关于Carathéodory不等式的注记

最大模定理是正则函数的一个重要性质,它叙述如下:设函数f(z)在闭围线C的内部为正则,并连续到C上,如果|f(z)|在C的上界为M,则不等式|f(z)|≤M对C内的任一Z都成立。又若对C内某一点Z,有|f(z)|=M,则f(z)恒为常数。 这定理给出了区域D内的正则函数,若它连续到D的边界C时,则f(z)在D内的模可以由它在边界上模的最大值M所控制。     

正则函数唯一性定理的另一证明

设f(z)在区域D内正则,Z_n(n=1,2,…)是f(z)的零点,若点集{Z_n}_(n=1)~∞有一个极限点a∈D,则f(z)在D内恒为零。这就是正则函数的唯一性定理。它是正则函数的一个基本性质,对此也有多种证明方法。下面我们把它作为孤立奇点和最大模定理的应用给出另一种证明。     

关于Liouville定理的讨论

Liouville定理是复变函数论中一个重要定理,在讲好Cauchy积分定理和Cauchy积分公式两个基本定理后即可得到。该定理的叙述和证明如下: Liouville定理 设f(z)为整函数(即为对Z的所有有限值为正则的函数),若f(Z)有界(设界为M),则f(Z)必为常数。     

“三线定理”及Hadamard“三圆定理”新证

“三线定理”和Hadamard“三圆定理”是函数论中极为重要的两个定理,在很多文献中给予了证明,但其证明单一繁琐且不易接受,对三线定理一般要借助于Phragmen——Limdelōf定理(因此不少人称该定理为Phragmen——Limdelōf定理的推论),对Hadamard三圆定理要先构造函数φ(Z)=Z~λf(Z),然后利用最大模原理。本文分别给出这两个定理的两种证明,且证明较简洁。     

从一道试题谈起

前几年有一道高考试题:设0为复平面内的原点,Z_1和Z_2是两个动点,且它们对应的复数辐角分别为定值θ和-θ(0<θ<π/2),△OZ_1Z_2的面积为定值s。求△OZ_1Z_2的重心Z所对应的复数模的最小值。此题虽难度不大,但涉及知识面广,比较灵活,有新意。若借此题以发挥,则对启发学生思维是有好处的。例如改变题目的要求,求△OZ_1Z_2的重心Z的轨迹方程。     

函数F(Z)=integral from n=Z_1 to Z(f(ξ))dξ的两个性质

设f(Z)是区域D内的解析函数,,当积分不能用初等函数表示时,往往不宜直接对函数F(Z)进行讨论,因此,我们试图通过考察被积函数f(Z)来了解函数F(Z)的有关性质。首先,借助这一方法探讨一下F(Z)在区域D内的单值解析性。 引理:(参看[3])设D是复平面上的区域,函数f(Z)在区域D内连续,并且f(Z)沿D内任意一条闭曲线的积分等于零,则     

多元函数极值的方向导数判别法

作为多元函数方向导数的应用,我们来探求多元函数极植的方向导数判别法。 首先给出多元函数在可微点取极值的必要条件 定理:设f(p)是R~2中的实函数,且f(p)在点P_0可微,若f(p)在点P_0取到极值,则f(p)在点P_0的任何方向导数均为零。     

应用微分中值定理证明不等式

本文着重说明应用微分中值定理证明不等式时,函数f(x)的选取方法,介绍一些用初等数学方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式,而用微分中值定理可以简捷地解决的情形,其中关键是要选择好函数f(x)。微分中值定理是:“若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得 f′(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)”。用微分中值定理证明不等式的主要依据是选定符合微分中值定理条件的函数f(x)后,若在所讨论的区间内有m相似文献   

全纯Besov空间的一个特征

对单位圆盘D上的全纯函数所构成的Besov空间B_p,本文证明了如下的定理定理 设1-1,f在D上全纯.(1)若0相似文献   

微分中值定理的教学体会

微分学中,费尔马(Fermat)定理、罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理因为都涉及导数在给定区间内的一个中间值,因此把这些定理叫做微分学中值定理。它们是微分学的理论基础。 费尔马定理 若函数f(x)在点x_0的某邻域U(x_0,δ)内有极值,且在点x_0可导,则f(x_0)=0,它的几何意义是如果曲线y=f(x)在点x_0处具有极值且有切线,则切线必为水平的。由费尔马定理可以导出下面的罗尔定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且有f(a)=f(b),则在(a,b)内至少有一点ξ,使f(ξ)=0。     

数学分析中不等式证明的常用方法浅探

不等式的证明是数学分析中经常遇到而且比较困难的问题,本文将对数学分析中不等式证明的常用方法作简单的归纳与总结。一、利用函数单调性证明不等式这是最常用最基本的方法。由文[1]定理7.1,若函数.f在(a,b)可导,则.f在(a,b)内递增(递减)的充要条件是f'(x)≥0(f'(x)≤0),x∈(a,b)。特别地,设函数f在(a,b)内可异,若f'(x)>0(f'(x)相似文献   

一类三角函数的最小正周期

我们熟悉了g(x) =Asin(ωx φ) B的最小正周期T =2π｜ω｜,那么｜g(x) ｜的最小正周期呢 ?定理 1　已知f(x) =｜Asin(ωx φ) B｜ ,A、B、ω、φ为常数且A、ω≠ 0 .1.1　若B =0 ,则f(x)最小正周期为T =π｜ω｜;1.2　若B≠ 0 ,则f(x)最小正周期为T =2π｜ω｜.定理 2　已知f(x) =｜Acos(ωx φ) B｜ ,A、B、ω、φ为常数且A、ω≠ 0 .2 .1　若B =0 ,则f(x)最小正周期为T =π｜ω｜;2 .2　若B≠ 0 ,则f(x)最小正周期为T =2π｜ω｜.定理 3　已知f(x) =｜Atan(ωx φ) B｜ ,A、B、ω、φ为常数且A、ω≠ 0 ,则f(x)最…     

形异实同“琴生”更好

文[1]介绍了定理"已知函数f(x)在区间I上可导,x0∈I,若f(x)在区间I上为下凸函数,则f(x)≥f(x0)(x-x0)+f(x0);若f(x)在区间I上为上凸函数,则不等号反向."并利用它来证明一类对称不等式.事实上,当函数f(x)在区间I上可导时,定理中的不等式与琴生不等式等价,且这类对称不等式用琴生不等式证明更显简洁、高效.     

Schwarz引理的一些推广

Schwarz引理是复变函教论中一个很重要的引理,它在研究复变函数的几何理论方面有广泛的应用。关于这个引理,不同书上有不同的表述形式,归纳起来,大致有以下三种: 表述形式Ⅰ[1]:设f(Z)为一解析函数,它在|Z|≤R时正则,又在|Z|=R上有|f(Z)|≤M,并且f(0)=0,则     

复数在证明实数不等式中的应用举列

在本文中,我们将把复数的模的一些基本性质应用到实数不等式的证明中,对于一些较为复杂的不等式给出简单的证明. 记号说明:英文字母Z,Z_1,Z_2…等表示复数,R eZ表示Z的实部,ImZ表示Z的虚部,|Z|表示Z的模,Z表示Z的共轭复数. 首先将复数模的一些基本性质列举如     

浅谈周期函数

一、周期函数 设函数f(x)的定义域为数集A 定义1,若存在T>0,对任意x∈A且x±T∈有: f(x±T)=f(x)则称函数f(x)为周期函数,T称为函数f(x)的周期。 定义2,对于周期函数y=f(x),如果存在一个最小正数Z,能使x取定义域中的任意值时,等式f(x±Z)=f(x)恒成立,那么这个最小的正周期Z称为函数f(x)的周期,亦称基本周期。 充分理解这两个定义的实质,必须弄清以下几个问题: (1)若要证明一个函数y=f(x)是周期函数,必须严格证明它符合定义的条件,即找到非零常数T,使f(x=T)=f(x)。     

有关一个整系数多项式环定理的矩阵证明

本文旨在 :(1)用有理数域多项式矩阵证明以下定理 :设Z代表整数环 ,Z[　 ]代表整数系数多项式环 (我们简称整系数多项式环 ) ,定理 :设f1;f2 ;…fn 是Z[x]中一组 (n个 )元素 ,d是它们的最大公因式 ,则Z[x]中一定有一组相应的元素q1;q2 ;…qn,使得 :d =f1·q1 f2 ·q2 … fn·qn.(2 )用矩阵来计算若干个整系数多项式的最大公因式 .     

关于保角映射定义的等价性

保角映射(又称保形变换或共形映照)是解析函数理论中最重要的概念之一。关于保角映射的定义,各书常以不同的形式给出,本文主要研究它们之间的等价性。 (一) 为了下面行文的方便,先扼要的叙述一下复变函数导数的几何意义。设函数W=f(Z)在Z_0解析且f'(Z_0)≠0,考虑过Z_0的一条简单光滑曲线C_1:     

奇函数一个性质的推广及其应用

若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内是奇函数,则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=0,函数f(x)的图像关于原点O(0,0)中心对称,当函数f(x)的最值存在时最大值与最小值的和为0.推广若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内满足f(z)-c是奇函数(c为常数),则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=2c,函数f(x)的图像关于点(0,c)中心对称     

关于周期函数的几个判定定理

周期函数是数学中的重要概念之一.由于概念抽象,再加上中学阶段又没有给予足够重视,因此,学生很难掌握.本文给出并证明周期函数的几个判定定理,然后举例说明它们的一些应用.1判定定理定理1设a是常数且a≠0,若函数f(x)对定义域内任意一个x,满足f(x a)=f(x-a),则f(x)是周期函数且