解读2010年高考题中的不等式证明题

不等式知识是支撑高中数学的主干知识,而不等式的证明是不等式内容中的精髓,很多求最值和求范围的问题都要涉及到不等式的证明．纵观全国各地2010年的高考数学试卷,均加大了对不等式内容的考查力度,每份试卷都考查了不等式的证明,或者考查了利用不等式的证明求最值和求变量的取值范围．下面我们考察部分不等式的证明题,解读命题者的意图,分析破题思路,优选解题方法．     

导数在证明不等式中的应用

众所周知，不等式的证明都在被广泛的研究．常见的证明方法如下：比较法，反证法，数学归纳法，构造法，分析法，综合法等若干方法，但是有些不等式利用上述方法证明起来比较困难，这时我们从函数的观点去认识不等式，以导数为工具，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的性质，相对比较简单．利用导数与不等式之间的密切联系，把导数作为解决不等式问题的一种重要工具；用导数法证明不等式的实质就是构造函数，然后利用导数与函数的关系来证明不等式．     

高考压轴题解法探究——数列不等式的证明

纵观近几年高考试题,我们不难发现很多省市都把数列不等式的证明作为压轴题．由于这类考题将数列与不等式有机地结合起来,因而它的证明既需要证明不等式的基本思路和方法,又要结合数列本身的结构特点,有着较强的技巧性,对学生的要求较高,具有很高的区分度．本文结合近几年的一些高考试题谈谈数列不等式的证明方法．     

构作长方形数表证一类不等式题

文[1]用贝努利不等式的变式给出一类不等式题的证明方法,事实上这些题目都可以用构作长方形数表来证明,长方形数表也是证明不等式的一种重要途径．     

导数在不等式证明中的渗透

不等式是高中数学重要内容之一,它反映了各变量之间很重要的一种联系．不等式证明灵活多变,方法众多,像抽屉原理运用到不等式的证明中,有时却会产生意想不到的效果,那什么情况下用什么样的方法证明呢？应该注意什么呢？都有哪些证明方法？     

分母换元法巧证分式不等式

一般地说,不等式的证明方法形式多样,技巧性强．但通过学习不等式的证明,对提高学习者的思维能力,提高解题技能都有重要的作用．所以,有关不等式的证明题在各类考试中,尤其是各级数学竞赛中会经常地出现,而且常考常新,大大地吸引了广大数学爱好者．下面举例说明用分母换元法证明一些分式不等式,供数学爱好者们共同欣赏．     

证明不等式的13种方法

不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的．因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料．笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙．     

证明分式不等式的变形技巧

在证明分式不等式的过程中，无论使用什么方法，都是以一定的变形为基础，通过变形，沟通待证不等式与已知不等式之间的联系，从而使问题获得解决，从这个意义上说，变形成为证明分式不等式的关键．鉴于此，本文归纳出证明分式不等式的若干变形技巧，供同行参考．     

构造函数法证明不等式的若干策略

<正>运用对相关函数求导证明不等式是近年来高考命题的一类热点题型,由于涉及许多导数问题中的解题技法,降低了解题的成功率,我们有不少同学都望而却步．此类问题的破题关键就是找一个与待证不等式紧密联系的函数,然后运用导数运算的方法,研究该函数的单调性、极值、值域等性质,进而达到证明不等式的目的．本文以近几年高考题或模拟题为例,通过探索不同类型不等式的证明,阐述构造函数证明不等式的六种方法,供参考．     

数列不等式的证明

数列不等式因其形式多样而长期成为高考和数学竞赛命题的热点．数列不等式的证明,既要遵循证明不等式的基本思想和方法,又要结合数列自身的性质和结构特征．本文通过实例介绍证明数列不等式的一些基本方法．     

利用函数性质证明不等式

不等式是数学中不可缺少的工具之一．有许多不等式在数学研究中有着重要的作用．在中学数学中证明不等式的方法有许多种．但用初等数学知识证明不等式比较困难本文将不等式问题转化为函数问题．利用函数性质．如单调性．微积分中值定理．函数的极值和最值性来研究、解决不等式问题．利用函数性质来研究．解决不等式问题,使学生掌握不等式证明的函数思想方法,从而提高学生的分析问题与解决问题的能力．     

导数与数列型不等式的整合

数列型不等式在研究数列的单调性、有界性、极限的存在性、甚至求极限中,都有特殊的作用．数列型不等式的证明问题,既需要证明不等式的基本思路和方法,又要结合数列本身的结构和特点,有着较强的技巧性,     

不等式中等号成立条件的解题功能——兼谈对称思想

大家都知道,基本不等式中的等号,当且仅当诸数都相等时成立．事实上,我们遇到的要证明的绝大多数不等式的条件与结论都是关于所含字母的轮换对称式,这就预示着这些字母在解题中的地位是相同的,因此,当他们取值相同时,等号可能成立．于是,可以先猜测并验证要证明的不等式中等号成立的条件,然后,结合已知,通过拆添项、配凑等手段构造一系列基本不等式,最后通过同向不等式的运算给出证明．下面举例说明．     

几个重要不等式与不等式的证明

在不等式的证明中,重要不等式的使用是不等式证明的常用方法．     

构造几何图形证明不等式

不等式的证明方法很多,有时使人觉得扑朔迷离、无从下手或证法太繁．而构造几何图形证明不等式,却是十分巧妙且有效的方法,也体现了数形结合的优越性．本文介绍用几何法证明不等式的几种途径,读者可以体会到用几何方法证明不等式,思路清新、直观明快．     

数学分析中证明不等式的常用方法

不等式的证明是数学分析中的一个常见问题,其证明方法灵活多样,技巧性和综合性较强．本文例说数学分析中证明不等式的10种常见方法．     

立足新课程 探讨不等式的证明规律

证明不等式没有固定的程序,证法因题而异,灵活多样．一个不等式的证法,往往不止一种,一个不等式的证明也往往是几种方法的综合使用．不等式证明方法有其特殊技巧,但不论技巧性有多高,还是离不开课本中的有关性质与结论．如果我们能立足新课程,通过分析例题与习题中不等式的结构特征,一定可以从中发现某些常见题型的证明规律．     

巧证数列不等式

数列不等式的证明,在许多资料、练习册上频繁出现,它的证明方法一般都是采用放缩法和数学归纳法．而放缩法的技巧性太强,大部分高二学生难以掌握,数学归纳法又是高三选修内容,高二学生更是不可能用．那么怎样证明此类不等式呢？下面仅以两例说明,供参考．     

例析齐次化方法在不等式证明中的应用

所谓齐次化就是将要证明的非齐次不等式利用所给条件转化为齐次不等式的方法．由于许多重要不等式,如均值不等式、柯西不等式自身就是齐次不等式,所以证明一些带条件的非齐次不等式时,若能利用所给条件对原不等式进行恒等变形,转化为易于证明的齐次不等式形式,则问题将得到解证．下以数例说明．     

一道清华大学自主招生试题的证明与推广

题目设x,y∈R＋,且z＋y=1,求证：x^2n＋y^2n≥2^2n-1^-1（2009年清华大学自主招生试题）． 题目是条件不等式的证明,由于条件是二元一次方程,所以,代入消元就化为一元不等式的证明,而一元不等式的证明都是求函数的值域,故题目并不难,且证明方法较多,本文一般地给出题目的证明并推广．