一道奥赛题与一个数学问题的一脉相承

<正>赛题(第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题以下简称"赛题")已知ΔABC的三边长为a,b,c且满足a+b+c=3,求f(a,b,c)=a2+b2+c2+4/3abc的最小值.问题(《数学通报》问题1830以下简称"问题")已知a,b,c>0,且a+b+c=2,证明     

一道加拿大奥赛题的简证

08年第40届加拿大数学奥林匹克有这样一道试题： 已知a＋b＋c=1,a,b,c∈R^＋． 求证：（a-bc）/（a＋bc）＋（b-ac）/（b＋ac）＋（c-ab）/（c＋ab）≤3/2．     

一道台湾奥赛题的另一简证

2004年中国台湾数学奥林匹克集训营第4题为:设正实数 a,b,c 满足abc≥2~9,证明:1/((1 a)~(1/2)) 1/((1 b)~(1/2)) 1/((1 c)~(1/2))≥(?)(1).文[1]用高等数学的知识作出证明,过程较复杂;文[2]给出了两个简证,其实并不简单.下面用柯西不等式给出一个简证.证明:设 abc=λ~3,a=λ(yz)/x~2,b=λ(zx)/y~2,c=λ     

简证一道奥赛题的推广命题

第42届国际数学奥赛题第2题是: 对所有正实数a、b、c,证明:a/(√a2 8bc) b/(√b2 8ca) c/(√c2 8ab)≥1①     

值得探讨的一道奥赛题

贵刊2003年第8期上《从少到多推算寻规律》一文中,例举了这样一道小学数学奥林匹克竞赛题:北京的小朋友小京将自然数1~2008按以下格式排列:1摇2摇摇3摇摇4摇摇5摇 6摇摇78摇9摇摇10摇摇11摇12摇13摇1415摇16摇17摇18摇19摇20摇212223摇24摇25摇26摇27282930摇31摇32摇33摇34摇35…………………他请上海的小朋友小沪用3×4(3行,4列)的长方形框出12个数,使它们的和是2010。那么这12个数中最大的数是摇摇摇。笔者之所以认为这道题值得探讨,一是因为这道题的解法灵活多样,为学生提供了广阔的思维空间,有利于学生去创新、去探索;二是因为这道题…     

一道数学奥赛题的推广

在文[1]中有2004年西部数学奥林匹克赛题,其中最后一题为:求证:对任意正实数a,b,c都有1＜a/((a~2 b~2)~(1/2)) b/((b~2 c~2)~(1/2)) c/((c~2 a~2)~(1/2))≤(32~(1/2))/2 (1)本文给出其推广形式,即有下面的命题:     

一道平面几何奥赛题的简证

题目如图1,在△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E、F分别是BC、CA、AB上的点,且AE=AF,△AEF的外接圆交线段AD于点P.若点P满足PD~2=PE·PF,证明:     

两个美国奥赛题的证明

[译者注第33届美国数学奥林匹克于2004年4月27日和28日举行,美国<数学月刊>2005年第2期(季刊)刊出了第33届美国数学奥林匹克试题及解答,我们将此解答与<数学通讯>2004年第17期提供的解答相比较,看到赛题2、3解答差异较大,现翻译出来,供参考]     

一道国际奥赛题的再推广

第42届国际数学奥林匹克竞赛第2题为: 对所有正实数a、b、c,证明:a/a2 8bc b/ b2 8ca b/c2 8ab≥1. 很多文章对它进行了探索,文[1]、[2]用多种方法证明了如下定理1:     

一道平几奥赛题的推广

2003年第44届国际数学奥林匹克试题4是一道几何题,试题如下: 试题[1] 设ABCD是一个圆的内接四边形,从点D向直线BC、CA和AB作垂线,其垂足分别为P、Q和R,证明:PQ=QR的充要条件是∠ABC的平分线、∠ADC的平分线和AC这三条直线相交于一点.     

一道奥赛题的巧解

<中学数学月刊>2004年第4期刊登了2002年英国数学奥林匹克第2轮试题3及其解答,现提供一种巧解供参考.     

一道三角奥赛题的多种构造性证法

题目证明：证明cos 2π/5＋cos 4π/5=-1/2（1939年第五届莫斯科数学奥林匹克）     

一道奥赛几何题的多种证明

题目设H是锐角△ABC的垂心,M是BC边的中点,过H作AM的垂线,垂足为P．证明：AM·PM=BM^2．这是2011年一道日本奥赛题．文给出一种证法,其要点是：ME（参见图7）是为以AH为直径的圆的切线,E为切点,注意BM=ME,     

一道加拿大数学奥赛题结果的加强

2002年加拿大数学奥林匹克竞赛中有一道试题： 称正整数n为“好数”,如果任意不大于竹的正整数都可以表示为咒的若干个不同正约数之和．证明：任意两个“好数”之积为“好数”．     

一道奥赛试题的简证

文[1]关于论证20个小孩最多共有3个祖父,几乎完全用语言文字分两步进行,先证3个小孩最多3个祖父,再证其余的小孩也是如此.证明过程繁锁,文字推理晦涩冗长.下面关键使用常用的数学建模思想方法整体考虑,简洁明了地论证了上述问题.证明用c1,c2,…,c20表示小孩,用g1,g2,…表示这些小孩的祖父.因为事实上每个ci均有2个祖父,所以20个小孩最少共有2个祖父.(1)共有2个祖父,这2个不同祖父均是20个小孩的祖父,所以对于每个祖父而言均有20个孙子.问题显然得证.(2)不止共有2个祖父,看共有最多个小孩均有一个共同祖父,这种联系用边和对角线来表示,C1处…     

一道日本奥赛题的推广

日本奥赛题：已知a、b、c为正数,求证：（b＋c-a）^2/（（b＋c）^2＋a^2）＋（c＋a-b）^2/（（c＋a）^2＋b^2）＋（a＋b-c）^2/（（a＋b）^2＋c^2）≥3/5 这道奥赛题是个热门题,很多人有过证明,但都过于繁杂,本推广证明简单并有一定的解题参考价值     

对一道伊朗奥赛题证法的指正

2007年伊朗数学奥林匹克有这样一道不等式证明题：设a、b、c是三个互不相等的正数．证明：｜a＋b/a-b ＋ b＋c/b-c ＋ c＋a/c-a｜〉1.     

一道数学奥赛试题别解

2006中国数学奥林匹克(第2天)第1题:在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,△ABC的内切圆O分别与BC,CA,AB相切于点D,E,F,连接AD,与内切圆O相交于点P,连接BP,CP,若∠BPC=90°,求证:AE AP=     

一道西班牙奥赛题的“姊妹”题

第31届西班牙数学奥林匹克有这样一道试题：