由一道竞赛题的证明引发的探究

2007年女子数学奥林匹克竞赛中，有这样一道不等式证明题：     

一道竞赛题新探

题:已知x、y、z＞0,且x2/1 x2 y2/1 y2 z2/1 z2=2,求证x/1 x2 y/1 y2 z/1 z2≤(√2).(第一届"希望杯"备选题) 文[1]、[2]分别用三角换元、构造二次函数、柯西不等式给出证明,并对命题的结论和条件进行推广.     

一道竞赛题的证明与思维拓展

第20届伊朗数学奥林匹克竞赛中有这样一道代数不等式题目： 问题1 设a,b,c∈R＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3. 文[1]是通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明的．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上,回答是肯定的．     

一道竞赛题的应用

第9届全苏数学奥林匹克竞赛试题中的一道不等式题如下: 题目证明对于非负实数a,b,。,下述不等式: a, 6, 。, 3a6。〕a,(占 。) 吞2(。 a) 。,(a 吞)成立. 此不等式是2(a, 6, 。,))a,(6 c) 6,(c a) 。,(a 6)的一种加强形式.下面给出它的简证: 证明不妨设a办b)c弃0,则有 e(a一c)(     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题(45-IMO-4):设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足n2 1>(t1 t2 … tn)(1/t1 1/t2 … 1/tn).     

一道国际数学奥林匹克竞赛题的推广

第45届国际数学奥林匹克竞赛第4题: (45-IMO-4) 设n(n≥3)为整数,t1,t2,…,tn为正实数,且满足     

一道越南竞赛题的推广

越南数学奥林匹克竞赛始于1962年,最初考题只有一张试卷,从1972年开始考试分两天进行,每天3个题目.在最近几年的国际奥林匹克数学竞赛中,越南队的成绩非常不错,常常位列前五位,因此笔者认为很有必要研究一番越南的试题.本文对2006年越南数学奥林匹克竞赛试题第4题作了一定程度的探讨(文中Σ表示循环和),供大家参考.     

一道竞赛题的多种解法探讨

<正> 2002年北京市中学生数学竞赛初赛有如下一道试题: 若关于x的不等式|x-1|>1/2x2-a仅有负数解,试确定实数a的取值范围. 这里给出如下几种解法. 解法1 直接求根. 由于不等式仅有负数解,故存在x<0,使得不等式|x-1|>     

从一道赛题谈不等式证明的数学思想

1992年第26届独联体数学奥林匹克竞赛题中有一道不等式证明题： 题目：设a〉1，b〉1，求证：a^2/b-1＋b^2/a-1≥8. 我们通过对这道题的证明，谈谈在不等式的证明中常用到的一些数学思想方法．     

一道数学竞赛题的加强

笔者为2006年中国东南地区数学奥林匹克提供的一道竞赛题为：     

一道竞赛题的别证

题　证明 :对任意实数 a>1,b>1,有不等式a2b- 1 b2a- 1≥ 8.　　 (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )《中学数学月刊》1999年第 11期、2 0 0 0年第 5期分别用添加项法或配置对偶式进行了证明 .兹给出另外四种证法如下 :证法 1　 (增量代换 )设 a=1 x,b=1 y,x,y∈R ,则a2b- 1 b2a- 1=(1 x) 2y (1 y) 2x≥(2 x ) 2y (2 y ) 2x =4(xy yx)≥ 8.当且仅当 1=x=y,即 a=b=2时取等号 .证法 2　 (三角代换 )设 a=sec2 α,b=sec2 β,α,β为锐角 ,则a2b- 1 b2a- 1=1cos4α· tan2 β 1cos4β· tan2 α=4(1 cos2α) 2 · (1 cos2β) 2s…     

一道竞赛题的多种证法

此题不失为一道开拓思维的好题,可以从多方面给予证明,以下是我们解此题的几种证法,旨在与广大数学爱好者一同探讨、商榷。     

一道CMO试题的简证

题目设a,b,c,d为正实数,满足ab+cd=1;点Pi(xi,yi)(i=1,2,3,4)是以原点为圆心的单位圆周上的四个点,求证:     

一道伊朗数学竞赛题的简单证法

第20届伊朗数学奥林匹克中有这样一道代数不等式题目： 问题1：设a,b,C∈R^＋,且a^2＋b^2＋c^2＋abc=4,求证：a＋b＋c≤3． 文[1]通过构造三角形,挖掘它的几何意义,利用人们熟悉的三角形不等式实现其证明．笔者的思考是,既然是纯代数的不等式,那么,有没有直接的代数证法呢？事实上     

一道白俄罗斯竞赛题的几何研究

第52届白俄罗斯数学奥林匹克(决赛B类)试题：     

巧构数列妙解竞赛题

数列是高中数学的主要内容之一，有些数学问题，通过构造数列往往可以迅速沟通题设与结论之间的联系，使问题得到优解．下面以几道竞赛题为例．