和函数S（z）连续的一个充要条件

本文给出了复变连续函数项级数∑Un(z)的和函数S(z)连续的一个充要条件，即给出亚一致收敛的概念，使得对在复平面内有界闭集D上的复变连续函数Um(z)(n=1，2，……)，∑Un(z)=S(z)在D上连续的充要条件是∑Un(z)在D上亚一致收敛于S(z)。     

关于复变函数的围线积分

复变函数的围线积分是研究解析函数不可缺少的一个重要工具,所以它是复变函数论中的一个重要内容。它的理论是以柯西积分定理、柯西积分公式以及柯西残数定理为中心,计算也是以它们为依据。本文着重讨论围线积分计算的各种情形,并加以系统化予以分类。定义我们称分段光滑的Jordan闭曲线为围线。Ⅰ、最简单情形.假设函数f(z)在围线L的内部区域D内解析,在闭区域D=D+L上连续,则由推广的柯西积分定理即知     

比较复变函数与二元函数的分析性质

设z=x＋iy,w=u＋iv,则w=f（z）=u（x,y）＋iv（x,y）,所以一个复变函数w=f（z）相当于定义两个二元函数u=u（x,y）和v=v（x,y）,讨论一个复变函数的极限与连续性就相当于讨论两个二元函数的极限与连续性.所以复变函数与二元函数在某些概念、结论上有一定的相似之处,因此有必要比较复变函数与二元函数的某些分析性质.     

Privalov定理的一个推广

把H？lder空间上的Privalov定理推广到LPS（D）空间上,证明当跳跃函数f（ t）∈LPS ∩LP 时,分区解析函数F（z）＝21πi∫D f（t）t -zdt ,zD的内部分支属于Besov空间,而F（z）在边界两边的正负边值F＋（t）、F-（t）以及f（t）的奇异积分（SF）（t）均属于LPS（D）空间。     

关于Carathéodory不等式的注记

最大模定理是正则函数的一个重要性质,它叙述如下:设函数f(z)在闭围线C的内部为正则,并连续到C上,如果|f(z)|在C的上界为M,则不等式|f(z)|≤M对C内的任一Z都成立。又若对C内某一点Z,有|f(z)|=M,则f(z)恒为常数。 这定理给出了区域D内的正则函数,若它连续到D的边界C时,则f(z)在D内的模可以由它在边界上模的最大值M所控制。     

直线和圆的位置关系及应用

一、知识要点1．直线国的位置关系；相高、相切和相交．2．切线的定义、性质、判定和作法。3．切线长的定义和切线长足及．4．割线的定义．5．圆中的比例线段──圆幂定理。6．弦切角的定义和弦切角定理．7．圆外切多边形的定义和圆外切四边形的性质．二、解题指导例1　如图1，AB是半圆O的直径，DO⊥AB于O，C是AB上一点，AC交OD于F，且DF=DC，AD交HB于E,求证：（1）DC是O的切线八2）D、丘、F、C四点共图：（南通，1994年）分析连结OC，则LOHC一z0CA．要证附HC是co的切线一OC上CH一z0CD—goo本上OCA＋zACD—90o仁z0AC…     

一类复积分计算的新方法

正柯西积分定理和柯西积分公式是复变函数论中研究解析函数的重要理论基础,同时它们也是计算一些复积分的重要工具.绝大多数的复积分的计算都要借助于这两个定理,尤其是柯西积分公式.在复变函数论中z,我们经常会遇到类似c z2-a2dz,C:|za|=a的复积分的计算,这类积分一般都是应用柯西     

罗必塔法则在孤立奇点分类中的应用

夏变函数f（Z）的不解析点称为奇点，而对于f（Z）99孤立奇点的类型又分为可去奇点、极点、本性奇点。在一般的复变函数教程中，对于f（Z）的奇点分类及其判别，往往要借助级数的理论而采用极限方法进行判别。当遇到7型奇点的判别，用极限方法也难作出结论。本文根据夏变函数零点与极点的关系，利用罗必塔法则，给出单复变函数孤立奇点的分类判别方法．定理一：设f（z）一针／（Z），，且g（。）一qz。一0，若z。是g（Z）的Z阶零点，z。是中（z）的n阶零点则m＞n时，z。是fG）的m－n阶零点；mwtn时，z。是1（z）的n—m阶极点；m—n时，z…     

在轮换对称区域上的积分

定义：设有一区域Q，若将变量X、y、Z依次轮换后，Q保持不变，则称Q为轮换对称区域。定理1设函数P（X，y，z）、Q（X，y，z）、R（X，y，一在轮换对林区域V（三维空间区域）上可积，且在变换。：X’＝y，y’＝Z，Z’＝X作用下，P变为Q，Q变为R，R变为P，则推论1设L为三维空间曲线，且为可轮换对称域，其余条件同定理1，则有识分推论2设积分区域为空间曲面Z，其余条件同定理1，则有积分由上面的定理及推论不难得出推论3设二元函数P（X，y）、Q（X，y）在轮换对称区域g上可积，且在变换。；：其中Li］球面X‘＋y‘＋Z‘＝1在第一…     

几个常用结论应用的简捷方式

众所周知，数学中许多的公式、结论有着密切的联系，如果能把这些结论归纳、整理，则在教学中效果是很显著的．通过多年的教学实践，我把一些相关的结论进行了归纳整理，现总结如下，供大家参考．1关于复变目数在简单封闭曲线上的积分复变函数在简单闭曲线上的积分，结论繁多．我用一个简单定理把文［1」中常用结论归纳如下：定理1投入Z）在区域D内处处解析对为D内任一条正向简单闭曲线，它的内部完全属于D，Z。为C内任一点，则有定理1的证明见文［l」．当。—一旦，－2，－3，…时，定理1为柯西定理；。一0时，定理工为柯西积分公式；。…     

2012年第3期《错在哪里》参考答案

《考虑问题不全面》实数。的取值范围为（一∞，1/2）．提示：厂（z）在区间D上单调递增（或递减）的充要条件是：f1（z）≥0（f1（z）≤O），且f1（z）在D的任一子区间上不恒为0．当a=1/2时,f（x）=1/2，不是单调递减函数，不合题意．     

正则函数唯一性定理的另一证明

设f(z)在区域D内正则,Z_n(n=1,2,…)是f(z)的零点,若点集{Z_n}_(n=1)~∞有一个极限点a∈D,则f(z)在D内恒为零。这就是正则函数的唯一性定理。它是正则函数的一个基本性质,对此也有多种证明方法。下面我们把它作为孤立奇点和最大模定理的应用给出另一种证明。     

一九九四年全国初中数学联合竞赛试题及参考答案

第一试一、选择题可化简为2．设a，b，c是不全相等的任意实数，若x＝a~2-bc，y=b~2-ca，z＝c~2-ab，则x，y,z（D）（A)都不小于0．（B）都不大于0．（C）至少有一个小于0．（D）至少有一个大于0．3．如图1所示，半圆O的直径在梯形ABCD的底边AB上，且与其余三边BCD，CDDA相切．若BC＝2，DA＝3，则AB的长（A）等于4．（B）等于5．（C）等于6．（D）不能确定．多项式6．若平行直线EF，MN与相交直线AB，CD相交成如图2所示的图形，则共得同旁内角（D）（A）4对（B）8对．（C）12对．（D）16对．6．若方程＝x有两个不相等的实根…     

关于两类拟共形映射的偏差公式

从Mori（森）定理出发．探讨单位圆盘D：D={z：｜z｜〈1}到上半平面、右半平面上的拟共形映射f（z）的模偏差性质，得到了这些区域上｜f（z）｜的偏差公式。     

圆环上的Bergman空间、Bergman度量及圆环的分解

首先利用简单的复变函数与泛函分析的知识研究了定义在圆环Ω＝｛Z∈C；r＜|z|＜1，0＜r＜r＜1｝上的Bergman空间的一些性质，得到了一些类似于定义在单位国企D＝｛Z∈C；|z|＜1｝这个单连通域上的Bergman空间的性质．然后，在文[2][3]的基础上，由Bergman度量的一些已有结果，给出了圆环Ω的分解，为以后研究二连通域上的算子理论铺平了道路．     

分担一个值的亚纯函数族

研究了关于分担一个值的亚纯函数的正规族问题,证明了：设F为区域D上的亚纯函数族,k是正整数,如果对任意的f∈F.f-a的零点重数至少为k,f（z）=a■f（k）（z）=a■f（k＋1）（z）=a,则F在D上正规.     

罗比达法则在复变函数中的探讨

在数学分析中罗比达法则是作为柯西中值定理的应用而得证,而柯西中值定理却是以拉格朗日定理来证,因此罗比达法则也是以微分中值定理为基础。由于微分中值定理不能推广到复变函数上来,那么是否罗比达法则亦不能推广到复变函数上来呢？这是一个很容易令人想到的问题。在复变函数中主要研究的是解析函数的性质,对解析函数来说罗比达法则是否成立？1、首先证明如下一个的事实若人。）与g（。）是解析函数,Z＝。。是它们的零点,且／Z）与g（Z）皆不恒等于零,则limHH一A与limH3一co（或ldrifriH一A与ldri57ez一co）不能同时成立。（其…     

非周期Hamilton系统的多同宿轨

研究了二阶Hamilton系统z-L（t）z＋Wz（t,z）=0多个同宿轨的存在性,其中L∈C（R,RN2）是一对称矩阵值函数,W（t,z）∈C1（R×RN,R）是非线性项.由于L（t）和W（t,z）关于t没有周期性假设,需要克服Sobolev嵌入缺乏紧性的困难.而且,这里非线性项W（t,z）关于z在无穷远处是渐进线性的且系统允许出现共振,这一情形之前未被考虑过.借助于广义的山路定理,得到了多个同宿轨.     

圆锥曲线一个有趣性质再探

文[1]中笔者给出如下两个定理： 定理1点P在椭圆b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2（a〉b〉0）上,直线l交椭圆于C、D两点（C、D异于P）,则kPC·kPD=λ（≠b^2/a^2）→净直线l恒过定点R．     

陈题再探

文献[1]曾就一道平面向量的陈题“设OA，OB为平面内不共线的2个向量，且OC=XOA＋yOB（x，Y∈R），则A，B，C共线的充要条件为x＋y=1．”在平面范围内作了新探，给出了几个鲜为人知的结论．笔者最近又发现，这些结论可推广到空间．引理1设OA，OB，OC为空间的一组基底，且OD=xOA＋yOB＋zOC（x，y，z∈R），则A，B，C，D共面的充要条件为x＋y＋z=1．