幂级数∑∞n=0anxψ(n)收敛半径的两种求法

幂级数sum from n=0 to ∞(a_nx~(φ~(n))收敛半径的两种求法 .     

用区间套定理研究Abel收敛域的存在性与唯一性

关于幂级数sum from n=0 to ∞(a_nx~n)收敛域的存在性与唯一性问题一般教科书都未给出详细的证明,给出证明的版本利用了确界定理使初学者感到困难,本文构造出一个闭区间列,利用闭区间套定理证明了收敛域的唯一性。形如sum from n=0 to ∞(a_nx~n)=a_0 a_1x_1 a2x~2 a_3x~3 …a_nx~n ……的函数项级数称为幂级数,为了研究其收敛域问题,我们重述一面的重要定理。     

sum from n=0 to ∞ a_n(bx+c)~(np+q)型幂级数的收敛半径的简捷求法

本文通过对赵树嫄教授主编的《微积分》关于求幂级数收敛半径一处笔误的讨论,得出关于sum from n=0 to ∞ a_n(bx+c)~(np+q)型幂级数收敛半径的简捷求法。     

对级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)的绝对收敛性的研究

对级数sum from n=1 to ∞(8nbn)的收敛性可用阿贝尔、犹利克雷判别法,而对其绝对收敛性却提文甚少;本文根据比较判别法直接研究级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)的绝对收敛性,并得出结果,用这结果判定了些级数的敛散性显得更加有效和方便。 一、定理及推论 1、定理:设sum from n=1 to ∞(a_n)是一无穷级数,{bn}是一序列。若序列{bn}有畀且级数sum from n=1 to ∞(a_n)绝对收敛,则级数sum from n=1 to ∞(a_nb_n)绝对收敛;若序列{1/bn)有界且sum from n=1 to ∞|a_n|发散,则sum from n=1 to ∞n|a_nb_n|发散。 证明:假设sum from n=1 to ∞(a_n)绝对收敛且{b_n}有界,则存在正数M,使得|bn|相似文献   

关于一个幂级数收敛定理的讨论

文[1]中有一个关于幂级数收敛的定理1,本文就此定理及其证明作如下讨论.定理1 (i)若级数sum from n=0 to ∞(a_nx~n(2))在x_0≠0收敛,则对满足|x|<|x_0|的任何x值级数(2)都收敛,且一致收敛.(ii)(略).证(略).     

狄里克莱级数的系数与指数的一种关系

本文主要是证明了在半平面ReZ>0收敛的狄里克莱级数sum from n=1 to ∞(a_ne~(-λ_nz))的系数级数sum from n=1 to ∞ a_n收敛的必要充分条件是S=α_1λ_1+α_2λ_2+…+αλ=0(λ).     

Legendre级数的积分定理

本文对P.Heywood研究的广义积分:integral from 0 to 1 (f(x)/(1-x)~W dx)进行了探讨。在莫叶、陈留琨、霍守诚、蒋润勃等人的研究基础上,将结果推广到:W=4,或4相似文献   

函数级数一致收敛的判别法

柯西一致收敛准则是我们判别函数项级数一致收敛的一个最基本准则。下面应用这个准则,仿照教材中正项级数判别法,对相应的一致收敛的判别方法加以研究。 命题1:设函数级数sum from n=1 to ∝|b_n(x)|在[a,b]上一致收敛,对x∈[a,b],有且U(x)在[a,b]上连续,则sum from n=1 to ∝ a_n(x)在[a,b]上也一致收敛。 证明:∵sum from n=1 to ∝|b_n(x)|在[a,b]上一致收敛。     

正项级数收敛的一个充要条件

译文[1]提供了级数绝对收敛的一个充要条件,即定理 (导数判别法) 设sum from n=1 to ∞ u_n为实数项的无穷级数,令f(x)是一实函数,对所有的正整数n,使得f(1/n)=u_n,且(d~2f)/(dx~2)在x=0存在,那末,如果f(0)=f'(0)=0,则sum from n=1 to ∞ u_n绝对收敛;反之是发散的。     

一道IMO预选题的简解

第二十九届国际数学奥林匹克竞赛有一道非常难的预选题: 命题 设a_i>0,β_i>0(1≤n,n>1),且sum from i=1 to n a_i=sum from i=1 to n β_i=π. 证明:sum from i=1 to n cosβ_i/sina_i≤sum from i=1 to n ctga_i　(1) （蒙古提供)     

构造柯西不等式,用取等号条件解题

我们知道,柯西不等式:a_i,b_i∈R,则sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2≥(sum from i=1 to n a_ib_i)~2……(1)当且仅当a_i=kb_i(i=1,2,…,n)不等式等号成立。它可以作如下变形: 由(1)得(sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2)≥sum from i=1 to n a_ib_i,添项变为sum from i=1 to n a_i~2 2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≥sum from i=1 to n a_i~2 2sum from i=1 to n a_ib_i sum from i=1 to n b_i~2,或sum from i=1 to n a_i~2-2 (sum from i=1 to n a_i~2 sum from i=1 to n b_i~2)~(1/2) sum from i=1 to n b_i~2≤sum from i=1 to n a_i~2-2 sum from i=1 to n a_i b_i sum from i=1 to n b_i~2,分别配方,并开方转     

用计算机求二类收敛级数和的近似值

用手工方法近似计算收敛级数的和往往十分繁琐,电子计算机具有计算速度快,精度高的优点,是用来求收敛级数的和的理想工具。由于级数sum from i=1 to ∞(a_i)的和一般只能用部分和S_n=sum from i=1 to n(a_i)来近似代替,因此关键是要确定达到给定的精度,必需计算到哪一项。也就是说,对预先给定的ε,n为多大时,余项R_n=sum from i=n 1 to ∞(a_i)能有|R_n|<ε。下面对二类收敛级数进行讨论。 一、求p级数sum from i=1 to ∞(1/i~p)(p>1)和的近似值     

用含参数的柯西不等式证一类竞赛题

含参数的柯西不等式: (sum from i=1 to n(a_ib_i))~2=[(sum from i=1 to n(λ_ia_i)·(b_i/λ_i)]~2≤(sum from i=1 to n(λ_i~2a_i~2)(sum from i=1 to n(b_i~2/λ_i~2),其中λ_i>0 (i=1、2、…、n)。     

级数1+sum from n=1 to ∞ C_a~nz~n在单位圆周|z|=1上的收敛性

本文讨论了级数1+sum from n=1 to ∞ C_a~nz~n在单位圆周|z|=1上的收敛性,并且推导出了一些有趣的无限和组合系数公式.     

交错级数的另一审敛法

对于交错级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n-1) an(an>=0)) 常见的审敛法是:莱布尼兹定理 如果交错级数满足条件:(Ⅰ)Un≥Un+1(n=1.2,3…);(Ⅱ) lim from x to ∞ Un=0则交错级数收敛。     

线性过程的精确极限定理

设{x},n=1,2,…,是线性过程,即对每一n,X_n=sum from j=0 to ∞ (g_j)Y_(n~-),这里{Y_j},j=0,±1,±2,…,是独立同分布随机变量列,已知在假设sum from j=0 to ∞(g_j)~2<∞下线性过程{X_n},n=1,2,…,满足中心极限定理,[1]在假设EY_0=0,EY0~2=1,sum from j=0 to ∞|g_j|=M_1<∞,|sum from j=0 to ∞(g_j|=M_2>0(Ⅰ)     

几类幂级数的求和公式

本文巧用幂级数逐项微分定理,给出了几类幂级数sun from n=1 to ∞ n(n 1)…(n m-1)x~n,sun from n=1 to ∞(x~n/(n(n 1)…(n m-1)x~n)及sun from n=0 to ∞(a nd)x~n的求和公式。     

级数部分解题错误分析举例

本文对同学们在级数部分解题中常易出现的问题进行分析,以帮助同学较好地掌握这部分的内容。例1.判断下列命题是否正确。“任何数项级数sum from n=1 to u_n存在余项r_n→0(n→∞)”。错解:∵r_n=S-S_n(?)r_n=(?)(S-S_n)=S-S=0∴命题正确。错误及原因:根据余项r_n的定义,S是级数sum from n=1 to u_n的和,而任何级数不均有和,所以余项仅对收敛级数有意义。对收敛级数来说r_n→0(n→∞)。     

关于无穷积分收敛的必要条件

我们知道,无穷积分(积分区间是无穷区间的积分)收敛性方面的理论,几乎是和无穷级数的相应理论互相平行的。这是因为无穷积分和无穷级数有着紧密的联系:一方面,对于给定的函数f(x),有integral from n=0 to+∞(f(x)dx)=sum from n=0 to+∞[integral from n=n to n+1(f(x)dx)]=sum fron n=0 to+∞(u_n).(1)其中u_n=integral from n=n to n+1(f(x)dx)(n=0,1,2,…);另一方面,给定级数sum from n=0 to+∞(u_n),我们可以造一个国数f(x)=u_n,n≤x相似文献   

任意项级数敛散性判别法

定理:任意项级数(1)收敛<==>交错级数sum from n=1 to ∞((-1)~(n+1)U_n)收敛。 证明:充分性 若sum from n=1 to ∞((-1)~(n+1)U_n)收敛,由收敛必要性和柯西收敛准则有 即当 当,对任意自然数P 有 取 对任意自然数P,设是中的一项,