对一道高等代数题的推广

张禾瑞在《高等代数》（第五版）习题中给出了多项式的一个结论：＂设f（x）,g（x）和h（x）是实数域上的多项式,证明若f（x）2=xg（x）2＋xh（x）2,那么f（x）=g（x）=h（x）=0＂。本文借助一般化方法将该结论推广为更一般的定理,并给出了证明。     

带余除法在求数列通项中的应用

在高等代数中,有关于多项式除法的一个定理:设f(x)和g(x)是F[x]中的任意两个多项式,并且g(x)≠0,那么在F[x]中可以找到多项式q(x)和r(x),使f(x)=g(x)·q(x)+r(x),这里,或者r(x)=0,或者r(x)的次数小于g(x)的次数,     

浅谈艾逊斯坦因判别法的教学

多项式理论是高等代数的重要内容之一,在研究有理系数多项式的因式分解时,有下述定理:设f(x)=a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+……+a_1x+a_0是n次整(数)系数多项式,如果有一个素数P,使:     

高等代数复习提要

师资类数学专业高等代数本学期讲授了如下内容:一元多项式;一元高次方程;线性空间,线性变换;欧氏空间;抽象代数基本概念介绍。期末复习具体要求如下。 第六章一元多项式 掌握一元多项式的运算以及这些运算所满足的一些规律,知道什么是数域P上的多项式及符号p[x]、Q[x]、R[x]、C[x]的意义。     

我是怎样给成年人讲多项式的——兼论成人学高等代数为什么难

数域P上的任意两个多项式f(x)与g(x),如果存在P上的多项式h(x),使 f(x)=g(x)h(x)则称g(x)整除f(x),记作g(x)/f(x) 对没学过高等代数的人来说,不知以上语言说些什么?什么是数域?任意多项式又是指什么?如果没有人辅导,自己是很难读下去的,更不用说看懂了。近两年来,我给电大班、函授专科班学员讲了几次《高等代数》,他们感到这门课程特别难。有的说,在下面自己去看就象看天书一样。为什么这些学员比一般大学生更     

综合除法的推广及应用

将高等代数中的一般的综合除法 ,即除式g(x)为一次多项式x -α的情况推广到除式g(x)为m次多项式的情况 ,并讨论了其多方面的应用     

关于多项式理论中一个问题的注记

某些高等代数教程(参考文献(1),(2))中有这样一个问题: 证明,数域F上一个次数大于零的多项式f(x)是F[x]中某一不可约多项式的幂的充分且必要条件是对于任意g(x)∈F[x],或者(f(x),g(x))=1或者存在一个正整数m使得f(x)|g~m(x). 这个命题中条件的必要性是成立的(这一点不难证明),而条件的充分性不是对于任意数域F都成立。请看下面讨论。假设f(x)是数域F上一个次数大于零的多项式,并且满足条件:对于任意g(x)∈F(x),     

综合除法的推广及应用

将高等代数中的一般的综合除法，即除式g(x)为一次多项式x-α的情况推广到除式g(x)为m次多项式的情况，并讨论了其多方面的应用。     

范德蒙行列式在多项式计算中的应用

在高等代数中,利用行列式展开理论得到了范德蒙行列式的计算结果.多项式理论是高等代数核心理论之一,本文利用范德蒙行列式讨论了几个多项式的计算问题.     

关于多项式概念的研究

关于多项式概念的研究张香云多项式是代数学的基本研究对象之一。不论在初等代数还是高等代数中多项式都占有很重要的地位，它不但与方程论有关，而且是进一步学习代数和其它高等数学的基础。本文着重谈谈多项式概念在初等代数和高等代数中的区别及两种定义的统一性。１．...     

高等代数“一题多解”与“一解多关”相关思考

在文章的第一部分,给出高等代数的一个习题并用多种方法证明它.文章的第二部分给出另一个习题并提供涵盖高等代数许多分支内容的一个证明.通过阐述高等代数各分支内容间的内在联系,为高等代数的教学提供一些思想方法.     

“求最大公因式”的运算性质及若干应用

最大公因式是多项式理论中的一个重要内容。一般的“高等代数”教材往往都局限于介绍“求最大公因式”的辗转相除法,很少论及“求最大公因式”这一代数运算的运算性质。事实上,从代数运算的角度来讨论“求最大公因式”,研究这种运算的运算性质,有助于不少问题的解决。这一点,在有关整除和互素的很多证明过程中,尤为明显。 设P为数域,f_1(x),f2(x),… ,f_n(x)∈P[x],(n≥2),当它们全为零多项式时,规定(f_1(x),f_2(x),…,f_n(x))为零多项式;当它们不全为零多项式时,规定(f_1(x),f_2(x),…,f_n(x))是当们的首系数为1的最大公因式。     

浅析高等代数多项式理论的教学

高等代数是数学专业学生的一门基础课,它在学生的数学学习中起着至关重要的作用.但其中的多项式理论因极强的抽象性令众多同学非常苦恼.本文从整数环的角度解释高等代数中的多项式理论,通过对比学习,学生能够更好地掌握多项式理论.     

三维代数的分类

本文讨论域K上三维代数,给出三维代数的结构与分类。证明了:若A是域K上的三维代数,则A同构下述之一:三个K的直积K×K×K;K的一个二维扩域与K的直积;K的一个三维扩域;K上多项式代数K[x]的商代数K[x]/(x2)与K的直积;上三角2×2矩阵代数;多项式代数的商代数K[x]/(x3);A有一个平方为0的二维Jacobson根。     

反证法在论证多项式理论中的应用

多项式理论是高等代数的重要内容之一,它是高等代数中一个相对独立的部分,与线性代数一起,构成高等代数的整体内容.它的理论抽象,涉及的概念较多,一些问题直接利用定义证明较为困难,而使用反证法却可以使论证的过程得到简化.下面结合实例来讨论反证法在论证多项式理论中的应用.     

数学归纳法在高等代数教学中的应用

数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用,它不仅可以用来证明与自然数n有关的初等代数命题,在高等代数中的应用也很突出。在〔1〕中多处定理和习题的证明都要用到数学归纳法,这主要是由高等代数内容体系所决定的,其中的许多定理和习题都与向量空间V的     

多项式的两种观点

多项式这一概念,应如何理解?北大编《高等代数》是这样定义的:设x是一个符号(或称文字),n是一个非负整数。形式表达式 a_nx~n+a_(n-1)x~(n-1)+…+a_1x+a_0 (1)其中a_0,a_1,…,a_n全属于数域P~*,称为系数在数域P中的一元多项式,或者简称为数域P上的一元多项式。既然x是一个符号,因此x,x~2,…,x~n以及式子a_nx~n,a_(n-1)x~(n-1),…,a_1x与连接这些式子的符号“+”,都应看作没有赋予     

求算术平均值法分解因式

全日制十年制学校,初中数学课本,代数第四册中第194页“初中代数总复习参考题”,第七题第(11)(12)小题: 7(11)分解多项式: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24; (12)分解多项式; (x~2+3x-3)(x~2+3x+4)-8。一般的解法是用十字交叉法分解,现在介绍用“求算术平均值法”分解,这种解法的过程是: 7(11) 分解多项式: (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-24。解原式=(x~2+5x+4)(x~2+5x+6)-24因多项式:x~2+5x+4和x~2+5x+6的算术平均值M=x~2+5x+5,     

《高等代数》课程中矩阵初等变换方法的应用

矩阵初等变换是高等代数研究及解决问题的一个很重要的工具,在高等代数课程中应用的范围很广.综述矩阵初等变换在多项式、行列式、线性方程组、二次型、线性空间、等《高等代数》课程的主要内容中的应用.     

谈谈高代的入门教学

高等代数作为一门重要的基础课程,既是中学代数的继续和提高,其观点和方法又与中学代数有着本质上的区别。在中学代数中,无论研究的问题还是使用的方法都是比较具体的。但是,某些这样的方法,却根本不能解决多项式代数与线性代数的一般理论,所以在高等代数中使用了抽象的、公理化的方法,从普遍的观点研究多项式,使用了 n 阶行列式、向