函数y=f(x+a)(a≠0)的奇偶性探讨

对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),则称f(x)为这一定义域内的奇函数,奇函数的图象关于原点对称.如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称f(x)为这一定义域内的偶函数,偶函数的图象关于y轴对称.     

函数周期性与图象的对称性应用例谈

课本中给出了奇偶函数的定义:f(x)是奇函数f(-x)=-f(x),f(x)是偶函数f(-x)=f(x).它们的图象特征是:奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.关于原点(y轴)对称的函数是奇(偶)函数.把以上结论加以推广:就有:命题1:设函数y=f(x)的定义域为R,且满足条件f(a x)=f(b-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a2 b对称.命题2:定义在R上的函数y=f(x)满足条件f(x a)=-f(b-x),则y=f(x)的图象关于点a2 b,0对称.这两个命题是关于同一个函数图象本身的对称性,对于两个函数图象之间的对称性,有下列结论:命题3:定义在R上的函数y=f(x),函数y=f(a x)与y…     

函数的性质

本讲介绍函数的奇偶性,单调性,周期性,有界性,凹凸性及其在数学竞赛中的应用. (一)奇偶性1.若定义在I上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数;其图象关于原点对称,若f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数;其图象关于y轴对称.     

函数图象的对称性质及其应用

<正>一、函数图象自对称的探究根据教材有关函数知识的学习,我们已经知道函数y=f(x)的图象关于原点对称等价于y=f(x)是奇函数,函数y=f(x)的图象关于y轴对称等价于y=f(x)为偶函数.人教A版在推广探索题中提出了相应的拓展问题,下面对此做推广探究.不妨设h(x)=f(x+a)-b(a>0,b>0),若h(x)为奇函数,则其图象以原点(0,0)为对称中心.由函数图象平移的有关知识,     

函数的一个性质及应用

函数图象的性质给我们解题提供了很大的方便。函数图象的主要性质有 1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形。 2.偶函数的图象关于y轴成轴对称图形。 3.互为反函数的图象关于直线y=x对称。 上面三个性质及应用在教材中均已介绍,这里不再叙述。下面主要讨论函数图象的另一性质及应用。 4.已知函数y=f(x)满足f(a x)=f(a-x)则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称。 证明 设M(x′,y′)是函数y=f(x)图象上的任意一点,M关于直线x=a的对称点为M′(2a-     

奇函数、偶函数图象定理的推广

由奇函数、偶函数的图象定理知:若f(-x)=-f(x),则函数f(x)的图象关于原点对称;若f(-x)=f(x),则函数f(x)的图象关于y轴对称. 下面我们研究此结论的推广情况.     

奇偶函数图象对称性的推广及应用

<正>我们知道,奇函数图象关于原点对称;偶函数图象关于y轴对称.用数学符号语言可以描述为:若函数f(x)对于定义域内的任意x,都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))成立,则称函数f(x)为奇函数(或偶函数).这一定义从数的方面描述了奇(偶)函数图形的特征,有助于数形结合解决问题.一、函数奇偶性与图象对称性的推广利用函数图象变换的有关规律,结合函数奇偶性的定义与性质,我们不难得到函数图象对称性的如下两个结论.     

函数的奇偶性质及应用

①如果f(x)是奇(或偶)函数,则有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)). ②若0属于奇函数f(x)的定义域,则f(0)=0. ③奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称. ④定义域关于原点对称的函数f(x)都可以表示为一个奇函数     

奇函数一个性质的推广及其应用

若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内是奇函数,则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=0,函数f(x)的图像关于原点O(0,0)中心对称,当函数f(x)的最值存在时最大值与最小值的和为0.推广若函数f(x)在定义域D(D关于原点对称)内满足f(z)-c是奇函数(c为常数),则在定义域D内任意的x都满足f(-x)+f(x)=2c,函数f(x)的图像关于点(0,c)中心对称     

函数奇偶性的性质及其应用

如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)叫做奇函数;如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数.其判定的法则是:(1)看关系式是否出现f(-x)=-f(x)(此为奇函数)或f(-x)=f(x)(此为偶函数);(2)看定义域是否关于原点对称;(3)看图像是否关于原点对称(此为奇函数)或关于y轴对称(此为偶函数).显然,法     

一道教材课后习题的推广与应用

<正>1课本习题2019年人教A版《数学必修第一册》第87页第13题如下：我们知道,函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为奇函数,有同学发现可以将其推广为：函数y=f(x)的图像关于点P(a,b)成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x+a)-b为奇函数．     

利用函数的奇偶性求解定积分

我们知道对于函数y=f(x)在定义域内的任意自变量x,若有f(-x)=-f(x)恒成立,则称该函数为奇函数;若有f(-x)=f(x)恒成立,则称该函数为偶函数.因为奇函数的图像关于原点对称,所以奇函数图像在原点的左右两侧的面积互为相反数,即在[-a,a]上连续的奇函数f(x)在该区间上的定积分为零,     

利用图象的平移解决对称问题

关于函数图象的自对称和互对称,在考试中经常遇到,也有很多结论,由于这些结论比较多,又抽象,容易混淆,所以同学们记不住它们,在解决对称问题时往往力不从心,畏惧函数图象的对称问题.一、函数图象的自对称先理解两个复合函数的结论:若函数y=f(x+a)是偶函数,当且仅当f(-x+a)=f(x+a);若函数y=f(x+a)是奇函数,当且仅当f(-x+a)=-f(x+a).偶函数关于y轴对称,奇函数关于原点对称.即如果函数对定义域内的任意x,都有     

三次函数图象的对称中心

<正>函数y=2x3,y=x3-2x都是奇函数,因此它们的图象关于原点对称.对于一般的三次函数,其图象是否也有对称中心呢?答案是肯定的.例1设f(x)=x3-(m+3)x2+(3-     

函数奇偶性质的推论及其简单应用

高级中学课本(代数)甲种本第一册 P_(40)-P_(41)给出了函数奇偶性及其图象的对称性质的两个定理,这是众所周知的.在这两个定理中,只要我们作适当的变换:令 x=x′ a 则定理1可变化为:若 f(x′ a)为奇函数,则 f(x′ a)的图象关于原点(0,0)成中心对称图形.即有f(x′)的图象关于点(a,0)成中心对称图形.同     

函数f(x)=ax (b/x)(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x) =ax bx(a ,b∈R)的性质1.当a =b =0时 ,f(x) =0 (x≠ 0 )是常数函数 ,既是奇函数又是偶函数 ,其图象是x轴 (不包括原点 ) .2 .当b =0 ,a≠ 0时 ,f(x) =ax(x≠ 0 )是一次函数且是奇函数 ,其图象是一条直线 (不包括原点 ) .3.当a =0 ,b≠ 0时 ,f(x) =bx(x≠ 0 )是反比例函数且是奇函数 ,其图象是双曲线 .4 .当a≠ 0 ,b≠ 0时 :(1)当a >0 ,b <0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是增函数 .(2 )当a <0 ,b >0时 ,f(x) =ax bx(x≠ 0 )是奇函数且在区间 (-∞ ,0 )和 (0 , ∞ )上是减函数 .(3)当a …     

函数f(x)=ax+b/x(a,b∈R)的性质及应用

一、函数f(x)=ax b/x(a,b∈R)的性质 1.当a=b=0时,f(x)=0(x≠0)是常数函数,既是奇函数又是偶函数,其图象是x轴(不包括原点). 2.当b=0,a≠0时,f(x)=ax(x≠0)是一次函数且是奇函数,其图象是一条直线(不包括原点).     

奇函数图象中心对称性的一个推广及应用

<正>我们都知道,奇函数的图象关于原点成中心对称,将这条性质稍作引申和推广,便能得到一个很有用的结论.结论若函数y=f(x)是奇函数,则函数)y=f(x-a)+b的图象关于点(a,b)成中心对称.这个结论由函数图象变换规律很容易证明(过程略),在解决一些问题中常常能发挥很有效的作用.下面略举几例:例1(2012年全国高考题)设函数,f(x)=(x+1)²+sinx/x2+sinx/x²+1的最大值为M,最小值为     

函数图像的对称性应用

函数图像的对称性的性质若f(二)为奇函数，则抓:)=f(嘴)，关于原点对称。若只x)为偶函数，则入:)翻、)，关于y轴对称。若入x) f( Zawex)二乃，则厂劝关于点(a.b)对称。若厂:)娜Zawex)，则只:)关于直线x二对称。常用函数的对称性1、y=上，，已y=粤，二l。(认不丁、2 l为奇函数，关于原点对称。2、对，户l，广淤耗嘴，咸(讥豆万，，1)，关于，轴对称。一、求函数图象的对称中心例1已知函数片护戎矿而 l如一的图象的对称中心_。解:厂(x一2)42(x一2) l0是由户， 七向右移2个单位，向上平移10个单位得到，而厂扩 七是奇函数，关于原点对称。故厂…     

函数奇偶性的探讨

函数是初等数学的主要内容之一,函数的奇偶性又是函数的一个重要性质,那么如何判断一个函数的奇偶性呢?判断函数的奇偶性,应紧扣它的定义。如果对于函数 f(x)定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=-f(x)(或 f(-x)=f(x)),那么函数 f(x)就叫做奇函数(或偶函数)。定义揭示了奇函数与偶函数的定义域是对称于原点的实数,如果定义域不是关于原点对称的,则必不是奇函数也不是偶函数。因此,判断一个函数的奇偶性,首先判断它的定义域是否关于原点对称,然后再判断 f(x)与 x(-x)的关系。在解题的过程中发现,有好多题直接难以判