关于一类递推函数的周期

2005年湖南省数学竞赛试题第4题是： 对于x∈R，函数f（x）满足f（x＋2）＋f（x-2）=f（x），则它是周期函数，这类函数的最小正周期是（ ）。     

由一道竞赛题谈起

题目：设函数f（x）具有如下性质：f（3x）=3f（x）对于所有的正实数x都成立，且f（x）=1-｜x-2｜（1≤x≤3）。试求满足f（x）=f（2001）之最小值。（第十九届美国数学邀请赛第8题）     

关于新教材中一个习题答案的商榷

人教社出版的《全日制普通高中教科书》试验修订本，数学第一册（上），对原高中数学教材中内容进行了调整，增加了阅读内容，也引进了一些新的表示方法，但有一习题的答案令笔者不解，该书６４页习题２．３第２题，在教师用书给出的答案中，出现了概念性和知识性的问题。原题和答案如下：在教材中，增函数的定义：设f（x）的定义域为I，如果对于属于定义域I内某个区间上任意两个自变量的值x１，x２，当x１＜x２时，都有f（x１）＜f（x２），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．减函数定义：设函数f（x）的定义域为I，如果对于属于定义…     

两道高考客观题评析

题 （2006年浙江高考卷（理）第10题）函数f：{1，2，3}→{1，2，3}，满足f（f（x））=f（x），则这样的函数个数共有（ ）个     

错在哪里

题 已知函数f（x）=x/ax＋b（a≠0）满足f（2）=1，且方程f（x）=x仅有一解，求其解析式。     

关于一函数方程无解的证明——兼擂题（89）的解答

本刊2008年第一期擂台题（89）： 设N={1,2,3,4,…}．试问：是否存在一个函数F：N→N,使得对于任何的x、y、z∈N,都有f（f（x））=2x＋9,以及f（3^y＋3^z）=3^y＋z？证实你的回答．     

周期函数定义之精析

教材中写到：“对于函数f（x），如果存在一个非零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x＋T）=f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期。”教材中又说：“如果在周期函数f（x）所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期。”     

多元问题中的“减元策略”探究——从一道压轴题的解决谈起

1．题目 （南通市二模试题第20题）如果对任意一个三角形，只要它的三边长a、b、c都在函数f厂（x）的定义域内，就有f（a）、f（b）、f（c）也是某个三角形的三边长，则称，（x）为“保三角形函数”．     

江苏卷第21题的别解

21题 已知a，b，c，d是不全为零的实数，函数f（x）=bx^2＋cx＋d，g（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d．方程f（x）=0有实根且f（x）=0的实根都是g（f（x））=0的实根；反之，g（f（x））=0的实根都是f（x）=0的实根．[第一段]     

用几何画板透视高考题

2010年广东高考数学文科第20题可以说是全卷的“点睛之笔”!让我们借助几何画板从4个方面解读这道题蕴含的丰富思想和独到之处吧! 原题已知函数f（x）对任意实数x均有f（x）=kf（x＋2）,其中常数k为负数,且f（x）在区间[0,2]上有表达式f（x）=x（x一2）． （I）求f（-1）,f（2.5）的值;     

从一道错解题谈函数的定义域

问题：已知函数f（x）＝2＋log2x，x[1，9]，求函数g（x）=[f（x）]2＋f（x2）的最大值和最小值．当t=0时，即x=1，函数g（x）有最小值6；当t=3时，即x=9，函数g（x）有最大值33．上题的解法是1999年出版的一本资料上给出的．此题我又作为函数一章的测试题给学生做，结果表明约80见的学生与上面解法相同．上面的解答是错误的，它犯了偷换概念的错误，忽视了函数f（x）与g（x）中相同字母变量X的意义是不同的．g（x）是由函数f（x）与x2复合和运算而的，由于f（x）的定义域为[1，9]，所以g（x）定义域应由条件决定，即g（x）的定义域为[1，3…     

一道竞赛题的解法分析与命题背景

2009年浙江省高中数学竞赛试题第20题： 题目设函数f（x）=3ax^2-2（a＋b）x＋b，其中a〉0，b为任意常数．证明：当0≤x≤1时，有｜f（x）｜≤max{f（0）,f（1）}．     

函数奇偶性小议

函数奇偶性作为函数的一个重要性质,其地位毋庸置疑。对于函数f（x）定义域中的任意一个X,若有f（-x）=f（x）,则f（x）为偶函数;若有f（-x）-f（x）,则f（x）为奇函数。简单的一个定义．却蕴含着丰富的内容。     

有关抽象函数周期的八个类比猜想

预备知识：对于函数定义域内的每一个x,若存在某个常数T,使f=（x＋T）=f（x）成立,则f（x）是周期函数,T是f（x）的一个周期,若T是f（x）的一个周期,则κT（κ∈N＊）也是f（x）的周期。     

2013年新课标理科卷第21题的解法探究

题目（2013年新课标理科卷第21题）已知函数f（x）＝ex-ln（x＋m）（Ⅰ）设x＝0是f（x）的极值点,求m,并讨论f（x）的单调性;（Ⅱ）当m≤2时,证明f（x）＞0．此题是一道利用函数、导数、不等式知识研究新问题能力的压轴题．     

2O06年全国联赛一试第15题的讨论

2006年全国联赛一试第15题： 设f（x）=x^2＋a，记f^1（x）=f（x），f^n（x）=f（f^n-1（x）），n=2，3，…，M={a∈R｜ 对任何正整数n，｜f^n（0）｜≤2}．证明：M=[-2，1/4]     

三角中创新试题

一、开放性试题主要指条件开放题,结论开放题,条件与结论都开放的试题.例1设函数f(x)=sin2x,若f(x t)是偶函数,则t的一个可能值是.分析:本题是结论开放题,紧扣偶函数定义即可解决.解:若f(x t)是偶函数,则sin(2x 2t)=sin(-2x 2t),得2x 2t=2kπ (-2x 2t)或2x 2t=2kπ π-(-2x 2t)     

利用函数特征解题例说

函数部分有一类比较抽象的习题，它给定函数f(x）的某些性质，要证明它的其他性质，或利用这些性质解一些不等式或者方程，学生很感棘手．其实这些题目的设计，一般都有一个基本函数做模特，如能正确分析估猜这个模特函数，联想这个函数的其它性质来思考解题方法，那么这类难题就可转化为简易问题来处理．倒1设f(x）是定义在（0, ∞)上的增函数，且f三=f（x）-f（y）．（1）求证f（1）＝O;（2）求不等式f（x＋1）-f()≤f(7）的解集;（3）求证f(x~n）=nf(x).我们先看该题的解题过程：等价于又∵f（x）是定义在（0，＋∞）上的增函数。解之，…     

对一道高考题的思考

2010年高考全国卷2文科第21题第（2）问为：已知函数f（x）=x3-3ax2＋3x＋1,设f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点,求n的取值范围．     

以“图”导思 顺畅解题

做下面这道题,先不看答案,看你能不能很快找到解题思路并且顺畅解题 例1（1）一次函数f（x）=kx＋h（k≠0）,若m〈n有f（m）〉0,f（n）〉0,则对于任意的x∈（m,n）都有f（x）〉0,试证明之;