三个不等式之间隐含的关系

观察下面三个问题 :( 1 )设a、b、c为△ABC的三边 .求证 :a2 b(a -b) +b2 c(b -c) +c2 a(c-a)≥ 0 .①(第 2 4届IMO)( 2 )若x、y、z∈R+,则x·x +yx +z+y·y +zy +x+z·z+xz+y≥x +y +z.②( 1 992 ,国际“友谊杯”数学邀请赛 )( 3)设x、y、z∈R+,求证 :x2 ·y +zy +x+y2 ·z+xz+y+z2 ·x +yx +z≥xy +yz+zx .③这三个不等式均不难证明 ,此处从略 .今将揭示他们之间隐含的内在联系 .1 .建立对应关系 ,揭示①可转化为②众所周知 ,对于任意△ABC的三边a、b、c,总可找到这样的正数x、y、z,使得a =y +z,b =z+x ,c =x +y .于是 ,式①化为(y+z…     

勾股定理应用五注意

勾股定理及其逆定理是初二几何中的重要定理 ,其应用极其广泛 ,在具体应用时应注意以下五点。一、要注意正确使用勾股定理例 1.在 Rt△ ABC中 ,∠ B=90°,a=1,b=3,求 c。错解 :由勾股定理 ,得 a2 + b2 =c2。∴ c=a2 + b2=12 + (3) 2 =2。剖析 :上述解答错误的原因是没有弄清哪个角是直角 ,就盲目地应用勾股定理。当∠ B=90°时 ,勾股定理的表达形式应为 a2 + c2 =b2 。解 :因为∠ B=90°,所以由勾股定理 ,得 a2 + c2 =b2 ,∴ c=b2 - a2 =2。二、要注意定理存在的条件例 2 .在边长都为整数的△ ABC中 ,AB>AC,如果 AC=4 cm,BC=3cm,求 …     

莫莱定理的三角证法

定理△ABC的每两个内角相邻的三等分线分别相交于P,口,刀(如图).则应PQR是正三角形.证明设乙左=3a,匕B=3刀,/C二计,则a十夕丫=印“.再设只;血为a,乙,c,_4 5 in(‘O“一召)51。5 in4 5 in(石0“一丫)5 1 rl丫51:,(60“+夕)·5 in丫5 in(石O。一了)(石0。+了)·5 in夕5 in(60。一夕)口卫5 in(60“+口) 5 in(60。+丫).由干5 in夕=5 in(x+a), 5 in(60“+口)“51,、(60。研一a一卜丫)于是, 5 in(x+a)sin(60。+了) =5 1 nxsin(石0。+a+丫)。积化和差:cos(x十a~句“一沙 =e 05(60“弓一a+了一x).由牙几x十。一60。一丫二厂。“一刀一‘O一丫故…     

探究三角形形状的九种方法

一、应用正弦定理判定【例1】已知在△ABC中,sin2A+sin2B=sin2C,求证△ABC是直角三角形.证明:由正弦定理sinA=2aR,sinB=2bR,sinC=2cR,代入sin2A+sin2B=sin2C中,得4aR22+4bR22=4cR22,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.二、应用余弦定理判定【例2】在△ABC中,A、B、C所对的边分别为a、b、c,a≠b,且a·cosA=b·cosB.判定△ABC的形状.解:α·cosA=b·cosB,由余弦定理得α·b2+2cb2c-a2=b·a2+2ca2c-b2,化简整理得(a2-b2)(c2-a2-b2)=0,∵a≠b,∴a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.三、应用根的判别式判定【例3】若a、b、c为△ABC的…     

一个平面几何公式的姊妹公式

文 [1 ]给出了如下平面几何公式 :r =r1+r2 -2r1r2h .其中 ,P为△ABC的BC边上一点 ,h为BC边上的高 ,r ,r1,r2 分别为△ABC、△ABP和△ACP内切圆半径 .我们得到定理　设P为△ABC的边BC上一点 ,h为BC上的高 ,R ,R1,R2 分别为△ABC、△ABP、△ACP的外接圆半径 ,CA =b ,AB =c ,则R =(b +c) (bR1+cR2 )4h(R1+R2 ) . ( )证明 :由正弦定理 ,AP =2R1sinB =2R2 sinC ,设BC =a而sinB =b2R,sinC =c2R,因此R1+R2 =AP2 ( 1sinB+1sinC) =R(b +c)bc ·AP=R(b+c) sinAah ·AP=R(b+c)· AP2Rh=b +c2h (R1sinB +R2 sinC)=b +…     

第32届IMO两道试题简证

1.(苏联)已知△ABC,设z是它的内心,角A,B,C的内角平分线分别交其对边于A,,B,,C,.求证:另一方面, Al。Bl。ClAA,·BB,·CC,_1=音(1+‘ga‘g口)(1+‘g夕’g:)8一27 V/一1,Al·Bl·CZ-二~、、1了二朽石万一.下万,4丑丑‘.刀刀‘.七七‘1+tg丫t ga)a,口 如图,记△ABC齐内角的半角为了,内切圆半径为:.\1,刁产r产不弓~气上丁上 凸a一卜夕+下二Al二J一 5 In“些2刀,程声IA,易得,AIAA产I一BB︼B同理,5 in(a+2尽)“_1/,」冬_。、_‘_、一丁、工下ts尸Ls了/。=李(i+tg,t;。), 2、一“‘。一_1‘;二、一;,o、=告(1+t gatg口)。 2、一“…     

数学问题与解答

又设AD=劣,B刀二夕,DC=a一夕,则1984年第3期问题解答n。,,,~二,1,口,L,,=J’l,=丈‘L,+刀l’,百L劣+,一。,+音‘二+a一,一“) 41.已知函数f(幻=a公十b,且加,十6醉=3,证明:对于任意:任〔一1,1],!f(:)}镇粼百. 1,。=甲二~(之汤+a一O一C) 艺、证明:~:·6b2一3,...(得)’·(、。)z=‘·代入前式得三竺互互=三(勘+a一b一c),化简为丫哥一i·一滤· 犷,rl二—Lp一劣) 肠①,(p表示△ABC的半周)召万乙=eo,夕,in夕,b=COS夕 另一方面,2(S。,,。+S。,。,)=犷:(c+工+夕)+犷2(b+劣+a一今)=,,(a+乙+e+器)=价i〔p+劣)…②,2S“eo=Zp犷…于是,(·。=…     

绝妙解法

题目求 sin~210°+cos~240°+sin10°cos40°的值.解△ABC 中,由余弦定理和正弦定理,有a~2=b~2+c~2-2bccosA, (1)(a/(sina))=(b/(sinB))=(c/(sinC))=k (2)由 a=ksinA,b=ksinB,c=ksinC 代入(1)得sin~2A=sin~2B+sin~2C-2sinBsinC·cosA. (3)     

关于费尔马和的一个不等式

文 [1 ]中用微积分方法证明了不等式 :(x +y +z)·1y2 +yz+z2 +1z2 +zx +x2 +1x2 +xy +y2>4 + 23,①其中x、y、z为任意正实数 .我们指出 ,由此不等式可导出一个关于三角形的费尔马和的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,其费尔马点在形内 (即所有内角都小于 1 2 0°) ,且到顶点A、B、C的距离分别为x、y、z,则(x+y +z) 1a+ 1b+ 1c >4 + 23.②事实上 ,当△ABC的费尔马点在形内 ,即所有内角都小于 1 2 0°时 ,有a =y2 +yz+z2 ,b =z2 +zx +x2 ,c =x2 +xy +y2 .此时式①直接化为式② .关于费尔马和的一个不等式@方廷刚$四川省成都市第七…     

八年级数学竞赛训练题

1·已知:34-1=13,89-1=18,1156-1=115,…,a+1a-1=163,则a=.(a为正整数)2·已知:如图1,在△ABC中,∠B=90°,AB=BD,AD=DC=AE,则∠EDC=.图1图23·如图2,△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,△ADE是正三角形,点D在BC边上,BD∶DC=2∶3,当△ABC的面积为100cm2时,△ADE的面积为.4·两个正整数相加时,得到1个两位数,且2个数字相同;相乘时,得到一个三位数,且3个数字相同,则满足上述条件的2个整数为.5·如果实数a,b,c满足abc<0,a+b+c=0,a<-b0,b<0,c>0(B)a>0,b<0,c>0(C)a<0,b>0,c>0(D)a<0,b<0,c>0图36·如图3…     

例谈内切圆代换下的不等式证明

△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,大家知道有著名的Euler公式:R≥2r. 上述公式证明方法有多种,本文将给出△ABC中内切圆代换下的证明. 为此,我们先给出有关内切圆的一些基本知识点,这些在不等式证明中时是极其有用的. 如图1,设a=x+y,b=y+z,c =z + x,△ABC的内切圆、外接圆半径分别为r,R,面积为S,半周长p=a+b+c/2=x+y+z,由海伦公式知S=√p(p-a)(p-b)(p-c) =√xyz(x+y+z),注意到S=pr=a+b+c/2 r,故r=S/P=√xyz/x+y+z,而S=1/2absinC=abc/4R,故R=abc/4S=(x+y)(y+z)(z+x)/4√xyz(x+y+z),故=R/2r=(x+y)(y+z)(z+x)/8xyz≥8xyz/8xyz=1,故R≥2r.     

用代换法证三角形中的不等式

在△ABC中引入代换:a=y+z,b=z+x,c=x+y于是可得三内角的一系列代数关系式:cosA=(b~2+c~2-a~2)/2bc=(x(x+y+z)-yz)/(z+x)(x+y)=1-(2yz)/(x+y)(x+z).     

1981年第二期数学问题

1。试证:数列i,121,12321,···……,12345678987654321每一项都是完全平方数。 2.△ABC的三个旁心是I,、12、I。,外接圆半径是R,求证:音(·了rZ一+·2一‘·子)(0相似文献   

数学奥林匹克问题

本期问题初181已知圆内接六边形ABCDEF的各边均不相等,且BACB·DCED·FEAF=1.求证:AD、BE、CF三线共点.(吕建恒陕西省兴平市教研室,713100)初182找出所有满足下列条件的整数组:(1)a、b、c是正整数;(2)a+b+c=[a,b,c].(范兴亚谷丹北京市第四中学,100034)高181设a、b、c、d为正实数,且满足a2+b2+c2+d2=4.则a+b+c+d≥23(ab+bc+cd+da+ac+bd)≥abc+bcd+cda+dab≥4abcd.(厉倩湖南省长沙市第十五中学,410007)高182如图1,在△ABC中,AB>AC,图1AF、AF′分别是∠BAC及其外角的平分线.以FF′为直径作半圆,点P在半圆上且在△ABC内部.求…     

西安交大1992年少年班数学入学考试试题及解答

(时l可:1992年6月7日_卜午8:30一10:30)一、选择题(60分,每小题5分)1.如图:A、B、C、(e)奈;(n)二·2一3’ B3一2 AD、E在圆卜,那=720,cD=380,则匕F十艺c二.‘’.”...····,····……(B) 7.直角△几及少中c是直角,D、E是三等分斜边AB上的两点.已知cD一、厂了+叼万,cE~、厂了一了了.则斜边AB长为···……(D)(A)1 1 00;(C)3」。;(B)55。; (D)17“.(B)8了万; (D)3创万. 2.若干教师和学生平均年龄是20岁,教师平均年龄是30岁,学生平均年龄是15岁,则教师与学生人数之比是············……(c) (A)2:3;(B)l:3; (C)l…     

数学问题与解答 1992年第3期问题解答

276.设P是正△ABC内一点,分别作P关于直线AB、BC、CA的对称点C_1、A_1、B_1,并设△ABC、△A_1B_1C_1的面积分别为S、S′,试证:S′≤S。证:如图1,设正△ABC的边长为x,P到三边BC、CA、AB的距离分别为a、b、c,△PB_1C_1、△PC_1A_1、△PA_1B_1的面积分别为S_1、S_2、S_3,那么S′=S_1+S_2+S_3,且因∠A_1PB_1=∠B_1PC_1=∠C_1PA_1=120°,所以 S_1=1/2·2b·2c·sin120°=3~(1/2)bc, S_2=3~(1/2)ca,S_3=3~(1/2)ab。因正三角形内任一点到三边的距离之和等于此正三角形的高,即a+b+c=3~(1/2)/2x,于是S′=3~(1/2)(bc+ca+ab)≤3~(1/2)·1/3(a+b+c)~2=3~(1/2)/3·(3~(1/2)/2x)~2=3~(1/2)/4x~2=S。     

2006年上海市高中数学竞赛

说明:解答本试卷不得使用计算器.一、填空题(第1—4小题,每小题7分,第5—8小题,每小题8分,共60分)1.设x、y、z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是.2.设从正整数k开始的201个连续正整数中,前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和.则k的值为.3.设n(n≥2)是给定的整数,x1,x2,…,xn是实数.则sinx1·cosx2+sinx2·cosx3+…+sinxn·cosx1的最大值是.4.在△ABC中,∠A=30°,∠B=105°,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或边BC相交于点E,使得∠CDE=60°,且DE将△ABC的面积二等分.则ACCD2=.5.对于任意实数a、b,不等式max{|…     

与勾股定理相关的常见错误剖析

勾股定理及其逆定理是平面几何中的重要定理,其应用非常广泛.我们在应用这两个定理解题时,常常会出现错解,现将错误归纳剖析如下,以引起我们的重视.一、忽视题目中的隐含条件例1在Rt△ABC中,a、b、c分别为三条边,∠B=90°,如果a=3cm,b=4cm,求边c的长.误解:∵△ABC是直角三角形,∴a2+b2=c2,即32+42=c2,解得c=5(cm).剖析:上面的解法,忽视了题目中∠B=90°,b是斜边的隐含条件.正解:∵∠B=90°,∴a2+c2=b2,c=b2-a2!=42-32!=!7(cm).二、忽视定理成立的条件例2在边长都是整数的△ABC中,AB>AC,如果AC=4cm,BC=3cm,求AB的长.误解:由“勾3股…     

面积公式的妙用

在数学学习中,同学们常常会利用特殊平面图形面积公式来解决一些一般平面图形的面积问题。你可知道,我们还可用这些面积公式来解决一些其它数学问题。图1一、利用面积可以验证勾股定理例1如图1,我们知道在Rt△ABC中,两条直角边与斜边有如下关系:a2+b2=c2即在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。图2将四个全等的直角三角形拼成图2,利用计算小正方形的面积可以验证勾股定理。S小正方形=S大正方形-4SRt△即c2=(a+b)2-4×12·a·b=a2+2ab+b2-2ab∴c2=a2+b2.二、利用面积可以求出直角三角形斜边上的高例2如图3,在Rt△ABC中,BC…     

一个递推公式的妙用

一、斑推公式的介绍 设x:,xZ,x。为实系数一元三次方程 x3+pxZ+qx+丫=o的三个根,且SK=x荟+x’i+x誉,则存在下列递推公式: S。+PS。一:十qs。一2+YS。一5=0(A)由(A)可得SK与方程系数间的关系表:S。一3S:=一p52~pZ一ZqS玉=一p于+3pq一3丫s。二p‘一4pZq+4p丫+Zq’S。一一p’牛sp”q一6p’丫一spq’小5丫qS。=p6一6p‘q+6p,r+gp,q盆一12pqr 一2q3+3r:·························,·······……等等(证明〕设f(x)=x,+pxZ+qx+丫 二(x一x:)(x一x:)(x一x3)对f(x)求导数,有 f‘(x)二3x’+Zpx一卜q令n=3,4,5,…