重庆市第三届中学生数学竞赛试题参考解答

一、在同一坐标系里有两条抛物线y=ax~2 c和x=ay~2 c,其中,a、c为实数且-(3/4)相似文献   

运用构造法求最值

一、构造一元二次方程法例1 已知x为实数,求函数y=3x2+x+2/x2+2x+1的最小值. 解:将原函数解析式变为关于x的二次方程: (y一3)x2+(2y-1)x+(y-2)=0. 因为x是实数,所以△≥0. 即(2y-1)2-4(y-3)(y-2)≥0. 解得y≥23/16.     

判别式在初中数学的应用

一元二次方程根的判别式在初中数学中有多方面的应用,兹归纳如下:一、判别方程根的情况例1)判别方程2X~2-(4m 3)X 2m~2 1=0的根的情况。解:△=b~2-4ac=〔-(4m 3)〕~2-4 ×2(2m~2 1 )=24m 1当△=24m 1>0,即m>-1/24时,方程有两不等实根当△=24m 1=0,即m=-1/24时,方程有两个等实根当△=24m 1<0,即m<-1/24时,方程无实数根     

论函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l(m≠0)值域的求法

一、纯粹利用判别式求函数y=ax~2+bx+c/mx~2+nx+l值域的可靠性。 [例1]求函数y=5/2x~2+5x+3的值域。解:把原式变形成2yx~2+5yx+3y-5=0 ①∵ x为实数:△=(5y)~2-4(2y)(3y-5)≥0 解得 y≥0或y≤-40 即所求值域为:{y∶y≥0}∪{y∶y≤-40}。但由原函数显然可知y≠0,所以上面求得的值域并不可靠。 [例2]求函数y=x~2-x-2/2x~2-6x+4的值域。解:把原式变形成 (2y-1)x~2+(1-6y)x+4y+2=0 ②∵ x为实数,∴△=(1-6y)~2-4(2y-1)(4y+2)=(2y-3)~2≥0 ∵所求值域为y∈R事实上,y=(x~2-x-2)/(2x~2-6x+4)=((x-2)(x+1))/(2(x-2)(x-1))     

对一道竞赛题答案的质疑与探究

<正>题目(2018年全国高中数学联赛安徽预赛第11题)(1)求证:对于任意实数x、y、z,都有x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x2≥3(1/2)(xy+yz+zx);(2)是否存在实数k>3(1/2),使得对于任意实数x、y、z下式恒成立?x²+2y2+2y²+3z2+3z²≥k(xy+yz+zx).试证明你的结论.问题(1)比较简单,在此略去.对于问题(2),网上传出标准答案,摘录如下:     

一个三角不等式的简证

设 x,y,z 是任意实数,在△ABC 中,则有不等式x~2 y~2 z~2≥2xycosC 2zxcosB 2yzcosA(1)其中等号当且仅当 x:sinA=y:sinB=z:sinC 时成立.不等式(1)即三角形中著名的 Wolstenholme 不等     

隐含条件不可忽略

数学命题中的隐含条件常常容易被学生忽略,故而导致解题错误。 例1.已知关于x的方程mx~2-2(3m—1)x gm-1=0有两个实根,求m的范围。 错解 ∵方程有两个实根, ∴△≥0。 即△=[2(3m—1)]~2-4m(9m-1)≥0, 4(-5m 1)≥0, m≤1/5。 分析 根据方程有两个实根隐含条件:此     

应用a b≥2(ab)~(1/2)中的常见错误

不等式a b≥2(ab)~(1/2)是中学数学中一个用得很广的基本不等式,但在应用中常见一些错误,现举几例. 一、忽视了a b≥2(ab)~(1/2)成立条件而导致的错误例1 设a、b、c为正数,求证(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 错误证法: ∵a b c=(a b-c) (b c-a) (c a-b)>0 ∴(a b-c) (b c-a) (c a-b)≥3((a b-c)(b c-a)(c a-b))~(1/2) 即(a b c)~3≥27(a b-c)(b c-a)(c a-b) 分析:虽a>0,b>0,c>0,但a b-c,b c-a,c a-b不一定都大于0,而x y z≥3(xyz)~(1/2)的中x、y、z必须都大于0.     

非负数的应用

<正>零和正数统称为非负数.初中数学中常见的非负数有:(1)实数的绝对值:若a为任意实数,则|a|≥0.(2)算术平方根:a^(1/2)≥0(a≥0).(3)实数的偶次幂:若a为自然数,则a(1/2)≥0(a≥0).(3)实数的偶次幂:若a为自然数,则a⁽²ⁿ⁾≥0.(4)任何数的平方s(2n)≥0.(4)任何数的平方s²≥0.非负数的重要性质有:(1)若干个非负数的和为0,则其中的每一个数都为0.即:若a_1≥0,a_2≥…,a_n≥0,     

巧解一类不定方程

题目:求不定方程的整数解。解设(x+y)~(1/2)=m,则(x+m)~(1/2)=y,即.与原方程比较,得y=m.即y≥0,故x≥0,命(1+4x)~(1/2)=2n-1,则     

解分式方程方法因题而异(初二)

1.用倒数换元例1 解方程x2-x-12/x2-x-4=0. (2001年哈尔滨中考) 解设x2-x=y,则12/x2-x=12/y,于是原方程化为 y-12/y-4=0,变形得 y2-4y-12=0,解得 y1=6,y2=-2, 当y1=6,即x2-x-6=0时,解得 x1=3,x2=-2; 当y2=-2时,即x2-x+2=0时,△<0,此方程无实数根.     

谁的解法正确

题目:当k为何值时,方程(k2-1)x2+2(k+1)x+1=0有实数根?四位同学采取了如下四种不同的解法。甲的解法:∵△=[2(k+1)]2-4(k2-1)=8k+8.∴当8k+8>0,即k>-1时,方程有实数根。乙的解法:∵△=8k+8,∴当8k+8≥0,即k≥-1时,方程有实数根。丙的解法:∵△=8k+8,依题意有:k2-1≠08k+8≥0解之得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有实数根。丁的解法:分别讨论k2-1≠0与k2-1=0两种情:(1)设k2-1≠0,依题意有k2-1≠08k+8≥0解得:k≠±1,k≥-1∴当k>-1且k≠1时,方程有两个实数根;(2)当k=1时,原方程为4x+1=0,有一个实数根;(3)当k=-1时,原方程为0·x+1=0,方程…     

数学奥林匹克初中训练题(47)

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.已知lz、儿z均为实数,z>0,.y>0,且n=!芝_二型一∑兰一二__丛,6=z—y.贝0下 置 j>面的结论中必定成立的是( ). (A)若z<∥,则盘≥6 (B)以≤6 (C)以≥6 (D)若z0)有不相等的实数根的口的取值范围是( ). (A)00 (D)以≥1 3.在等腰△ABC中,顶角么BA(:=100~,延长AB到D,使AD=BC.则么BCD=( ). . (A)10。 (B)15。 (C)20。 (D)30。 4.给出方程甲:z。 plz ql=0,方程乙:z。 p2z _q2=0,其中pl、p2、q1、q2均为实数,且满足p,p2=2(q。 q:)…     

字母系数要细分析(初三)

例1已知二次函数y=ax~2-3x-3的图象与x轴有交点,求实数α的取值范围。解由△=(—3)~2—4×α×(—3)=9 12α≥0,得α≥-3/4。分析虽然考虑了题中二次函数图象与x轴有交点的明显条件“△≥0”,但忽略了二次函数的二次项系数不为0的隐含条件,正确解答是     

两个含余弦函数的三角母不等式及其推论

<正>笔者最近得到两个含余弦函数的"三角母不等式",然后利用它们给出一些有趣的三角子不等式,供读者欣赏.定理1在任意△ABC中,若A≥B≥C,且实数x,y,z满足x≥y≥z及y≥0,则有x+y+z≥2(xcosA+ycosB+zcosC)(*)证当A≥B≥C时,此时就有1/2-cosA≥0,同时1/2-cosC≤0,又设不等式(*)左右之差为M,那么     

例谈数学中考新题型——开放题

教育部在中考改革的《指导意见》中指出:数学考试“应设计一定的结合现实情境的问题和开放性问题”。开放题具有答案不唯一的特征,它有利于考生发挥创新能力.因此,开放题受到普遍重视,成了各地数学中考试卷中的重要新题型.例1(江西2004年)已知关于x的方程x2-2(m+1)+m2=0.(1)当m取什么值时,原方程没有实数根;(2)对m选取一个合适的非零整数,使原方程有两个实数根,并求这两个实数根的平方和.分析(1)当△<0时,方程没有实数根,可求得m<-1/2(2)要使方程有实数根,必须要有△≥0,由(1)即知须有m≥-1/2.但要取非零整数m故,m可选1或2等正整数.     

把这项工程看做12份

[例] 若椭圆x2/4+y2=1和(x-1)2+y2=r2(r>0)有公共点求半径r的取值范围. 分析:首先我们来看此题的一种错误解法:若两曲线有公共点,则方程组有实解,消去y2即方程3x2-8x+8-4r2=0有实数根.     

asinx+bcosx=c的判别式及其应用

已知方程 asinx+bcosx=c。①其中a、b、c都是给定的实数,且a、b不同时为零,x∈[x_0,x_0+2π),x_0是任一固定常数。设△=a~2+b~2-c~2,则当△>0时,方程①有两个不相等的实数根; 当△=0时,方程①有两个相等的实数根; 当△<0时,方程①没有实数根; 证明∵a、b不同时为零, ∴(a~2+b~2)~(1/2)≠0。∴sin(x+φ)=C/((a~2+b~2)~(1/2))。②(其中φ是辅助角,a≠0时,tgφ=b/a;b≠0     

注意题目中的隐含条件

有些题目,同学们看似简单,却往往忽视了题目的隐含条件,造成解题的错误.本文就有关韦达定理和判别式的应用来加以说明. 例1 已知关于x的方程(k-1)x2+2kx+k+3=0,有两个不相等的实数根,求K的取值范围. (1998年扬州市中考题第22题) 错解.∵原方程有两个不相等的实数根,∴△>0,即 (2k)2-4(k-1)(k+3)>0,解得k<3/2. 评析结果显然是错误的,它忽视了一元二次方程     

一道竞赛试题的推广

题 (1993年全国高中数学联赛试题)设实数x、y满足4x~2-5xy4y~2=5,设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/(S_(min))=____·(答:8/5) 贵刊文[1]推广为:设实数x、y满足ax~2-(a 1)xy ay~2=a 1,(其中a>1或a<-(1/3),a≠-1),设s=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S-(min))=2a/(a 1) 本文将在文[1]的基础上作一点改进,给出更为一般的推广命题的两种解法. 命题 实数x、y满足Ax~2 Bxy cy~2=D(其中B~2<4AC,D>0),设S=x~2 y~2,则(1/S_(max)) (1/S_(min))=(A C)/D.(1)×S-(2)×D得(AS-D)x~2 BSxy (CS-D)y~2=0. 由题设知y≠0,∴(AS-D)(x/y)~2 BS(x/y) (CS-D)=0,∵x/y∈R,∴△=(BS)~2-4(AS-D)(CS-D)≥0. 即(B~2-4AC)S~2 4D(A C)S-4D~2≥0.又因B~2-4Ac<0,若记S_1相似文献