一类不等式的统一证明

利用多元函数求条件极值的方法证明一类不等式。     

一类分式不等式的统一证明

本文先证明一个代数不等式,然后应用这个不等式给出一类分式不等式简捷、统一的证明.     

一类不等式竞赛题的统一证明

若有一个人每次最多只能跳5米远,有一条河,河宽6米,此人想通过一系列的跳跃,从河的一边跳到另一边,则某个时刻,他一定落人河中．     

一类条件不等式的证明策略

条件不等式的证明方法多种多样,各有特色。对于某些条件不等式,可以通过分析其数量特征和结构特征,引进参数,以便改变问题的结构,沟通各类问题间的联系,然后运用转化问题的思想加以证明。一、引进参数,使便于利用基本不等式例1 已知a>0,b>0,a+b=1,证明:(a+1/a)~2+(b+1/b)~2≥25/2。分析怎样才能利用本题的已知条件呢?通常会想到用b=1-a代入,但这样做显然繁杂。分析数量特征,引入参数t,令 a=t/(t+1),b=1(t+1),这里参数t∈R~+,而改变其结构,转化为易于使用基本不等式的问题,然后便可简捷证出。     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

一类条件不等式的统一证法

先看下面不等式的证明过程:设x、y、z是非负实数,且满足x+y+z=1,求证:4(xy+yz+zx)-9xyz≤1。 证明:由对称性,不妨设x≥y≥z,则0≤z≤1/3,进而知4-9z>0。     

一类分式不等式的统一证明及推广

分式不等式是一类重要不等式,在各类竞赛和自主招生试题中时有出现。本文从一个简单不等式出发,探究了一类分式不等式的统一证明,并将这些不等式做了一些推广,作为课程补充资源供大家参考。     

再谈一类分式不等式的统一证明

文[1]、[2]、[3]通过不同方法分别证明了一类分式不等式．笔者研读之余加以探索,发现通过构造函数,利用函数的凸性也能证明这类问题,首先给出两个常见的结论．     

用统一初等方法证明一类重要不等式

如所周知,柯西不等式、赫尔德不等式、闵柯夫斯基不等式以及加权平均不等式等是一类重要不等式。这些不等式用初等方法证明大都比较冗繁且方法各异。如文〔1〕中闵氏不等式的证明用了三个引理,文〔2〕中加权平均不等式的证明则须分别对正整数、正有理数、正实数三种情况逐一讨论。那么能否找到一个统一的、简短的、初等的方法证明这类不等式呢?答案是肯定的。以下将给出这一方法。     

一类条件不等式的一种代换证明

<正>对于或可化为条件为A+B+C=1(A,B,C>0)一类条件不等式的证明,其方法灵活多样且没有固定、统一的方法,本文介绍一种代换证法,可有效地证a b明这类不等式,即可令A=a/(a+b+c),B=b/(a+b+c),C=c/(a+b+c)(a,b,c>0),这样就可将所证不等式转化为关于三元a,b,c的一个无条件约束的代数不等式从     

一类不等式的证明

不等式的证明历来是高考热点问题,其中有一类是与数列的前n项和有关的问题.形如∑i=n1ai>f(n)或∑i=n1aic可以先证a>b,即将a缩小到…     

一类不等式的证明

近年来,在一些竞赛和自主招生考试的试题中,经常可以看到含有min{x,y,…}或max{x,y,…}的不等式。这类问题综合性强,解法灵活多样,不少学生感到无从下手。本文举例说明这类不等式的证明策略,供读者参考。     

一类不等式的证明

先考虑一个例子. 若a、b、。均为正数,求证: (a+b+。)(a‘+b‘+e.) )(a,+bs+口,)(‘B+b.+e.). 证:因为(a一b)(a一护)》。, 所以a.+b岛>ab(a+b). 同理, b.+口,》b。(b+e),ea+a.)鸽(c+“). 由此知, ab(a.十b.)+b口(b.+。.)+ca(。.+as) 夯a,b,(“+b)+b,尸(b+e)+沪a,(口+。), 上式两边同加上矿十护十沪再分解因式,神得 (a+b+口)(。‘+b.+沪) >(a,+b,+沪)(a,+bs+沪). 显然,不等式中的等号当且仅当a二b=。时成立. 下面我们将给出这一类问题的一般性结论: 定理:设内(唇=1,2,…,哟均为正数,。、k、犷、s均为实数且满足。十k=犷+s及。>护)s>希,则(aT…     

用分式代换法证明一类条件不等式

对于满足条件a b=1,a b c=1或a b c d=1(这里a、b、c、d∈R~ )等类型的条件不等式,采用一些分式代换技巧,往往可收到简洁自然的效果,请看下面几个例子:     

用拆项法证明一类条件分式不等式

对于一类条件为a >1,b >1,c >1的分式不等式 ,可借助“拆项法”及平均值不等式 ,予以统一巧证 .拆项法 1　a =(a - 1) + 1.此时有a≥ 2 (a - 1)·1.例 1　设a >1,b >1,求证 :ab - 1+ ba - 1≥4 .证明　 ab - 1+ ba - 1≥ 2 (a - 1)·1b - 1+ (b - 1)·1a - 1≥ 2·2 a - 1b - 1· b - 1a - 1=4 .意外收获 aa - 1+ bb - 1≥ 4 ;aa - 1+ bb - 1+ cc - 1≥ 6 ;ab - 1+ bc - 1+ ca - 1≥ 6 ;ac - 1+ ba - 1+ cb - 1≥ 6等 .细心推敲 ,还不难获得如下 :推论 1　若ai>1,i=1,2 ,3,… ,n ,n∈N ,则a1a2 - 1+ a2a3- 1+… + an- 1an- 1+ ana1- 1≥2n …     

一类有关和的不等式的统一证明及推广

关于和的不等式在各类数学竞赛中频频出现，拜读了余红兵教授《关于和的不等式》一后受益匪浅．但对于中所说“在证明∑ai〈0时．可采用下面策略：对i=1,2,…，n．将每个单项ai放大至适当的bi，使得b1,…，bn的和b1＋…＋bn易于处理．且结果为0或不大于0，这一原则将“单项”与“整体”相结合，应用最为广泛．但怎样放大ai却并无简单的规则．得视具体问题而定．”对这一观点笔有不同的意见，经研究发现许多和的不等式按这种思路还是有统一的规则，能自然而简捷地解决，为此我们先证明如下定理．     

构造函数证明一类不等式

本给出了构造函数证明不等式的三种常用方法：1.利用二次函数f(x)=ax2 bx c的性质；2.利用函数的单调性；3.利用函数的凸凹性。     

构造函数证明一类不等式

本文给出了构造函数证明不等式的三种常用方法： １．利用 一次函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ２＋ ｂｘ＋ｃ的性质； ２．利用函数的单调性；３．利用函数的凸凹性。     

一类不等式及其证明

文 [1 ]有如下两个不等式 :已知a、b∈R ,a b =1 .则43≤ 1a 1 1b 1 <32 ,①32 <1a2 1 1b2 1 ≤85.②经研究 ,笔者发现式②可推广为命题 1　若a、b∈R ,a b =1 ,n∈N ,n≥2 ,则32 <1an 1 1bn 1 ≤ 2 n 12 n 1 .③证明 :先证明式③左边的不等式 .当n =2时 ,