.解法1(基本解法):令x=y=0,得f(0)=2f(0),∴f(0)=0.令y=-x,得f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.令y=x,得f(2x)=2f(x),f(22x)=f(2·2x)=2f(2x)=22f(x),…,f(2nx)=2nf(x).又∵f(16)=4,∴f(1)=41.∵f(2003)=f(211-25-23-22-1),∴f(2003)=f(211)-f(25)-f(23)-f(22)-f(1)=(211-25-23-22-1)·f(1)=20403.…     

抽象函数周期性的确定

我们将没有明确给出解析式的函数称为抽象函数,本文就如何确定抽象函数的周期性通过实例介绍一些技巧,供学习参考。 1 合理赋值 在确定抽象函数的周期时,如果题设条件中含有f(a)=b(a、b为常数)等类似条件时,合理赋以特殊值,常可使问题迎刃而解。 例1: 设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1)=0,并对任何x∈R均有f(x+2)-f(x)=f(2),则f(x)是以2为周期的周期函数。 分析:因为f(x)是R上的奇函数,所以对一切x∈R都有:f(-x)=-f(x) 又f(x+2)-f(x)=f(2)。 令x=-1,得f(1)-f(-1)=f(2), 即f(1)+f(1)=f(2), 从而f(2)=2f(1)=0 所以f(x+2)=f(x)+f(2)=f(…     

抽象函数问题的模型解法

抽象函数是指满足某些条件但没有给出解析式的函数.一般说来,这类函数大多是根据教材中某些函数的性质与结构特征,经过抽象、概括而成的,因而大都能找到其原始模型.解题时,我们可以根据抽象函数提供的信息,经过加工整合,找到相应的模型函数,并由此推测出抽象函数可能具有的性质,这样易于明确解题方向,而使问题获解.1 直线型例1 定义域为 R 的函数 f(x)满足:对于任意实数 x,y 都有 f(x y)=f(x) f(y)成立,且当 x>0时,f(x)<0恒成立,解关于 x     

一类抽象函数性质的探讨

<正>函数是中学数学的一个重要概念,函数的思想方法贯穿整个高中数学课程,也是高考中的重点内容.形式化、符号化是数学的重要特征,如所有的函数关系都可以用一个抽象的符号y=f(x)表示.这种表示不仅形式简单,而且可加深对函数概念本质的理解.学生对于函数解析式确定的函数的性质较容易掌握,但是对于仅仅用符号f(x)描述的一类抽象函数的研究却有较大的难度,本文就这类抽象函数的性质作探索.例1:坌x,y∈R,且x≠0,y≠0,均有f(xy)=f(x)+f(y)成立,     

一道抽象函数问题的多思路解析

<正>例题定义在R上的连续函数f(x)满足:f(-x)+f(x)=x²,当x<0时,f′(x)f(1-x)+x的解集为____。抽象函数是没有给出解析式的函数,在处理此类问题时常常感到无从下手,但因其既能考查函数的概念与性质,又能考查思维能力与抽象能力,是高考中的热点与难点,如     

例析函数对称性和周期性

<正>一、函数的对称性定理1:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图像关于直线x=(a+b)/2对称。定理2:若函数y=f(x)定义域为R,且满足条件:f(a+x)+f(b-x)=c(a,b,c为常数),则函数y=f(x)的图像关于点     

破解抽象函数问题“六法”

所谓抽象函数,简单地说是指没有给出具体的函数(对应法则),仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数类型.对抽象函数问题的考查在近几年的高考中有逐年增加数量的趋势,以体现高考加大对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于抽象函数问题的顺利解决.1·赋值法【例1】设函数f(x)的定义域为(0,+∞),且对于任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立.若已知f(2)=1,试求:(1)f21的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数.思路:合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.解:(1)令x=y=1,则f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)…     

抽象函数容易忽视的几个问题

抽象函数是相对于具体函数而言的,它是指没有给出具体函数的解析式,仅仅给出函数的部分性质,如函数f(x)满足f(x y)=f(x) f(y)等.解题时依据题设所给的条件解决相关问题的一类函数.通过抽象函数设置的考题,主要考查函数的基本性质(单调性、奇偶性和周期性),考查学生的抽象思维、     

抽象函数问题的类型及其解法

抽象函数是指只给出函数的某些性质而未给出解析式的函数 ,它在历年的高考竞赛中常常出现 ,不少同学对此类问题的解法感到无从下手 ,为使抽象函数问题的解决有“章”可循 ,下面介绍几种常见的求解方法 .一、求值问题例 1　已知函数f(x)满足 :对任意x、y∈R都有f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)且f(1 )≠ 0则f(2 0 0 5) =　　　　 .解 :在f(x y2 ) =f(x) 2f2 (y)中 ,取x=y =0则f(0 ) =0 ,再取x =0 ,y =1代入得f(1 ) =2f2 (1 ) ,∵f(1 )≠ 0 ,∴f(1 ) =12 .在条件式中令x=n ,y=1则得递推式f(n 1 ) -f(n) =12 .∴数列 {f(n) }是首项为 12 ,公差…     

常见抽象函数题的解法

一、几种常见的抽象函数1.一次函数型抽象函数:f(x+y)=f(x)+f(y),f(x-y)=f(x)-f(y).对应函数模型:f(x)=kx(k≠0).2.二次函数型抽象函数:f(a+x)=f(a-x).对应函数模型:f(x)=k(x-a)2+m(k≠0).3.指数函数型抽象函数     

也谈一道高考抽象函数题解法“类比”出的历程

1 问题提出 题1 (2008陕西卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2,则f(-2)等于( )     

导数在解数学题中的应用

一、利用导数求单调区间例1已知函数f(x)=x3 bx2 cx d,它的图像过点P(0,2),且在点M(-1,f(-1))处的切线方程为6x-y 7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)求函数y=f(x)的单调区间.解析(1)由函数f(x)的图像过点P(0,2),可知d=2,所以f(x)=x3 bx2 cx 2,则有f′(x)=3x2 2bx c.由函数f(x)在     

函数测试题（2）

一、选择题1.设函数f(x)=x3(x∈R),当0≤θ≤π2时,f(m sin)θ+f(1-m)>0恒成立,则实数m的取值范围是().(A)(0,1)(B)(-∞,0)(C)(-∞,1)(D)(-∞,12)2.函数f(x)=ax+b(a>0且a≠1)的图象过点(1,1),且00,x2>0且x1≠x2),则p,q的大小关系是().(A)p>q(B)p相似文献   

函数奇偶性的十大解题功能

奇偶性是函数的重要性质之一,应用广泛,是高考和数学竞赛命题的热点,灵活运用它可使许多难题迎刃而解.现将函数奇偶性的应用归纳如下,以供同学们复习时参考.一、求函数的值例1若函数f(x)与g(x)定义在R上,且f(x-y)=f(x)g(y)-g(x)f(y),f(-2)=f(1)≠0,求g(1)+g(-1)的值.解f(y-x)=f(y)g(x)-g(y)f(x)=-f(x-y),所以f(x)是奇函数.令x=-1,y=1,则f(-2)=f(-1-1)=f(-1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)g(1)-g(-1)f(1)=-f(1)[g(1)+g(-1)].∵f(-2)=f(1)≠0,∴g(1)+g(-1)=-1.二、求参量的值例2若关于x的方程arctan(1-x)+arctan(1+x)=a有唯一解,求a的值.解令f(x)=arct…     

例析抽象函数问题的求解策略

近年来 ,经常在高考、高考模拟以及竞赛中出现与抽象函数有关的试题 .一般地 ,抽象函数是指没有给出具体的函数解析式 ,只是给出函数所具有的某些性质的函数 .这类试题往往概念抽象、隐蔽性强、灵活性大、综合程度高 ,因此 ,学生常常感到难以掌握 .本文主要介绍求解抽象函数问题的常见方法 ,供参考 .一、合理递推例 1　已知函数f(x)具有性质 f(x)+f(x -1) =x2 ,如果f( 19) =94,那么f( 94)除以 10 0 0的余数是多少 ?解　由 f(x) +f(x -1) =x2 ,得f(x) =x2 -f(x-1) .又 f( 19) =94,∴f( 2 0 ) =2 0 2 -f( 19) ,　f( 2 1) =2 12 -f( 2 0 )=2 12…     

基本初等函数与双曲函数的特征方程

在[※]中讨论了双曲正弦与双曲余弦的特征方程本文将用更简捷的方法给出基本初等函数与双曲函数的特征方程及其证明。 1.若实函数f(x)在x=0点可导且对任意x,y∈R满足 f(x y)=f (x) f(y)则f(x)为线性函数。 证明:在(※)式中令y=0得 f(x)=f(x) f(0)(?)f(0)=0     

导数在函数中显神通

一、求函数解析式【例1】设y=f(x)为三次函数,且图象关于原点对称,当x=1时,f(x)取得极小值-2,求f(x)的解析式.解:设f(x)=ax3 bx2 cx d(a≠0),由于其关于原点对称,为奇函数.故b=d=0.所以f(x)=ax3 cx,由f′(x)=3ax2 c,且x=1时,f(x)有极小值-2得f′(1)=3a c=0,f(1)=a c=-2,解之,得a=1,c=-3,所以f(x)=x3-3x.二、求函数单调区间与判断函数单调性【例2】求f(x)=x3 3x的单调区间.分析:首先确定f(x)的定义域,再在定义域上根据导函数f′(x)的符号来确定f(x)的单调区间.解:f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0, ∞)f′(x)=3x2-3x2=3(x2 1)(x 1)(x-1)x2由于当x<-…     

破解抽象函数问题六法

所谓抽象函数,简单地说是指没有给出具体的函数(对应法则),仅含有抽象的函数符号、抽象的函数结构式或抽象的函数关系式的一种函数类型.对抽象函数问题的考查在近几年的高考中有逐年提高的趋势,这体现高考加大对理性思维能力考查的命题思想.理解和掌握以下几种方法,有助于同学们解决抽象函数问题.一、赋值法例1设函数f(x)的定义域为(0, ∞),且对于任意正实数x、y都有f(xy)=f(x) f(y)恒成立.若已知f(2)=1,试求:(1)f(21)的值;(2)f(2-n)的值,其中n为正整数.分析合理赋值,化抽象为具体,发现递推规律.解(1)令x=y=1,则f(1)=f(1) f(1),∴f(1)=0.再令x=2,y=12,则f(1)=f(2) f(12),∴f(12)=-f(2)=-1.(2)由于f(2-2)=f(12) f(21)=-2,f(2-3)=f(21) f(12) f(12)=-3,依此类推,可得f(2-n)=-n,其中n为正整数.点评利用抽象条件,通过对相关条件的赋值(赋具体值或代数式)是解决抽象函数问题的基本方法.二、逆用单调性法例2若f(x)是定义在(0, ∞)上的增函数,且对一切a,b∈(0, ∞)...     

对一类抽象函数问题的再思考

我们知道“若函数f(x)对任意的x、y∈R满足f(x+y)=f(x)+f(y)”,则我们容易联想到正比例函数f(x)=kx是满足条件的一个具体模型,又比如“若函数f(x)对任意实数x、y都有f(x+y)=f(x)f(y)”,则我们容易想到指数函数是满足条件的一个具体模型.笔者经常在想分别满足这两个条件的函数是否就是正比例函数和指数函数呢如果真是这样那么抽象的问题就变成了具体的函数了岂不更好!那么怎样根据条件求出函数f(x)的解析式呢怎样揭开抽象函数神秘的面纱露出庐山真面目呢这类问题一直在困惑着笔者,用赋值法特殊情况下能求出函数解析式,或求出自变量为正整数时的函数解析式,但不少问题赋值却显得无能为力.最近笔者有幸拜读了《中学数学教学参考》第7期李峰老师的文章“一个问题的求解历程”,他大胆运用导数方法解决了他所遇到的几个抽象函数的解析式问题,这给笔者很大的启发和鼓舞.但笔者读后觉得言虽尽意未了,还有作进一步探讨的必要.笔者用此法对简单多项式函数、指数函数和对数函数的抽象表现形式进行了一般性的研究得出了一些自己诊断有一定价值的结论,使得我们对抽象函数的解析式问题有了进一步的认识.下面将笔者的研究成果及其应用向大家作...