一道2013年甘肃省预赛试题的解法、源头及推广

1 试题及解法 例1如图1,抛物线y2=2px（其中P〉0）的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的2个动点,且满足∠AFB=120°过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则｜MN｜/｜AB｜的最大值为___.     

一道2013年波罗的海奥赛题的推广

（2013年波罗的海奥林匹克数学竟赛）已知x,y,z,是正数,求证（x³/y²+z²）+)（y³/z²+x²）+（z³/x²+y²）≥（x+y+z/2）。本文给出它的推广:已知n个正数:a₁,a₂,a₃…a_n,求证:(a₁ⁿ/a₂^n-1)+(a₂ⁿ/a₃^n-1+a₄^n-1+…a_n^n-1+a₁^n-1)+…+(a_n-1ⁿ/a_n^n-1)+(a₁^n-1+a₂^n-1)…+(a_nⁿ/a₁^n-1+a₂^n-1…a_n-1^n-1)≥（a₁+a₂+…+a_n/n-1）.     

巧用三角代换 简证一道竞赛试题

正赛题(第四届北方数学邀请赛试题)已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求使(a~3+b~3+c~3)/(abc)≥k成立的k的最大值.文[1]利用加拿大第一届数学竞赛题:已知a,b,c为直角三角形的三边长,其中c为斜边长,求证:a+b≤2c~(1/2).给出以下证明:     

椭圆中与角有关的离心率求法

正圆锥曲线的离心率是描述圆锥曲线形状的重要参数,也是当前高考考查的一个热点。特别是与角有关的离心率问题,题目灵活多变,技巧性强,所以在学习过程中我们要善于总结,掌握求解此类问题的技巧和方法。     

一类竟赛试题的解法探索与结论推广

在一次高中数学竞赛选拔赛中,有这样的一道试题:题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c,a≠0在区间[0,2]上满足1≤f(x)≤2,求a的最大值,并写出a取得最大值时的一个函数表达式.由题1联想到2010年全国高中数学联赛中的第9题:     

对一道自主招生试题的再思考

正~~     

由一道高考试题引发的思考

<正>题目(2013年全国高考大纲卷数学理科试题)椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2,点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是().A.[1/2,3/4] B.[3/8,3/4]C.[1/2,1] D.[3/4,1]解析:设P点坐标为(x,y),可得直线PA2的斜率k2=y/x-2,直线PA1的斜率k1=y/x+2.因为P点在椭圆上,可得     

例析双曲线的定义在解题中的应用

<正>双曲线有两种定义:双曲线的第一定义是指双曲线上任一点到两焦点F1,F2的距离之差的绝对值为常数2a(2a<|F1F2|);双曲线的第二定义是指双曲线上任一点到焦点F的距离和到与F相对应的准线的距离之比为常数e(e>1)。灵活应用双曲线的两种定义,对于解决双曲线上的点与焦点的距离有关的问题,往往会收到事半功倍的效果。现举例说明,供同学们参考。     

一道高考题的解法探究

题目:(2013年全国新课标Ⅰ卷文16题)设当x=θ时,函数f(x)=sinx-2cosx取得最大值,则.解法1:利用辅助角公式辅助角公式:asinθ+bcosθ=     

一道高考试题的解法赏析

正题目:(2014年辽宁理科卷第16题)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0且使|2a+b|最大时,3/a-4/b+5/c的最小值为.点评:本题主要考查最值求解的基本策略,常规做法是利用函数思想来变形与把握,其间运用到函数与方程,不等式等基本性质,是一道入口较宽,做法多样,同时又能很好区分不同思维层次的好题目,当然本题中由于     

一道高考试题推广的类比

引题（2012年高考福建卷·理19）如图,椭圆E:x²/a²+y²/b²=1（a>b>0）的左焦点为F₁,右焦点为F₂,离心率e=1/2·过F₁的直线交椭圆于A,B两点,且△ABF₂的周长为8.（Ⅰ）求椭圆E的方程;（Ⅱ）设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且仅有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出M的坐标;若不存在,     

一道2014年山东高考压轴题的推广及背景分析

题(2014山东理21)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.(i)证明     

一道三角题的引申

题目已知sinαcosβ=-1/2,求cosαsinβ的取值范围.引申1已知sinαcosβ=α,cosαsinβ=b,则|a|+|b|≤1,当且仅当sin~2α+sin~2β=1时等号成立.证明|a|+|b| =|sinα||cosβ|+|cosα||sinβ|≤(sin~2α+cos~2β)/2+(cos~2α+sin~2β)/2=1,     

欧拉不等式在多边形中的推广

正欧拉在1765年给出关于三角形的外接圆半径R与内切圆半径r的著名不等式R≥2r.近年来,不少文章对这个不等式进行探讨,如文[1]、[2]、[3]、[4],但是这些都是基于三角形下进行的.本文针对具有外接圆和内切圆的多边形,推广出其外接圆半径R与内切圆半径r具有如下关系:R1cos(πN)×r其中:N表示多边形的边数.假设具有外接圆和内切圆的多边形为N边形;该N边形的边长分别为:d1,d2,…,dN;且各边所对应的外接圆的圆心     

一道不等式问题的解法探讨

问题已知a,b∈R~+,x,y∈R,且a+b=1,求证:ax~2+by~2≥(ax+by)~2.解法1作差比较简单明了ax~2+by~2-(ax+by)~2=ax~2+by~2-a~2x~2-b~2y~2-2abxy=a(1-a)x~2-2abxy+b(1-b)y~2=ab(x~2-2xy+y~2)=ab(x-y)~2≥0.解法2代换在前作差在后因为a+b=1,令T=(a+b)(ax~2+by~2)-(ax+by)~2=abx~2+aby~2-2abxy=ab(x-y)~2≥0.评析"作差法"是证明不等式的一种最基本的方法,巧用作差法是我们解决不等式证明问题的一种行之有效的途径,如果应用得恰当,能切中要害,问题     

一道第三届世界数学锦标赛团体赛试题的研究

正题目已知α,β,γ∈(0,π/2),且sin~2α+sin~2β+sin~2γ=1,求sinα+sinβ+sinγ/cspα+cosβ+cosγ的最大值.这是一道第三届世界数学锦标赛(青年组)团体赛的第8题,本文先给出问题的解,然后从一题多变的角度给出问题的多种变式,给同学们参考.     

从一道竞赛题的解法谈起

一、题目展示（2012年高中数学联赛第5题）在△ABC中,AB·AC=7,|AB-AC|=6,求S_△ABC的最大值.点评:本题以向量形式呈现,融向量与三角于一体,考查的是三角形的面积最值.本题看起来很平常,实际上却丰富多彩,有很大的教学价值和研究空间.二、解法分析常规解法:如图1,由|ABAC|=6,得a=6,由AB·AC=7得