点到直线的距离公式的十三种证明方法

点到直线距离公式是一个很重要的公式,然而很多老师和学生更多的只是重视它的应用,而对于公式本身的证明却未引起足够的重视,尽管教材中提示大家“请研究一下如何用其他方法推导点到直线的距离公式”,但依然不能引起广大师生的足够重视,笔者以为：对于一个公式的推导比运用这个公式来解决一些问题对我们的思维来讲更具有价值．下面笔者从不同角度来思考点到直线的距离问题,     

点到直线的距离公式的向量证法

点到直线的距离公式的证明方法较多，下面就人教社（必修）第二册（上）第55页的阅读材料《向量与直线》中的相关内容，再介绍一种证明方法．     

对点到直线的距离公式证明的再探究

《中国数学教育》2．010年第6期刊登了徐纯剐、张琴竽老师的文章“对点到直线的距离公式证明的棵究”中收集了代数法中的三种证法,几何法中的两种证法和向量法中的一种证法,在这个基础上,我们对于点到直线的距离公式的证明进行了进一步的探究,补充了6种新的证明方法,包括代数法中的两种证法、几何法中的三种证法和向量法中的一种证法,在新证法的探究中提升了教师的专业水平,培养了学生创新思维的能力．还存在着其他的证明方法等待着我们的探究与发现．     

寻找联系 揭示本质——解几中两个公式的统一证明

点到直线距离公式与点关于直线对称点的坐标公式是解析几何中用途广泛的两个公式,本文给出它们的统一证明,并和大家一起体验解析几何中简化运算的过程,领悟数学过程和对象的本质,欣赏数学美．     

利用单位向量简证点到直线的距离公式

点到直线的距离公式的证明方法很多,下面利用单位向量介绍一种较简捷的证法． 设P（x0,y0）是直线l：Ax＋By＋C=0外一点,设点P到直线l的距离为d,在直线l上任取一点P1（x1,y1）,如图1示,则有4x1＋By1＋C=0,     

浅谈利用三角形面积法证几何题

平面几何证明问题方法灵活多样．加上不同题目有不同的解法．学生初学时很难掌握它的一般规律．我认为为了使学生更好地掌握几何证明问题的方法，教师在讲清教材的基本内容基本问题的同时，应把整个教材证明的方法加以归纳整理，特别是能举出一些通过教材中某一个命题或结论或公式来证明许多问题的方法，借以启发学生的证明思路和拓宽知识面是大有好处的。     

点击点到直线距离 寻求公式本质内涵

高中数学教材介绍了点到直线的距离公式。但只介绍了它在求点到直线的距离、求两平行线间的距离、以及求圆的切线等方面的简单应用。实际上。点到直线的距离公式在很多方面都有广泛的应用，本文将介绍这个公式的一些应用。     

点到直线距离公式的简捷证明及推广应用

一、点到直线距离公式的证明 命题：点P（X0,Y0）到直线L：Ax＋By＋C=0（A2＋B2≠0）的距离为d,则d=｜Ax＋By0＋C｜/√A2＋B2     

再议数学教材中两个公式的推导

解析几何中的点到直线的距离公式与椭圆的标准方程的推导历来是高中数学教学的难点,教材中提供的方法教师难讲清、学生难接受．鉴如此,笔者曾在这这两个公式推导上做了一些思考,得到了下面的一些方法,同时在教学也收到了好的效果．     

教材的“小节”无修改的必要吗

对“以本为本”提出异义,并对“点到直线的距离”一节的教材提出修改意见.     

直线参数方程下两点间距离公式的微课探究——一次纠错的意外收获

解析几何中,求线段的长或弦长常需要用到两点间的距离公式．本文通过对一道模考题的纠错,得到了直线参数方程下两点间的距离公式,拓展了中学教材的相关结论．     

是强调方程思想，还是突出向量方法？——谈“点到直线的距离”处理两难的教学设计

一、对教材的分析与思考 “点到直线的距离”是“坐标平面上的直线”一章的最后一节内容．作为直线方程和向量方法的应用，在上海教材中，点P（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C=0的距离公式的推导经过了以下过程：（1）作出点P到直线l的距离PQ；（2）利用向量的数量积以及｜PQ→｜=｜PQ→·n→｜/｜n→｜（其中｜n→｜是直线l的法向量），再利用Q点坐标满足直线l的方程，求出｜PQ→｜，得到公式d=｜ax0＋by0＋c/√a^2＋b^2｜．推导中有两个要点：一是应用数量积的几何意义计算两点之间的距离；二是应用“若点在直线上，则点的坐标满足直线方程”进行整体代换．     

对新教材一公式推导的质疑、建议和想法

公式　如果已知点P的坐标为 (x0 ,y0 ) ,直线l的方程为Ax+By +C=0 ,则点P到直线l的距离为d=｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .1　一点质疑此公式是高中教科书 (试验修订本 ·必修 )《数学》第二册 (上 ) (以下简称新教材 )第 7.3节的内容 ,新教材给出了此点到直线距离公式的推导过程 ,并指出了用两点间距离公式推导的繁琐和运算过程的复杂 .其实 ,在教材中 ,编者一再提到的思路自然、运算复杂的推导方法其实是很简单、巧妙的 .具体推导如下 :推导 1　设A≠ 0 ,B≠ 0 ,过P作直线l的垂线 ,垂足为Q(x1,y1) ,则Ax1+By1+c=0 ,y1- y0x1-x0 =BA ,即A…     

“点到直线的距离”:基于认知基础,选择历史方法

"点到直线的距离"的教学应该更好地建立在学生的认知基础上,并为学生创造探究的机会。在考察数学史上点到直线距离公式的8种推导方法的基础上,选择其中的交点法、最值法、三角形面积法以及向量法,并且对最值法和三角形面积法进行必要的改进,同时在教学中与学生自主探究得到的方法进行比较。从学生的课堂表现和课后反馈来看,诸方法的选择是恰当的,本节课揭示了点到直线距离公式背后的方法之美,并为学生创造了探究的机会,有助于学生体会数学思维的多元性,提升数学学习的自信心。     

关于点到直线距离公式的推导

现行中学《平面解析几何》课本，在“点到直线的距离”一节中，编者先根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点间的距离，但却没有用两点间距离公式进行求解．课本认为，该“方法虽然思路自然，但是运算很繁”，于是介绍了另一种求法．这种方法确实避开了繁琐的运算，然而却产生了新的矛盾，即过Ｐ点作ＰＭ∥Ｏｙ轴这条辅助线，使学生感到盲然，反倒使其成为这节课的难点和关键．那么能不能想办法既利用两点间距离公式进行求解，又避开繁琐的运算呢？答案是肯定的．其实，学生在前面的学习中刚做过习题二的第１６题：过点Ｐ（ｘ…     

点到直线距离公式的证法综述

正设点P(x0,y0),直线L:Ax+By+C=0.则点P(x0,y0)到直线L:Ax+By+C=0的距离为d=|Ax0+By0+C|/(A2+B2)~(1/2).本文从这个公式的多种思路证明说明教材的基本结论对培养学生思维能力的重要性,并且通过对多重证明情况的分析,达到既对证明思路进行创新,又对所学知识进行相应的复习与整合,     

求曲线上点到直线距离最值的两种方法

求曲线上任意一点到直线间距离的最值问题，常用两种方法——切线法和动点法．所谓切线法就是将已知直线平移，当直线与曲线相切时，距离达到最大或最小，然后利用平行线问的距离公式求得最值；所谓动点法就是将曲线上的任意点设为P（xf（x）），然后利用点到直线间的距离公式，讨论点P到直线间距离的最值问题，下面举例说明．     

异面直线上两点间距离公式的教学改进

异面直线上两点间距离公式的证明．在原《立体几何》(乙种本)第42页用了一页的篇幅。在人教社新版实验修订本《数学》第二册(下B)第50页改用向量给出新颖的证法．公式中θ为异面直线所成的角，在使用中需要确定2mncosθ前的正负号．同学们往往习惯性选取负号，不知何时选用正号，构成教学难     

点到直线的距离公式

从各种不同角度来探讨同一个问题是我们综合运用所学知识的具体体现 ,也是培养学生实现知识迁移、提高数学素质的必要和有效途径之一。在这里 ,我们从五种角度八个方面探讨点到直线的距离这一重要的数学工具。1　点到直线的距离定义根据距离的含义 ,我们可以从以下两种角度给点     

点到直线的距离公式的探求及应用

本文用三种不同的方法探求了点到直线的距离公式,并通过典型例子说明了公式的若干应用,就如何培养中学生的创新意识和解题能力进行了有益的探索。