探求错因,消除隐患

题目:设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=3~(1/3)/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是7~(1/7),求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于7~(1/7)的点的坐标. 这是一道高考题,当年不少同学的解法是这样的:依题意,作圆x2+(y-3/2)2=7,与椭圆方程联立;消去x,得     

判别式应用中的一个问题

题1（1990年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率为√3/2，已知点P（0，3/2）到此椭圆上的点最远距离是√7，求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点P的距离等于√7的点的坐标．     

错误的解答正确的结论

例1设椭圆的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=(√3)/2,已知点P(0,3/2)到这个椭圆上的点的最远距离是(√7),求这个椭圆方程.(1990年全国高考题)     

抓住问题本质 使用通解通法

题1（1990年全国高考题）设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴 ,离心率为,已知点P（0, ）到此椭圆上的点的最远距离是√7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于√7的点的坐标。     

构圆求最远（近）点问题不可靠

贵刊2003第12期文《构造辅助圆解高考圆锥曲线问题》中的例6的解法实属碰巧,不可仿照,现抄录如下: 例6 (1990年高考题)设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率3/2e=,已知点(0,3/2)P到这个椭圆上的点的最远距离是7,求这个椭圆的方程. 解 因为3/2e=,所以可设椭圆的方程22     

究竟是方法错了,还是错用了方法?——一道圆锥曲线最值问题解法的纠错之旅

1试题回放 在高三的一堂解析几何复习课上,笔者出示了一道全国高考题供学生练习:设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率为√3/2,已知点P(0,3/2)到此椭圆上的点的最远距离是√7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上到点P的距离等于√7的点的坐标. 这类问题的常规解法是利用两点间距离公式建立目标函数,通过消元转化为含参的一元二次函数最值问题或利用椭圆的参数方程将其转化为含参数的三角最值问题来求解.     

错在哪里

已知椭圆3/7x~2 y~2=1及点P(1,0),过 P 的直线l 交 y 轴于 Q 点,交椭圆于 A、B 两点,设 AP 在线段 BQ上,且|AQ|=|BP|,求 l 的方程.这道题是九七年成人高考理科试卷第26题,以下给出几种典型错误解法,你能指出它们错在哪里并加以订正么?     

一道圆锥曲线过定点问题的探究

1.问题来源福建省2008届高中毕业班质量检查数学理科第21题:以F_1(0,-1)、F_2(0,1)焦点的椭圆C过点P(2~(1/2)/2,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过点S(-1/3,0)的动直线l交椭圆C于A、B两点,试问:在坐标平面上是否存在一个定点T,使得无论l如何转动,以AB为直径的圆恒过点定T?若存在,求出点T的坐标,若不存在,请说明理由.本题是一道背景朴素、意境幽美、综合性很强     

95年高考理科第26题的两种简捷解法及规律

95年高考理科第26题是: “26.已知椭圆C:x~2/24 y~2/16=1直线l:x/12 y/8=1。P是l上一点,射线OP交椭圆于点R,又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|~2。当点P在l上移动时,求点Q的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。”     

对一道解析几何试题的探究

1 试题及其解答 (2016年高考四川理第20题)已知椭圆E:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的3个顶点,直线l:y=-x+3与椭圆E有且只有一个公共点T. (Ⅰ)求椭圆E的方程及点T的坐标; (Ⅱ)设O是坐标原点,直线l'平行于OT,与椭圆E交于不同的两点A,B,且与直线l交于点P.证明:存在常数λ,使得| PT|2=λ|PA|·|PB|,并求λ的值.     

必须比较 决定舍取

《中学数学教学》“1984年第二期问题解答”栏中有这样一题:“在椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1上求一点 P,使到直线 l:mx+ny=t 的距离最小,并求这个最小值。”原解答首先用综合法,根据过椭圆上一点 P 的切线是△F_1PF_2的过 P 点的外角平分线这一几何性质定出 P 点,然后用代数法,解出 P 点的坐标:(?),从而得出 P 点到直线 l 的距离是:RS=|(m~2a~2+n~2b~2)~(1/2)-t|/(m~2+n~2)~(1/2)。我们认为,这是欠妥的。首先从几何观点来看,从 F′引直线 l的垂线与⊙O 应有两个交点 R 和 R′,因此椭     

从学生的错解引出的一节课

在一次解析几何复习课上,给出了这样一道例题(1990年全国高考题)。例1 设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e=3~(1/3),已知点P(0,3/2)到这个椭圆上     

《数学通讯》问题219的准确最值

<正>问题219[1]求点P(23^(1/2),2)到椭圆x(1/2),2)到椭圆x²/3+y2/3+y²=1上的点的距离的最小值.文[2]指出:该问题距离的最小值存在,虽不能求出其准确值,但可求出其近似值,其近似值为2.46501,此时椭圆上的点的坐标近似于(1.563435,0.430376).事实上,这个近似值是正确的,但一定不能求出其准确值么?其实这个准确值是可以得到的,虽然     

题库(十二)

1.已知椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)与直线x y-1=0相交于A,B两点,椭圆的离心率为e.(1)当椭圆的右准线方程为x=3.且e=3~(1/2)/3时,求AB的长度及AB中点的坐标;(2)当3~(1/2)/3≤e≤2~(1/2)/2.且(OA|→)·(OB|→)=0(O为坐标原点)时,求椭圆长轴长的取值范围.2.设a∈R.函数f(x)=e(?)/2(ax2 a 1).其中e是自然对数的底.     

一个“质疑”引发的实验探究

在高三的一次课上，笔者先点评了作业中的一道题，该题是2010年江苏省高考第18题． 题目在平面直角坐标系xOy中，如图1，已知椭圆等x^2/9＋y^2/5=l的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（xl，y1）、N（x2，v2），其中m〉0，yl〉0，y2〈0．（1）设动点P满足PF^2-PB^2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=1/3，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过X轴上的一定点（其坐标与m无关）．     

一类(泛)阿基米德三角形的面积何时取最小值?

<正>从某知名资源网站上搜索到一道新题——例1(2015年河北省高三竞赛末题)已知椭圆C:x²/2+y2/2+y²=1及点P(1,1/2),过点P作直线l与椭圆C交于A、B两点,过A、B两点分别作C的切线交于点Q.(1)求点Q的轨迹方程;(2)求△ABQ的面积的最小值.第(1)小题的类似题目较多,该网站也提供了     

一道"平几"与"解几"知识交融的新题

2005年上海市高考春招第22题: (1) 求右焦点坐标是(2,0),且经过点(-2,-2)的椭圆的标准方程; (2) 已知椭圆C的方程是x2/a2 y2/b2=1(a＞b＞0).设斜率为k的直线l,交椭圆C于A、B两点,AB的中点为M.证明:当直线l平行移动时,动点M在一条过原点的定直线上;     

对一道习题的解的看法

科学出版社出版的《中学数学习题集》第三册第279页56题,是一个椭圆上求过短轴顶点的弦长最大值问题。该题对于应用二次函数特征求解析几何中的某些最值问题,无疑是有帮助的,但后面给出的解法却有不妥之处。原题及解法如下: 过点B(0,-b)作椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(a>b>0)的弦,求这些弦的最大值。解:设M(x,y)是椭圆上的任一点,则|BM|~2=x~2+(y+b)~2=x~2+y~2+2by+b~2①     

一道与平行有关的解析几何模拟题解法探究

<正>1.问题呈现图1(2022年常州市高三期末考试第22题)如图1,已知椭圆C:■的左焦点坐标为F(-2,0),离心率■.点A是椭圆上位于x轴上方的一点,点B(1,0),直线AF、AB分别交椭圆异于A的点M、N.(1)求椭圆C的标准方程;(2)若直线MN平行于x轴,求点A的横坐标.本题关键词是平行,题干简洁,内涵丰富,通过探究发现解法多样,     

从1989年数学高考试题中获得的一点启示

全国、上海、广东的1989年数学试题中涉及形象思维的内容较多,现摘其有代表性的作一些分析如下: 一、全国(文史类)第24题。给定椭圆:(x~2/b~2)+(y~2/a~2)=1(a>b>0),求与这个椭圆有公共焦点的双曲线,使得以它们的交点为顶点的四边形面积最大,并求相应的四边形的顶点坐标。 [分析] 如图1,设所求双曲线方程为 (x~2/α~2)-(y~2/β~2)=-1。