第34届IMO试题解答

1.解法一假设f(x)可分解为两个整系数多项式之积 f(x)=g(x)·h(x),(,)其中g(x)=x户+a,一:x,一‘+…+a,x+a。, h(x)~x.+b,一lxq一’+…+b:x+b0,且a,=l,bq=1,P,宁,a。,a;,…,a,一1,b。,b,,…,bq一:任2. 首先证明P和q均不小于2.若不然,不妨设P~1,有了(x)~(x+a。)h(x).由aob。~3,有a。~士l或士3,即f(x)有根士1或士3.但 f(1)=8, f(一1)=(一1)‘+5(一l)一’+3 ~(一1)一’·4+3转O, f(3)=3一+5·3‘一’+3笋0, f(一3)~(一3)’+5(一3)一’+3 ~(一3)一’·2十3笋0.所以,士1,士3不会是f(x)的根,即P,q均不小于2. 设2簇户镇q(n一2.由aob。一3,不妨设a…     

第34届IMO中国国家队选拔赛试题

第一天 (1993一04一04)1.对素数户)3,定义pZIF(,)一艺、,,。,二,二、_l}F(P川J、PZ一兀丁一{—万一一卜 自l尸!这里{x}~x一〔x〕,表示x的小数部分.求f(P)的值. (张筑生供题) 2.n是给定的自然数,、妻2.若a,b,。,d是自然数,且满足牛十共相似文献   

第34届IMO中国国家队选拔赛试题解答

1.解作120除以p一1的带余除法 120~q(P一1)十r,。(r成P一2.因为12。与P一1都是偶数,所以,也是偶数.定义G(P)一习‘·它们构成缩剩余系的一组代表).又因为 2(a,一1)G(P)三0(modP), 2(a‘一1)笋o(modP),所以,G(P)“0(modP).认对这种情形,1︸2根据费尔马小定理,对于k~ k,一1主l(modP)·所以,F(P)“G(P)(modP),,…,2于工有 ‘f(P)~生一{二丛丝-2 tP 下面判定哪些素数P)3属情形1.使得(P一1)}120的素数P〕3,有二,、_1 fF(P)lJ、Pj一-矛一、一~工一f ‘“尸 1丁G(P)l 2 t PJ’以下分两种情形讨论情形I:r一。.对这种情形,3,5,7,11,13,3…     

第28届IMO试题

第一试 地点:哈瓦那,日期:七月十日 (每题7分,时间4去小时) 1.命尸。帆)是集{1,2,…,。少爪保持无个点不动的排列的数「{.求证:」a,劣,nZ劣2汁‘”‘一“几忿“<卫二生-业 汤”一工乙。尸。(。犷、·二,!。 2.锐角三角形ABC的顶角山均内分角线交BC边于L,又交三角形的外接圆于万,过L分别作AB和AC边的垂线乙兀和L刃,垂足是K和M.求证:四边形」KNM的而积竹于三角形ABC的面积. 3.命z,,x:,二二n,是实数,满足条州、,2十:22+.二十‘二1.求证:对于何一整数无)2存在不全为。的整数a,,a:,…,。n使得」a‘J蕊无一l,对于所有的整数艺,井且 第二…     

第35届IMO试题

第35届IMO于1994年7月12日到7月19日在香港举行,69个国家和地区的385名选手参加了角逐。7月12日下午举行了开幕式,7月13日、14日两个上午举行了考试,7月16日下午阅卷、协调完毕,全部选手成绩打印装订成册,7月17日晚上,在香港科技大学承行了本届竞赛最后一次领队会议,经表决,获4O分、41分、42分者为金牌选手,获30分至39分者为银牌选手,19分至29分者为铜牌选手,在全部参赛选手中,有30名选手获金牌(约占全部     

第51届IMO试题

第51届国际数学奥林匹克（IMO）于2010年7月2日至14日在哈萨克斯坦首都阿斯塔纳（Astana）举行,来自98个国家及地区的517名学生参加了这次比赛。     

第50届IMO试题

第一天 1。设n是一个正整数,a1,a2…,ak(k≥2)是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n|ai(ai+1-1).     

第46届IMO试题

第一天1.在正△ABC的三边上依下列方式选取6个点:在边BC上选点A1、A2,在边CA上选点B1、B2,在边AB上选点C1、C2,使得凸六边形A1A2B1B2C1C2的边长都相等.证明:直线A1B2、B1C2、C1A2共点.2.设a1,a2,…是一个整数数列,其中既有无穷多项是正整数,又有无穷多项是负整数.如果对每一个正整数n,整数a1,a2,…,an被n除后所得到的n个余数互不相同.证明:每个整数恰好在数列a1,a2,…中出现一次.3.正实数x、y、z满足xyz≥1,证明:x5-x2x5 y2 z2 y5y 5z-2y 2x2 z5=z5x-2z 2y2≥0.第二天4.数列a1,a2,…定义如下:an=2n 3n 6n-1(n=1,2,3,…).求与此数…     

第50届IMO试题

第一天 1．设n是一个正整数,a1,a2,…,ak（k≥12）是集合{1,2,…,n}中互不相同的整数,使得对于i=1,2,…,k-1,都有n｜ai（ai＋1-1）．     

第54届IMO试题

第54届国际数学奥林匹克（IMO）于2013年7月1813至28日在哥伦比亚圣玛尔塔（Santa Marta）举行,来自99个国家及地区的528名学生参加了这次比赛。中国队以208分获得团体总分第一名,6名队员获得5金1银。     

第49届IMO试题

第一天 1.已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB交于C1、C2两点.     

第48届IMO试题

第一天1.给定实数a1,a2,…,an.对每个i(1≤i≤n),定义:di=max{aj|1≤j≤i}-min{aj|i≤j≤n},且令d=max{di|1≤i≤n}.(1)证明:对任意实数x1≤x2≤…≤xn,有max{|xi-ai||1≤i≤n}≥2d.(2)证明:存在实数x1≤x2≤…≤xn,使得式①中的等号成立.(新西兰供题)2.设A、B、C、D、E五点中,四边形ABCD是平行四边形,四边形BCED是圆内接四边形.设l是通过点A的一条直线,l与线段DC交于点F(F是线段DC的内点),且l与直线BC交于点G.若EF=EG=EC,求证:l是∠DAB的平分线.(卢森堡供题)3.在一次数学竞赛活动中,有一些参赛选手是朋友,朋友关系是相互的.如…     

第45届IMO试题

第45届IMO试题@陈永高     

第47届IMO试题

第一天1.设I为△ABC的内心,P是△ABC内部的一点,且满足∠PBA+∠PCA=∠PBC+∠PCB.证明:AP≥AI,并说明等号成立的充分必要条件是P=I.2.设P为正2006边形.如果P的一条对角线的两端将P的边界分成两部分,每部分都包含P的奇数条边,那么,该对角线称为“好边”.规定P的每条边均为好边.已知2003条在P内部不相交的对角线将P分割成若干个三角形.试问,在这种分割之下,最多有多少个有两条好边的等腰三角形.3.求最小的实数M,使得对所有的实数a、b、c,|ab(a2-b2)+bc(b2-c2)+ca(c2-a2)|≤M(a2+b2+c2)2.第二天4.求所有的整数对(x,y),使得1+2x+22…     

第31届IMO试题

第一天(北京·1990.07.12) 1.(印度)设圆内两弦AB,CD交于圆内一点E.在直线段EB的内部取一点M,然后过点D,E,M作圆,再过E作此圆的切线分别交直线BC,AC于点F,G.若AM/AB=t,试用t表出EG/EF. 2.(捷克和斯洛伐克)设n≥3,考虑一圆周上的2n-1个不同的点所成的集合E.如果将E中的一些点染成黑色,使得至少有     

第45届IMO试题解答

试题(2004.7.12～13于希腊·雅典)第一天1.锐角三角形ABC中ABAC,以BC边为直径的圆分别交AB,AC于,.MNO为BC的中点,两个角,BACMON的平分线交于R.证明:两个三角形,BMRCNR的外接圆有一公共点在BC边上.2.求所有的实系数多项式()fx,使得对于满足0abbcca =的一切实数,,abc都成立()()(     

第40届IMO试题解答

1.确定平面上所有至少包含三个点的有限点集S,它们满足下述条件: 对于S中任意两个互不相同的点A和B,线段AB的垂直平分线是S的一个对称轴. 解:设G为S的重心.对S中任意两点A、B,记r_(AB)为S关于线段AB的垂直平分线的对称映射.因为r_(AB)(S)=S,所以r_(AB)(G)=G,这说明S中每个点到G的距离都相     

第33届IMO试题解答

1。由题设有a》2,a一1‘1~1—=工一—二声~下一, a aZ天b)3,‘)4,故若b)5,则(a一])(乙一1)(e一1、~1_—,产二,一. a be一3’b一1~Zc一1~3币厂护了,一百~夕万’所以abe毛4(a一1)(b一1)(e一1),,abc一1,,西=二一-二下二尸犷一一一百二;-~-~.万二<、仔。 L口一工)气o一工)又C一工)仍与③式矛盾.故只能b士3,4. 若西=3,由③得6(e一1)=6e一1,此方程无解;若b=4,由③得 9(e一1)=sc一1,解得e=8,综_L讨论,解为由题设知S〔N,从而S“1,2,几 (1)若S=1,即 (a一1)(b一1)(e一1)=a石e一1,亦即a十b+c=a乙+加十ca.①但由a相似文献