几道课本习题的推广及应用

新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ …     

一道常见题目的向量解法及引申

在各种资料上常会见这样一道题目:已知χ+y+z=1,求χ2+y2+z2的最小值.常规解法是: 解∵χ+y+z =1, ∴χ2 +y2 +z2 +2χy+2χz+2yz =1. 又 2χy ≤χ2 + y2,2χz ≤χ2 + z2,2yz ≤ y2 + z2, ∴ 1 ≤3(χ2 +y2 +z2),即χ2 +y2 +z2 ≥ 1/3.     

解析几何考前冲刺题

1.直线4x+3y=40与圆x2+y2=100的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.无法确定2.经过点M(2,1)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程是A.姨2x+y-5=0B.姨2x+y+5=0C.2x+y-5=0D.2x+y+5=03.直线y=x-1上的点到圆x2+y2+4x-2y+4=0的最短距离为     

一堂数学课

复习课上 ,老师在黑板上写下 :已知 :a=1996x+ 1995,b=1996x+ 1996 ,c=1996x+ 1997.求 :a2 +b2 +c2 -ab-bc-ac的值 .凭着多年的教学经验 ,胸有成竹地启发道 :要想求得a2 +b2 +c2 -ab-ac -bc的值 ,肯定要借助已知条件 .大家看 ,已知条件怎样用最简单 ?谷静 :最好是出现a、b、c两两相减的形式 .老师 :我也这样认为 .怎样才能将所求代数式转化成a、b、c相减的形式呢 ?(同学们在老师的引导下 ,配方得 a2 +b2 +c2 -ab-ac-bc=[(a-b) 2 + (a-c) 2 + (b-c) 2 ]÷ 2 =( 1+ 1+ 4 ) ÷2 =3 )网琳 :想得到a、b、c相减的形式 ,没必要配成三个完全平方式 ,…     

一品红离体培养中2,4-D对诱导芽分化的影响

由大戟科大戟属多年生灌木一品红 (Euphorbiapulcherrimawilld)幼叶诱导形成的愈伤组织 ,在MS +NAA 0 .5mg .L-1(以下单位相同 )的培养基上培养 10— 15d后的愈伤组织 ,在光照下植于MS +ZT1.0 +NAA0 .1培养基上培养 ,芽分化率为 6 6 4 %。愈伤组织先在MS +2 ,4 -D1.0的培养基上预培养 2 0d ,再转入MS +ZT1.0 +NAA0 .1的培养基上培养 ,芽分化率明显提高 ,分化率为 89 3% ,但是在仅有 2 ,4 -D的培养基上培养未见芽形成     

天津市2002-2003学年度数学学科竞赛决赛试题

一、用简便方法计算下面各题。《本大题有4小题,每小题4分,共16分〕 1 .32.14+64.28x0.5378x0.25+0.5378x64.28x0.75一8x64.28x0 .1 25x0.5378 2.1 .1+3.3+5.5+7.7+9.9+1 1.11+13.13+15.15+17.17+19.193 .42x(李+上+丰+上+廷一+奥 吕24 45 SU IZU 16吕 4.(2(洲〕3x3(刃2.3(幻2+2(X)3.2(刃3x3吸刃2)干2.心XK)2 二、填空题。《本大题有12小题.每小题4分,共48分) 5一个长方形面积是28平方米,如果再拼接一个面积是21平方米的长方形,就组成一个正方形,那么面积是28平方米的长方形的长比宽多()米。 6下面的加法竖式中,不同的汉字代表不同的数…     

这道题还是用均值不等式来解好

题　已知a、b、c,x、y、z是实数 ,求a2 +b2 +c2 =1,x2 + y2 +z2 =9,求ax+by +cz的最大值 .该题是常出现在一些课外资料及杂志上的题目 ,学生在解题时往往用均值不等式来解 ,但由于忽视了a2 +b2 +c2 ≠x2 + y2 +z2 而导致解题错误 .为此 ,一些杂志上采用柯西不等式来进行求解 ,但学生对柯西不等式知之甚少 ,若用这种方法 ,学生难以掌握和理解 ,而且也不符合大部分学生的实际情况 .笔者认为 ,在解题中只要对该题的已知式进行适当的变形 ,仍可用均值不等式来解 ,现分析解答如下 :分析　该题的问题是由于a2 +b2 +c2 ≠x2 +y2 +z2 而导致不能用均…     

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

一个不易察觉的错解

题目 已知:x3+错解z3+≯1= =(z+去)[(_,+去)。一3] =(z十三”)。一3(z+去). 令z+去=∥,则z3+≯1=2可化为∥3—3y=2. 整理并分解因式,得(y+1)。(y一2)=o. (*) 解得Y=一l,或Y=2. 1 1 即z斗三=一l,或.1+上=2. 剖析 以上两个结果中,_,斗』:2是正确的(当z:1时取得),而z十上:一1是错解.假设z+上:一1,则得 z。+3C+1=0,因A=l。一4=一3<0,方程无实解,即在实数范围内.r+』:一1不能成立.所以z十』:一1是增解,应舍去. 此外,对于本题,下述解法可避免增解的产生. 为了避免在解题中出现这类错误.笔者认为在求代数式的值时.值,的上,●一z } L.1●J z 一 …     

平均值不等式之间“间距”大小的探究

在中学数学教学研究的期刊上常出现下述平均值不等式: 设以a,b∈(0,+∞),则a2+b2/a+b≥√a2+b2/2≥a+b/2≥√ab≥2ab/a+b. 本文将给出这五个平均值不等式之间的“问距”大小关系. 命题 设a,b∈(0,+∞),记△1=a2+b2/2-√a2+b2/2,△2=√a2+b2/2-a+b/2,△3=a+b/2-√ab,△4=√ab-2ab/a+b,则△3≥△1≥△2≥△4.等号当且仅当a=b时成立.     

代数式(之七)

代数式之3:练习 1.三位自然数的百位上的数字是x,十位上的数字是O,个位上的数字是5. (l)用a的代数式表示这个三位数; (z)根据公式(a+b)2,写出这个三位数的平方的表达式; (3)现察(2)的结果有什么规律?然后根据这个规律直接写出以下三个平方数的结果: 2052;3052;8052. 2.各设计一个图形,分别说明以下的等式: (l)(m+。)(a十b)=、+赫+、+动; (2)(m+n)(m一n)=mZ一nZ; 3.计算(a一b)“一(a3一b3)+3ab(a一b). 4.当m~854,n一848时,求下面代数式的值: m3一3mZn+2n2(m一n)+mnZ十n3. 5.将下面的代数式写成最简单的形式: (l)9一6a+aZ=; (2)l+3x+3x2+x3…     

简证一道竞赛题

第31届西班牙数学奥林匹克第2题:证明:如果(x+x2+1)(y+y2+1)＝1,那么x+y＝0.本刊2001年第4期P16给出了上题的一种证法,现给出更简捷的证法.     

巧用对称性解题

在高三一轮复习中,发现在一些利用对称性的经典例题处理上,大多数学生不很流畅,现整理出来,希望对高三一轮复习起到促进作用.例1已知函数f(x)=ax2+bc+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a__=.解析本题,我们注意到函数是偶函数,其前提条件是:定义域关于原点对称,故有a-1=-2a,得到a=1/3.例2已知函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若f(2a2+a+1)相似文献   

因式分解中的变换技巧

因式分解的方法很多 ,灵活性大 ,因此 ,同学们在牢固掌握课本上所介绍的 4种基本方法的基础上 ,还需掌握如下的一些技巧 .1　拆项、添项例 1　分解因式x2 y2 -x2 -y2 -4xy +1.分析 :本题难于直接应用 4种基本方法进行分解 .然而 ,经观察不难发现 ,只要将 -4xy拆成 ( -2xy -2xy) ,分组后 ,便可利用公式法分解 .解 :原式 =(x2 y2 -2xy +1) -(x2 +y2 +2xy)=(xy -1) 2 -(x +y) 2=(xy +x +y -1) (xy -x -y -1) .例 2　分解因式x4+4 .分析 :只须添上 4x2 和 -4x2 ,即可利用公式 .解 :x4+4 =x4+4x2 +4 -4x2=(x2 +2 ) 2 -( 2x) 2=(x2 +2x +2 ) (x2 -…     

多角度探究一道数学题

<正>数学教师在数学课堂上应该注重培养学生的数学思维能力,培养学生的发散思维,这样更有利于培养和提高学生的数学能力.下面是笔者在一次数学习题课上用到的一个题目,课上给出如下八种解法.题目设实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,求mx+ny的最大值.     

求分式函数y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域应注意的一点

本刊84年第3期上登载了陆幼芳同志题为《y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的值域求法的一点注记》一文.读后受到一定的启发,同时又感到文中只谈到这个问题的一个侧面,本文将全面分析此类问题.我们首先想到分式(ax~2+bx+c)/(mx~2+nx+p)(a、m不同时为零)能否化简,这又决定于ax~2+bx+c和mx~2+nx+p是否有公共根,因此想到要分下面三种情况进行分析.     

Weisenbck不等式的简证

Weisenb ck不等式 :设△ABC的三边长和面积分别为a、b、c和S .则有a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 1:a2 +b2 +c2 ≥a2 +12 (b +c) 2=32 a2 +12 [(b +c) 2 -a2 ]≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ]a2≥ 3· [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] .而S =14 [(b +c) 2 -a2 ] [a2 -(b -c) 2 ] ,所以 ,a2 +b2 +c2 ≥ 43S .证法 2 :设ma、ha 分别为边AB上的中线长和高 ,易知ma=12 · 2b2 +2c2 -a2 ,ma≥ha.则有a2 +b2 +c2=12 [3a2 +( 2b2 +2c2 -a2 ) ]≥ 3a 2b2 +2c2 -a2 =2 3ama≥ 2 3aha=43S .因此 ,原不等式成立 .Weisenbck不等式的简证@张延卫$江苏省宿迁市…     

解析一道2005年上海市高考压轴题

2005年上海市高考化学试题的压轴题,落在了与环境保护有关的工业尾气处理上,设计巧妙,难度不大,代表了新课程标准体系上的出题方向.例1(2005年上海市高考试题第31题)硝酸工业生产中的尾气可用纯碱溶液吸收,有关的化学反应为:2NO2+Na2CO3=NaNO2+NaNO3+CO2↑①NO+NO2+Na2CO3=2NaNO2     

环F_p+vF_p上线性码的深度谱

本文主要研究了环Fp+v Fp上线性码的深度分布和深度谱.利用环Fp+v Fp到Fp加群的两个同态映射和环Fp+v Fp上线性码的生成矩阵,得到了环Fp+v Fp上型为p2k1pk2pk3的线性码的深度谱的范围.     

一个平面几何公式的姊妹公式

文 [1 ]给出了如下平面几何公式 :r =r1+r2 -2r1r2h .其中 ,P为△ABC的BC边上一点 ,h为BC边上的高 ,r ,r1,r2 分别为△ABC、△ABP和△ACP内切圆半径 .我们得到定理　设P为△ABC的边BC上一点 ,h为BC上的高 ,R ,R1,R2 分别为△ABC、△ABP、△ACP的外接圆半径 ,CA =b ,AB =c ,则R =(b +c) (bR1+cR2 )4h(R1+R2 ) . ( )证明 :由正弦定理 ,AP =2R1sinB =2R2 sinC ,设BC =a而sinB =b2R,sinC =c2R,因此R1+R2 =AP2 ( 1sinB+1sinC) =R(b +c)bc ·AP=R(b+c) sinAah ·AP=R(b+c)· AP2Rh=b +c2h (R1sinB +R2 sinC)=b +…