对“数学归纳法证明不等式总是有效的”的思考

正关于不等式Σi=1nA(a_i0,A0),一般认为用数学归纳法证明很难奏效,甚至认为不能用数学归纳法证明,文[1]对此作了深入研究,指出用数学归纳法证明     

关于数学归纳法

为什么说数学归纳法是严格的科学的证明方法?数学归纳法的原理是什么?数学归纳法的证明过程为什么要有这样的规定格式?这些问题是笔者参与编写上海市高一数学新教材时常常思考的，希望本文能澄清数学归纳法教学中的一些模糊认识．     

巧构函数证明不等式

不等式的证明问题是高考和各种数学竞赛的热点问题之一.一般的证明方法有:运用均值不等式或柯西不等式;数学归纳法;放缩或裂项化成可求和(积)的数列证明和式(积式)等等.文[1]运用抽屉原理证明一些含有三个变元的不等式,文[2]介绍了一种构造不等式证明数列和式、积式的方法.阅读之后深受启发,本文对某些不等     

强化命题证明三类数列不等式

由于数列不等式与正整数有关,所以数学归纳法成为证明数列不等式的常用方法.但是,有些数列不等式直接用数学归纳法证明行不通,此时需对其进行放缩,以证明它的"加强不等式".下面就常见的三种类型进行分析.     

数列中涉及不等式证明的放缩技巧

在各地高考模拟卷和全国高考卷中经常出现与数列有关的不等式的证明题,其中有一类是与自然数”有关的,这类不等式常用的证明方法是运用数学归纳法或放缩法证明,有时还会用到二项式定理、数列知识,并结合一些基本不等式进行证明.当数学归纳法、比较法失效后,式子如何放缩成为了解决问题的焦点.本篇重点叙述这类不等式证明的放缩技巧,供广大师生参考.     

构造不等式证明两类与自然数有关的不等式

证明与自然数有关的不等式一般用数学归纳法,但数学归纳法步骤呆板僵化,过程繁琐冗长.若构造不等式来证明与自然数有关的不等式.则构思奇巧,过程简洁明了,令人拍案叫绝.而且本文所介绍的两类不等式的证明方法也有章可循.     

不等式证明中的数学思想

不等式的证明是不等式中的基本内容之一.证明不等式除了要用到一些数学方法(如比较法、分析法、综合法、反证法和数学归纳法等)外,还要运用一些数学思想.本文给出不等式证明中涉及的几种数学思想.     

构造数列的和或积证明不等式(高一、高二、高三)

一类与自然数有关的不等式证明题是高考的热点。常规证法是数学归纳法和放缩法等.但数学归纳法往往较繁;用放缩法时则盲目性较大.我们开拓另一途径.对于两个数列{an}与{bn}:(1)若ai0,bi>0时,若则有证明某些数列不等式时若能用此性质,往往可使过程简捷明快.     

巧构造 妙证题

求证(1 1)((1 1/3))…1 (1/(2n-1))>(2n 1) 这是1998年高考题中需证明的一个不等式,一般都是采用数学归纳法来证明的.但是,在新教材中,不要求会用数学归纳法证明不等式,那么如何证明这个不等式呢?     

真的不能使用数学归纳法证明吗

那么,真的不能使用数学归纳法证明吗？罗增儒教授在文[2]中针对于此类问题指出：“这么简单的不等式,威力强大的数学归纳法真的就无能为力了？到底是方法本身的‘功力不足’,还是我们‘使用不当’？”在此启发下,我们尝试着使用数学归纳法来证明这个不等式．     

用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策

数学归纳法是证明和正整数相关的不等式的最有效方法,其证明的关键是如何实现从"n=k时原不等式成立"(这个不等式不妨称之为"假设不等式")到"n=k 1时原不等式成立"(这个不等式不妨称之为"目标不等式")的过渡.本文介绍用数学归纳法证明不等式的若干技巧和对策,供大家参考.     

不等式证明的常用技巧

不等式的证明是高考数学的一个重要考点,它常与函数(导数)、数列或数学归纳法等进行交汇,且难度较大,如2006年高考数学江西卷理科第22题的第2问中的不等式的证明就要用到具有较高思维的“放缩法”．当然,只要掌握不等式证明的一些技巧,不等式的证明问题还是可以迎刃而解的．     

数学归纳法证明的技巧

数列不等式是高考的重要考点之一,常以压轴题的形式出现.如2006年、2007年高考数学江西卷的22题都是有关数列不等式的问题.由于数列与正整数有关,故而数列不等式常常利用数学归纳法来证明,但用数学归纳法证明时,在证k到(k 1)的过程中,往往要运用强化命题结论、转化命题条件等变形技巧.     

避开数学归纳法,谈数列不等式的证明

数列与不等式的交汇题做为高考中的一个热点题型,在各地的高考试题中出现的频率是相当高的.一涉及到数列与不等式的交汇问题,人们往往就会联想到数学归纳法.因为这一类型的题型与数学归纳法的应用特征太相近了:有了数列的因素就出现了自然数n;有了不等式的因素就时常伴随着不等式的证明问题出现.所以这类问题一旦在高考中出现了,考生们首先想到的就是如何用数学归纳法来证     

函数观点下的不等式证明

不等式证明是中学数学中的常见问题,在数学竞赛中更是经常碰到.常用的不等式证明方法有初等数学中的综合法(这里常常用到一些重要的不等式)、分析法、比较法和数学归纳法等,高等数学中常用的方法是利用函数的单调性、极大、极小值等方法.本文介绍构造     

用导数证明不等式的解题策略

不等式证明问题是高考数学的重点内容,也是难点内容,不等式证明的方法有很多,有数学归纳法、反证法、分析法、比较法等,还有一些不等式需要借助导数进行验证和推导．利用导数证明不等式,通过构造函数,将证明不等式的相关问题转化为借助导数来研究函数性质．对于这类型的解题思路和解题策略,高考数学学习和复习过程中应该加以重视,强化训练,     

几种类型的不等式证明

正不等式的证明题,无论它以什么形式展现,其常规的证明方法如下:利用函数的单调性证明;重要不等式证明;放缩法;数学归纳法等.不等式结构能提示我们做"最近选择",不等式证明的方法最适合证明什么类型的不等式,需要我们去整合.笔者提供几类案例,供参考.一、常数型不等式证明所谓常数型不等式,是指不等式一边是代数式而另一边是常数的     

数学归纳法·不等式·函数的单调性

2004年高考中,有两个省市的数学卷中, 最后一道把关题都考查了数学归纳法.而在用数学归纳法证明不等式时,又不约而同地用了函数的单调性.数学归纳法,不等式,函数的单调性,结合得如此协调完美,给我们留下了深刻的印象.     

数学归纳法受阻时的处理策略

数学归纳法是一种证明与自然数有关的命题的重要方法．用数学归纳法证题的主要困难在于第二步,因由n=k时命题成立去证n=k 1时命题也成立往往需要一些技巧．有些命题用数学归纳法证明受阻时,只是由于我们使用方法不当,若能采取恰当的策略,数学归纳法就能顺利进行．下面以不等式的证明为例,给出数学归纳法受阻时的几种处理策略．     

数学归纳法题例析

Ⅰ.命题趋势数学归纳法在高考试题中,常以解答题形式出现,主要有证明不等式、证明恒等式、求数列通项公式、数列求和等几方面的应用.数学归纳法单独考查的情况较少,而经常出现在与自然数有关的命题中,多以伴随着数列的通项或前n项和而出现数学归纳法的证明,这也是高考所考查的热点之一.此外,凡是与自然数有关的知识都可能成为与数学归纳法结合综合考查的内容.数学归纳法的考查隐蔽,主要突出数学意识的考查,即解题方法的寻找将是“问题解决”的突破口.值得注意的是,将数学归纳法与一些探索性的问题综合起来出现了一些非常新颖的题型.Ⅱ.解题…