隔板原理在组合问题中的应用

问题　把ｎ个相同的小球放入ｍ个不同的盒子中 (ｎ ≥ｍ≥ 1) ,要求每个盒子非空 ,问有多少种不同的放法 ?这是一个常见的组合问题 ,可先将ｎ个小球排成一列 ,然后在每两个小球的ｎ- 1个空档中插入ｍ- 1块隔板 ,这样就将ｎ个小球分割成ｍ组 ,每组小球依次放入ｍ个盒子中 ,就得到Ｃｍ- 1ｎ- 1种不同放法 .我们不妨把这种方法称为“隔板原理” ,它在解决一类组合应用题时十分有用 ,试看以下几例 :例 1　某校高一年级共有 12个班级 ,现要从中选出 2 0名同学参加座谈会 ,要求每班至少有一名同学参加 ,共有多少种不同的选法 ?解　将 2 0个名额 (…     

巧用隔板分组法解一类分配问题

隔板分组法常常用于解决一类相同元素分给不同对象的分配问题.对有些问题来说,若能使用该方法,则可使问题化难为易,迎刃而解.下面举例说明隔板分组法的妙用.1 要求盒子中都有小球例1 把12个相同的小球放入编号为1,2,3,4的盒子中,问每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种?     

用二项式定理推导“隔板法”公式

隔板法是解决组合问题的一种常用方法,运用这种方法可解决小球入盒,名额分配,展开式的项数等形式多样的问题.如果我们能脱离现象,抓住本质,转化思维,将其模型化,公式化,那么解决这类问题就非常容易.隔板法可解决的问题都可转化为下列模型:把n个相向的小球放到m(m相似文献   

方程x_1+x_2+···+x_k=n的整数解的组数及其应用

先研究简单情形:不定方程x1+x2+x3=10(1)的正整数解的组数.此问题可以直观地理解为:将十个相同的小球,放入三个编了号的盒子中,要求每个盒子不空的投放方法种数.这不同于高中教材介绍的普通组合问题,但又十分常见.我们将这十个相同的小球排成一行,相邻的两球之间有一个空隙,共有9个空隙.任取两个空隙并在每个空隙中插入一个“隔板”,这两个隔板将10个小球分成三段,若从左到右各段中小球的个数依记为y1、y2、y3,则y1、y2、y3都是正整数,并且满足y1+y2+y3=10,说明有序数对(y1、y2、y3)是方程(1)的一组正整数解;反之,对于方程(1)的任意一组正整…     

浅谈隔板法的应用

1　基本应用隔板法是插空法的一种特殊情况 ,能解决一大类组合问题 ,请看以下典型问题 :例 1　 9个相同的小球放到 6个不同盒子里 ,每个盒子至少一个球 ,有多少种不同的放法 ?解析　法 1:先在盒子里各放一个球 ,再把剩下的 3个球放到 6个盒子里 ,分三类 :① 3个球放到一个盒子里 ,有C1 6 种放法 ;② 3个球放到 2个盒子里 ,球数分别为 2 ,1,共A26种放法 ;③ 3个球放到 3个盒子里 ,每个盒子各 1个球 ,共C36 种放法 .根据分类计数原理 ,共有C1 6 A26 C36 =5 6种放法。法 2 :把 6个盒子看作由平行的 7个隔板组成的 .每一个满足要求的放法都…     

用挡板法解排列组合题

用档板法可解决相同元素的分配问题（名额分配或相同物品的分配问题）． 例1 12个相同的小球放人编号为1、2、3、4的盒子中，每个盒子中至少有1个小球的不同放法有多少种？[第一段]     

从一道经典"重复"排列易错题谈起

问题 4个不同的小球,放入3个有编号的盒子,每个盒子至少要有1个球,则共有多少种放法? 错解 先从4个不同的小球中取3个放到每个盒子里,有A34种方法,剩下的1个可以给任意一个盒子有3种放法,共有3×A34种不同的放法.     

排列组合中一类“放球入盒”问题的解法

“放球入盒”问题可以分为两类.一n个不同的小球放入m个不同的盒子里例17个不同的小球放入7个不同的盒子里,有几种不同的放法?分析:先将7个小球全排列,然后依次将小球装入7个盒子里,共有A77=7!种.不能同时将球和盒子都作全排列,因为将球全排列后,每个盒子都有可能装到每个小球.例27个不同的小球放入7个不同的盒子里,恰好有一盒子是空盒,则共有几种不同的放法?分析:运用乘法原理中的分步要不重复,不遗漏.对于本题,第一步,选一盒为空,有C17种;第二步,从7个不同小球中选两个成一组,有C27种;第三步,从剩余的6个空盒中选一空盒装已选的2个球,有…     

球·盒子模型的应用

在解决排列组合的问题时,常常碰到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来比较困难,且其它一些问题可以转化为球·盒子问题,也即具有模型置换的功能,本文拟就此谈些方法.模型之一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.把m个不同小球随意放入n个不同盒子的问题,实质上是一个重复排列的问题,可以用乘法原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有n·n……nm=nm种不同的放法.例1　五个学生报名参加数、理、化、外四门学科竞赛,每人限报一门,则报名方法有多少种?分析　五个学生类比于5个不同的小球,…     

小球放法真的起波澜——高中数学研究性学习的一个案例再探究

文[1]《小球放法起波澜》以一个数学问题“如果三个完全相同的小球,随机地放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,问第一号盒子必须有球的放法有多少种？”作为一个案例进行课堂教学实践,设计了学生容易犯错的3种解法,给了4种“正确”解法,必须指出,文[1]设计的开放性、探究性教学教案的课堂教学过程值得我们借鉴．     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助“档板法”来处理的.例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?解析把10个小球一字排开,中间有9个空位,若从中任取2个空位插上档板,则可把这10个小球分成3份,每份至少1个小球,将每个盒子对应取其中1份,恰好满足题意的要求,所以共有C92种不同的分法.这方法虽巧,但有局限性,即有“每盒子至少分到1个小球”的要求.如果没有了这样的要求,该如何处理呢?例2将10个相同的小球分到3个不同的盒子中,共有多少种不同的分法?解析该题是在没有任何限制的…     

不妨预先放入“-1”个小球

众所周知,有一类相同元素的分配问题是可以借助"档板法"来处理的. 例1将10个相同的小球分装到3个不同的盒子中,每个盒子中至少分到1个小球,共有多少种不同的分法?     

这道题应该这样解

拜读了2005年《小学教学设计》第3期的《数字与数位》一文,受益匪浅。但我认为文中例3的解不是三个,而是五个。[例3]若干个同样的盒子排成一排,小明把63个同样的小球放在这些盒子里后外出。小亮从每个盒子里取出一个小球,然后把这些小球再放到小球数最少的盒子里,再把盒子重排一下。小明回来后,没有发现有人动过盒子。问:一共有多少个盒子?通过分析可知,原来那些盒子里装的小球数是一些连续的自然数(具体分析过程不再赘述,参见原文)。现在问题可转化为:将63拆成若干个连续自然数的和,一共有多少种拆法?每一种拆法有多少个加数就一共有多少个…     

小球投盒问题研究

在排列组合问题中，有这样一类问题：把一些小球投入几个盒中，给出一定限制条件，求有多少种不同的方法．这类问题我们不妨称“小球投盒问题”．它包括两种类型：一种是小球不相同，另一种是小球相同．若用常规的“捆绑法”、“插空法”、或针对特殊元素或特殊位置的“优先安排法”、“排除法”去做非常困难，大多做不出正确的答案．笔者在教!学中对这类问题作了一定的研究，总结出一种简单方法一分堆投入法．     

四种类型的“小球与盒子”问题

很多同学感觉排列组合这一章的知识比较难学，下面就利用“小球与盒子”这一模型加以阐述，希望同学们仔细体会．     

错在哪里

题目将三个完全相同的小球随机地放入编号依次为1,2,3,4,5的盒子里,用随机变量ξ表示有球的盒子编号的最大值.（Ⅰ）求P（ξ=2）;（Ⅱ）求ξ的分布列和数学期望Eξ.这是浙江省台州市2010年一次模拟试卷中的一道考题,试卷所附的答案是：（Ⅰ）由于是＂完全相同＂的三个小球,因此,把这三个小球放入有编号的5个盒子中,其结果有三种;i）三个小球在其中的3个盒子中,有C_5~3种;ii）三个小球分别     

隔板法解组合计数问题

什么是隔板法?先看一个简单的问题: 把7个相同的球分给4个人,有几种不同的分法? 分析:设有3块隔板将7个球分成4份,可将3块隔板与7个球排成一行,而3块隔板在行中占的不同位置对应着不同的分法。例如:     

排列组合中球与盒子模型的应用题

在解决排列组合问题时,常常会遇到有关球放入盒子的问题,这类问题的变化较多,学生掌握起来有一定困难,而且还有很多问题可转化为球与盒子的问题.本文就此谈几点模型的归纳及应用方法. 模型一:把m个不同小球随意放入n个不同盒子.这类问题实质上是一个重复排列的问题,可以用分步计数原理解决.第一个球有n种放法,第二个球有n种放法……第m个球有n种放法,故共有nm种不同放法.     

主动学习数学案例的分析

例：将编号为1、2、3、4、5的5个小球放进编号为1、2、3、4、5的5个盒子中,要求只有两个小球与其所在的盒子编号相同,问有多少种不同的方法？     

小球入盒模型的推广与应用

小球入盒是排列组合的典型问题,本文从小球同与不同及盒子同与不同几方面入手,对小球入盒模型加以推广和应用．