立体几何中构造反例的几点思考

众所周知,立体几何教学中会遇到很多似是而非的命题,常需要构造反例否定这样的命题．构造反倒的过程,能够培养学生严密的逻辑思维能力,丰富的空间想象能力,从而培养学生的创造能力,所以立体几何教学中应注意构造反倒．1运用常见的几何体构造命题1：“a,b是两条异面直线,过不在a,b上任意一点,都可作一条直线与a,b都相交．”判断此命题的真假答是假命题．构造如图1正方体ABCC－A1B1C1D1,直线AB与CC;是两条异面直线,P是CD上任意点（PAB,P蓬CC1）．过P作直线l与AB相交,则l平面ABCD．又l与CC1相交,此时l必过C点,…     

初中数学中的反例

我们知道，要证明一个命题正确，必须经过严密的推理证明，而要否定一个命题却只要能举出一个与结论矛盾的例子就行。例如，要想说明：“如果ａ２＞ｂ２，那么ａ＞ｂ”的结论不成立，只要举出一个相反例子驳倒它就行了。因（－２）２＞０２，而－２＜０，故这个结论不成立。这种与命题相矛盾的例子称为反例。１　反倒是简明有力的否定方法利用反例否定一个命题是十分简明而又极具说服力的。义务教育初级中学课本浙江版数学第一册中，有许多众所周知的命题，都被反例所否定。对于“一个数的绝对值一定是正数”被这个数是零所否定；“两个有理…     

关于“一对三角形”的若干命题及反例法判断

<正>中考命题中出现一对三角形的问题不多.命题时想要出新意,可以从这个方面考虑.本文归纳了若干相关的精彩命题,从全等、相似或面积等角度分析,构造出否定的反例.供同行品鉴.图1例1在△ABC和△A1B1C1中,已知AB=A1B1,BC=B1C1,∠BAC=∠B1A1C1=70°.试问:△ABC与△A1B1C1全等吗?为什么?分析对于这个问题,若命题正确,必须给出证明;若命题不正确,只需举一个反例即可.由于题设不满足三角形全等判定定理,可通过构造反例来否定结论.     

构造反例的若干途径

一个数学命题，要断定它是错误的，只要举出一个满足命题条件而结论不成立的例证，就足以否定这个命题．这样的例证就是通常意义下的反例．在数学推理中,构造反例与提出证明一样，是一项积极的创造性的思维活动，二者具有同等重要的作用．学会构造反侧是数学爱好者必须掌握的技能，也是培养能力的重要手段，它不仅对加深记忆，深入理解定义、定理或公式等起着重要作用，同时也是纠正错误的常用方法．本文将通过若干典型问题的分析，介绍一些常用的构造反例的方法．1．通过对集合的分类和讨论发现反例一个似真似假的命题，往往是由于分类不全…     

丹尼尔·剪拼题·空间想象能力

198 2年美国中学生数学竞赛中出现了一个“事故” .命题人给出了一个问题 (见例题 ) ,这次竞赛全美国有 83万名中学生参加 ,命题专家和绝大多数考生都认为其中一个问题的正确答案是 7个面 ,但一位名叫丹尼尔的学生的答案是 5个面 ,他的答案被评卷委员会否定了 .但丹尼尔没有被权威压倒 ,他坚信自己的答案是准确的 ,并提出申诉 .有关数学家仔细研究后发现竟然是丹尼尔正确 !这个问题如下 (略有改编 ) .例　如图 1,已知左图中正四面体的棱长为 1,右图中正四棱锥的棱长均为 1,将左图与右图中的平面ACD重合 ,则所得多面体是面体 .解　 (1)如图…     

关于“取值范围”讨论之我见（再续）

2．2．2推出“例1的选项不应是D”的过程存在含糊和无效推理对于文献[1]的第2步,大家最容易发现的是：用一个“反例”得出“命题1与命题2不等价”有问题,其实第2步是在第1步“三个含糊”的基础上展开的,它的全过程都可以提出问题,如：怎样将“取值范围”的命题改写为等价不等式？     

平行四边形判定正误谈

初中几何第二册146页B组第三题“一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形吗？为什么？”学生们常会答“是平行四边形”。就是有些学生答“不一定是”,也很难举出反例。举反例方法一：如图;所示（1）画等腰凸ABC,（2）在BC上取一点E,使BE＞EC,连结AE,形成ZEAC,勺）以E为顶点,AE为一边作／AED一／EAC,且ED一AC,连结AD。形成四边形ABED。用“SAS”可证凸AEDeq凸EAC,故／C一／D,又因／B一ZC,则ZB一／D,ED一AC—AB,但显然四边形ABED不是平行四边形。方法二：如图。所示（l）画等腰梯形ABCD,…     

如何合理构建反例

当学习一个新的数学命题(定义、定理、公式等)时,常常可用反例去加深对命题的理解;若要否定一个命题,最简单的方法是找一个反例;当命题的条件改变一下,结论会有什么影响?能否将命题的结论推广延伸等等,这时反例也常会有用武之地．但对学生来说,因习惯了长期的正面推证,对构建反例普遍感到陌生甚至为难,所以在教     

谈谈举反例

在数学论证中,我们常常用到举反例的方法。我认为,运用这种论证方法,有下面三个好处:一、举反例可以加深对定义、定理的条件的理解,澄清模糊认识。例如:棱台的定义——一棱锥被平行于底面的平面所截,夹在平面与底面间的部分叫棱台。有人提出了这样的问题:有两面平行,其它各面都是梯形的多面体是棱台吗?我们举一反例就可明白。如图一,这个多面体属于上面提到的一类,但根据定义它却并不是棱台。     

举反例摭言

在研习数学的过程中,常需对定理或者习题举出反倒,这有利于对概念与定理的正确理解及对问题的深入钻研。在历史上与现代数学的发展中,均可看到举反例的重大作用。(一)什么是举反例反例者,反驳之例也,与命题结论不尽相同之例也,反例只需一个,足使命题不真,促使人们去创建新命题或修订原命题。举反例与反征法不同:“反征法”的过程是:由否定原     

巧用反例 事半功倍

《数学课程标准》指出,要让学生通过具体的例子理解反例的作用,知道利用反例可以证明一个命题是错误的．所谓反例,是指符合命题的条件,但不符合命题的结论的例子,具有简明、直观、说服力强等优点,在数学教学中具有不可替代的作用．恰当地运用反例进行教学,引导学生从反面去思考问题,将有助于学生数学素养的提高,使教学达到事半功倍的效果．下面,笔者将结合自己的教学实践和体会,从反例出现的形式出发,来谈一谈如何做到“巧用反例,事半功倍”．     

巧用相似三角形证线段倍半关系

证明线段倍半关系是常见的几何证明．常用的方法是；作一线段等于短线段（或长线段）的2倍（或一半），然后证明这条线段等于长线段（或短线）．这样的一类问题如果利用相似三角形去解，可使证明方法更简便．例1在凸ABC中，AB—ZAL？，AD平分，————‘＿，＿＿。＿、＿＿＿l＿＿／BAC，P是AD的中点．求证：PC一青BD．———““—”“——““—”“’‘””””“”“”—－2——一分析若用全等三角形来证，可以将线段折半．取BD的中点E（见图1）证凸PEDgy凸ACP来完成．或过P作PE斤BD交AB于E（见图2），通过证凸APE公凸…     

反例在数学中的教学价值

数学中要判断一个命题是正确的,必须经过严密的论证,而要说明一个命题是错误的,只需举出一个与结论相矛盾的例子就行了。如要否定“两个虚数之和仍为虚数”,只要举出(3 2i) (1-2i)=4就可以了,这种与命题相矛盾的例子在数学上称为反例,下面笔者根据多年来的教学实践就反例在数学中的教学价值略谈浅见。     

关于求“X的解集是X”的否定

不久前，[1]曾谈及这样一类题目：已知命题“方程X(或不等式X)的解集是X”，求这一命题的否定．由于这一类题目当前仍可见于某些复习资料，而且数量虽少，给学生们和任课教师们带来的问题却很多，本拟对之略表拙见．     

试谈“反例”在习题教学中的运用

所谓“反例”,泛指反面的例子,有的甚至是错误的例子．这些反例在习题教学过程中如果运用得好,既可活跃课堂气氛又可加深对概念规律的理解,还能发展学生思维能力．下面笔者就如何在习题教学中运用“反例”谈一点肤浅的体会．一、以对比的形式给出反例,排除旧知识对新知识的干扰．例１　如图１所示,在水平高台上有一辆图１汽车以速度ｖ向右运动,并通过绳子拉着水平地面上的拖车,使拖车沿着地面向右运动．当绳子与地面成θ角时,拖车的速度ｖ′为多少？不少学生得出ｖ′＝ｖｃｏｓθ的错误结论,出错的根源在于受“力的分解”思维模式…     

用万能求积公式解历年高考求积题

1．从1999年的一道选择题谈起 1999年普通高等学校招生全国统一考试数学试题的第10小题是一道关于求一个多面体体积的选择题．原题是这样的：如图1,在多面体ABCDEF中,已知面ABCD是边长为3的正方形。     

《广义正定矩阵》一文的错误

本文首先给出一个反例，否定了“广义正定矩阵”一文中的“命题４，推论１及定理３”，再给出其中“定理５”的正确证明     

浅析“反例”在几何教学过程中的重要作用

命题有真有假,要说明一个命题是真命题,并不是一件容易的事,有些命题的正确性只能靠实践来检验,并总结出来,有些命题的正确性可以靠逻辑推理来证明。而要说明一个命题是假命题只需要举一个反例足矣!所谓反例,就是它符合命题的题设,但不满足命题的结论的例子。可以这样说:数学由两个大类——证明和反例组成,而数学发现也朝着两个主要目标——提出证明和构造反例来进行。举“反例”占了数学的另一半!就初中几何而言,如何证明几何题,教材、教师都予以了足够的重视,而利用构造反例来说明一个命题是假命题,就略显薄弱些。下面就来看看这几个反例…     

数学教学中反例的构造法

要肯定数学命题的正确性,就必须进行严格的数学证明或正确的数字运算;要说明一个命题是假的,只要举一个例子予以否定即可,这个例子就是所谓的反例.因此,构造反例同证明具有同等的重要地位．那么,构造反例有没有一般方法呢？如果有,它的一般方法又是什么呢？本文试图从几个不同角度予以分析、回答．所谓构造反例,就是要举一个例子说明条件命题“A→B”为假,在这个例子中,要求条件A为真,结论B为假,即由A真不能导致B真．     

怎样理解“证明”

判断一个命题的正确与否，不能单靠观察、测量、实验或猜想．因为观察、猜想未必可靠，测量和实验误差在所难免．因此，一个命题的正确性必须经过有理有据的推理和判断才能得以证实，也就是必须经过证明．什么是证明呢？证明就是运用已知正确的命题（如公理、定理、定义、法则等）来判断一个命题真实性的逻辑过程．证明一个命题是假命题时，没有必要说明结论对任何情况都不成立，只须举一个反例即可，有时反例不止一个，证明时可任选一个．例如：“相等的角是对项角”，证明这个假命题时，反例很多，可仅举一个：如∠1和∠2是两条子行线被第…