多种方法求一道生活实际问题的最值

<正>题目由沿河城市A运货到城市B,B离河岸最近点C为30km,C和A的距离为40km,如果每千米运费水路比公路便宜一半,如图1所示,计划沿BD修一条公路,请你算一算AD间的距离是()时,运费最低。解法1:不妨设每千米水路运费为1,则每千米公路运费为2,再设A和D之间的距离AD=x,运费为y,则由题意得y=     

初二代数1989/1988学年第一学期期终试题

一、选择题(每小题3分,共45分) 1.无理数是( ).(A)无限小数;(B)开不尽方的数;(C)有限小数;(D)不能用既约分数表示的数。 2.已知13.5~(1/2)=3.674,-x~(1/2)=-0.03674,则x=( ).(A)0.135;(B)1350;(C)0.00135;(D)-0.00135. 3.64~(1/2)的立方根的平方根是( ).(A)±2;(B)±2~(1/2);(C)2~(1/2);(D)-2~(1/2). 4.若a>0,x<0,则化简(-ax~3)~(1/2)= ( ).(A)x ax~(1/2)(B ) x (-ax)~(1/2);(C)-x ax~(1/2);(D)-x (-ax)~(1/2). 5.当x<1时,|x-((2-x)~2)~(1/2)-2|x-1||     

2004年数学高考冲刺卷（五）

一、选择题:本大题共1 2小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1 已知映射f:A→B ,其中A =B =R ,对应法则f:y =-x2 2x ,对于实数k∈B ,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是(　　)(A)k>1　　　　　(B)k≥1(C)k <1 (D)k≤12 点M是圆(x-5 ) 2 (y -3 ) 2 =9上的点,则点M到直线3x 4y-2 =0的距离的最小值是(　　)(A) 9　　(B) 8　　(C) 5　　(D) 23 已知x、y∈R且x2 y2 -2x≤0 ,则(　　)(A)y2 >2x　　　　(B)y2 <2x(C)y2 ≥2x (D)y2 ≤2x4 设f(x)为偶函数,对于任意的x >0 ,都有f(2 x) 2f(2…     

椭圆与双曲线的一个重要性质

已知ABC的3个顶点都在⊙O上,且A,B两点关于圆心O对称.设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则有k1k2=-1.通过类比的分析,易证对椭圆、双曲线亦有类似的结论.命题已知ABC的3个顶点都在椭圆x2m+yn2=1上,且A,B两点关于原点O对称,设直线AC的斜率为k1,直线BC的斜率为k2,则k1·k2=-mn.证明设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),又设C(x2,y2),则由点A、C在椭圆上得x12m+yn21=1,①x22m+yn22=1.②②-①,得(x2-x1)m(x1+x2)+(y2-y1)n(y1+y2)=0.∴yx22++yx11·xy22--xy11=-mn.又k1=xy22--yx11,k2=xy22++xy11,∴k1·k2=-mn.例设M是椭圆C:1x22+y42=1上的…     

由一道抛物线最值问题受到的启发

题目:定长为3的线段AB的端点A、B在抛物线y=x2上移动,求AB的中点M到x轴距离的最小值.某同学对此题有以下两种解法.解法1:设A(x1,y1)、B(x2,y2)、M(x0,y0),x1≠x2,则由中点公式得,y0=y12 y2=x212 x22≥-x1x2.当且仅当x1=-x2(不妨设x1>0,x2<0),即A、B为抛物线上关于y轴对称的两点     

数学问题和解答

1.设f(x)=(1 3~(1/2)x)/(3~(1/2)-x),f(x_0)=1982,x_(n 1)=f(x_n)(n=0,1,2,…)求x_(1981)。 (桐城师范高杰提) 2.如图,正方体ABCD—A′B′C′D′的棱长为a,(1)求异面直线A′B和AC所成的角。(2)A′B和AC间的距离=?(3)A′B和AC 的公垂线     

2005年陕西省初中毕业生升学考试数学试题

第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分,共30分.每小题只有一个选项是符合题意的)1.A为数轴上表示-1的点,将点A沿数轴向右平移3个单位到点B.则点B所表示的实数为).(A)3(B)2(C)-4(D)2或-4图12.如图1,P为正ABC外接圆上一点.则∠APB为().(A)150°(B)135°(C)115°(D)120°3.化简x22-x4-x1-2的结果是().(A)x1+2(B)x1-2(C)3xx2--42(D)3xx2+-244.一件商品按成本价提高40%后标价,再打8折(标价的80%)销售,售价为240元.设这件商品的成本价为x元.根据题意,下面所列的方程正确的是().(A)x·40%×80%=240(B)x(1+40%)×80%=240(C)240×4…     

圆心位置 不容误断

在解与圆有关的问题时,如果错误地判断圆心的位置,就会导致错解或漏解.为使同学们尽量减少乃至避免这方面的错误,现以如下几题为例进行分析说明.一、误断圆心位置而导致错解例1半径为9的⊙O内有一内接等腰三角形ABC,其底边上的高AD与一腰的和为20.求AD的长.错解:如图1,由题设可知A、O、D三点共线.延长AD交⊙O于E,连结BE.设OD=x,则AD=9+x,DE=9-x,所以AB=20-AD=11-x.又因为AD⊥BC,由勾股定理,得BD2=AB2-AD2=(11-x)2-(9+x)2=40-40x.由相交弦定理,得BD2=AD·DE=81-x2,所以40-40x=81-x2,即x2-40x-41=0.解得x1=41,x2=-1(舍去),…     

数学奥林匹克高中训练题(52)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.k∈R,方程x~4-2kx~2 k~2 2k-3=0的实根x应满足( )。 (A)-1≤x≤1 (B)0≤x≤2~(1/2) (C)-2~(1/2)≤x≤2~(1/2) (D)-2~(1/2)2≤x≤0 2.设a>0,a≠1,函数f(x)=log_a|ax~2-x|在[3,4]上是增函数。则a的取值范围是     

一道考题的解答评析

在一次考试中有这样一题,A、B 两村在河岸 CD的同侧,它们到河边的距离分别为 AC=3公里,BD= 5公里,CD=6公里,如图所示,现在要在河岸 CD 边建一水厂,向 A、B 两村送水,铺设水管的工程费用为     

数学竞赛单元训练题(高中) 集合及其运算

一、选择题1 .已知集合A ={x|x =12 kπ π4,k∈Z},B={x|x =14kπ π2 ,k∈Z},则 (　　 ) .A .A =B　　　B .A BC .A BD .A∩B = 2 .设集合P ={x ,1 },Q ={y ,1 ,2 },其中x ,y∈{1 ,2 ,… ,9},且P Q .将满足这些条件的每一个有序整数对 (x ,y)看做一个点 ,这样的点的数目是(　　 ) .A .9　　　B .1 4　　　C .1 5　　　D .2 13 .有一个含三个正整数元素的集合 {a ,b ,c},若a×b×c =2 3 1 0 ,则这样的集合个数为 (　　 ) .A .3 6　　　B .43　　　C .45　　　D .464.已知集合M ={(x ,y) |x y =2 },N ={(x ,y) |x -y =4},…     

一个运输问题的解题策略及启示

如图1,由A地运货到B城,先走一段水路AD,再走公路DB;已知每吨货物每千米水路运费与公路运费之比为3:5,且B城与水路的垂直距离BC=20km;水路长AC=100km,问转运码头D应建在何处可以使运费最省?     

用“三法”求一元二次方程两根非对称代数式的值

设一元二次方程ax2+bx+c=0的两根是x1、x2,要求不解方程,我们能够熟练地求出关于x1、x2的对称代数式(如x_1~2+x_2~2、x_1~3+x_2~3、1/x1+1/x2、(x1-x2)2、|x1-x2|等)的值.对含x1、x2的非对称代数式的值的求法,现举例介绍三种转化的方法:例设x1、x2中二次方程x2+x-3=0的两个根,那么x_1~3-4x_2~2+19的值是( )(1996年全国初中数学联赛)(A)- 4.(B)8.(C)6.(D)0.解法1:(配偶转化法):设A=x_1~3-4x_1~2+19,B=x_2~3-4x_1~2+19.∵x1、x2是方程x2+x-3=0的两根,∴x1+x2=-1,x1·x2=-3.     

双曲线的几个有趣性质与应用

笔者最近对双曲线的准线作了些研究,得到了几个十分有趣的性质,供读者参考.定理1　设直线l经过双曲线x2a2 - y2b2 =1 ( a >0 ,b >0 )的焦点F,l交双曲线的两条准线于A,B两点,O是双曲线的中心,e是离心率,l的倾斜角为θ(θ∈( 0 ,π) ) ,则OA⊥OB的充要条件是sinθ=1e2 .证明　由对称性,不妨设l的方程为y= k( x - c) (其中k =tanθ) ,分别与x =- a2c 和x =a2c联立,解得两交点A( - a2c,- a2 c2c k) ,B( a2c,a2 - c2c k) ,故OA⊥OB x A.x B y A.y B=0 ,即a4 k2 ( a4-c4) =0 ,或1 k2 ( 1 - e4) =0 .把k2 =tan2θ代入,即得sin2 θ=1e…     

一元二次方程综合评价

一、训练平台1.已知4是关于x的方程3x2-4a=0的一个解,那么2a-19的值是()A.3B.4C.5D.62.方程2x(x-3)=5(x-3)的根是()A.x=25B.x=3C.x1=3,x2=25D.x1=-52,x2=-33.已知(k2 1)x2 x k2-k=0是关于x的一元二次方程,则k的取值范围是()A.k=0B.k≠0C.k≠±1D.k是任意实数4.若一元二次方程ax2 bx c=0(a≠0)中的二次项系数、一次项系数、常数项之和是零,则该方程必有一根为()A.0B.1C.-1D.±15.下列方程没有实数根的是()A.4(x2 2)=3x B.5(x2-1)-x=0C.x2-x=100D.9x2-24x 16=06.已知x1,x2是方程x2-x-3=0的两根,那么x21 x22的值是()A.1B.5C.7D.4497.…     

安徽省2004年初中升学统一考试数学试题

一、选择题 (本大题共 1 0小题 ,每小题 4分 ,共40分 )1 .-2的相反数是 (　　 ) .A .12 　　B .-12 　　C .-2　　D .22 .x -( 2x -y)的运算结果是 (　　 ) .A .-x y　　　B .-x -yC .x -y D .3x -y3 .“神舟”五号载人飞船 ,绕地球飞行了 1 4圈 ,共飞行约 5 90 2 0 0km ,这个飞行距离用科学记数法表示为 (　　 ) .A .5 9.0 2× 1 0 4 km　　B .0 .5 90 2× 1 0 6 kmC .5 .90 2× 1 0 5kmD .5 .90 2× 1 0 4 km4.下列多项式中 ,能用提公因式法分解因式的是 (　　 ) .A .x2 -y B .x2 2xC .x2 y2 D .x2 -xy y25 .方程x2 -3x 1 =0…     

点到直线距离公式证法综述

在学习了点到直线距离公式后 ,总觉得课本上对这一公式的证明比较繁琐 .其实 ,这一公式还有多种证法 .设P(x0 ,y0) ,L :方程Ax +By+C =0(A ,B不同时为零 )当A =0或B =0时公式显然成立 ,因此 ,这里只证明A ≠ 0 ,B≠ 0时的情况 .已知 :P(x0 ,y0 ) ,L :Ax+By +C =0(A ≠ 0 ,B ≠ 0 ) ,求证 :P到L的距离d =｜Ax0 +By0 +C｜A2 +B2 .证法一 :过P点作L的垂线交L于Q(x1 ,y1 ) ,则kPQ =BA∴ x1 -x0y1 -y0=AB ①∵Ax1 +By1 +C =0 ,∴将其变形为A(x1 -x0 ) +B(y1 -y0 )=-(Ax0 +By0 +C) ②联立①②得 :x1 -x0 =-A(Ax0 +By0 +C)A2 +…     

抛物线内接三角形的若干性质

文[1]给出了抛物线内接等腰三角形的一个性质,本文给出抛物线内接三角形的若干性质.定理1抛物线y=ax2 bx c如果与x轴有两个交点A、B,与y轴的交点为C,则kACkBC=k的充要条件是ac=k.(k0,所以抛物线与x轴有两个不同交点,设为A、B,坐标分别为(x1,0),(x2,0),则kAC=-cx1,kBC=-cx2,kAC.kBC=c2x1x2=c2ca=…     

数学奥林匹克初中训练题(34)

第一试 一、选择题(每小题7分,共42分) 1.方程(x~2-x-1)~(x 10)=1的整数解的个数是( ). (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 2.如果方程(x 7)/(x-1) (1/x)-(4x k)/(x~2-x)=0只有一个实数根(等根视为一根).则k的值是( ).     

对2014年高考山东文科卷压轴题的探究

2014年高考山东文科卷压轴题:在平面直角坐标系中,椭圆C:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为√3/2,直线y=x被椭圆C截得的线段长为4√10/5. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点),点D在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点, (i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积最大值. 本文将本题第(Ⅱ)问第(i)小问作一般化推广,并将结论类比到双曲线.