物理中常见的数学方法应用

本文给出了高中物理中几种常用的数学方法:利用三角函数y=acosα+bsinα求极值,利用二次函数y=ax2+bx+c求极值,利用a+b+c/3≥(abc)1/3,求最值,以及利用分式求极值。     

也谈函数y=(c+bsinx)/(d+acosx)的极值

本刊1989年第6期《关于函数y=(c+bsinx)/(d+acosx)的极值》一文,曾提出两个问题:一、在什么条件下,函数y有极值;二、若函数有极值,那么怎样求极值。并给出该类极值问题的三种解法,读后很受启发。但在全文的论述中,似乎并未涉及问题一,在文末的“注意”中提出的条件,也并非极值存在的充分条件。例如,在函数y=(1+3sinx)/(1+2cosx)中,满足条件|d|<|a|,但它无极值。事实上,点P(-1,-1)位于椭圆     

如何求解有理分函数Y=a_1x~3+b_1x+c_1/a_2x~3+b_2x+c_2的极值

我们知道,求形如梦-a,xZ+乙,x+e,a Zx’+石Zx+cZ(a,,a:不同时为零)且函数定义域为a:工’+西2。‘2年。的实数的函数的极值,是用判别式刁方等实根的充要条件是(朱)2十法,通过求函数的值域,然后求得函数的极值的。例1求函数夕 xZ一x+1一‘xZ十x+1的极值.召1 Cl夕2 cZ欢】·】翻>。· 解:丫又少x任R都有扩+x十1>o,:.函数定义域R.去分母变形为(,一1)护一卜(;+1)x十刀一1二0当夕一1子。即夕铸1时,由x任R得① 刁解之得=(方+1)’一4(夕一z)’》0.告《万(3。当穿=1代入方程①得x二O任R.二函数召的值域为一登(万簇3.故函数的极值为穿。i。=合,…     

巧用数学知识 妙解物理极值问题

求极值的问题在物理题中常常出现，在解这类问题时，一定要注意巧妙地运用数学知识，这样就可以顺利地把某些看似难以解决的问题简便地解决．     

(1+1)(2+1)维Boussinesq方程的新解

本文利用hirot方法求解(1+1)维和(2+1)维Boussinesq方程的新单孤子解,并给出了求双孤子解的方法。     

与二次函数性质有关的竞赛题

数学竞赛中常有与二次函数性质有关的题目，涉及到求表达式、求极值、证明不等式等问题．本拟通过例题介绍解这类问题的常用的数学思想及方法．     

用解析法求解几何图形的极值

在中学解析几何教学中,有时会遇到一些求解几何图形的极值问题。但由于这类问题在教材中很少涉及,因此学生感到解题较困难。事实上,解析几何是用代数方法讨论几何图形性质的学科,因此在求解解析几何的极值问题时,就一定要与前面学过的几何、代数、三角中求极值的方法联系起来,因而解这类问题要求学生     

型为ax~m+b/x~n+c的函数极值解法的推广

《中学数学教学》1982年第二期刊登刘学坤同志的《型为 ax~m+b/x~+c 的函数的极值求法》一文,利用几何平均与算术平均不等式,给出了函数 ax~m+b/x~a+c(其中 a、b、x、m、n 均方正数)的较为简单的极值解法。但是此种方法有局限性,即只有当m/n 或 n/m 之值为正整数时,方可使用,且没有给出函数的极值解(x 的值)。本文将这种方法推广到系数为正实数的一般函数 f(x)     

浅谈隐函数极值的求法

利用极值存在的第一、第二充分条件可以解决显函数的极值问题。下面将通过几个例题来初步探讨利用这二个充分条件解决隐函数的极值求解问题。 例1 试求a~2/x~2+b~2/y~2=1的极值。 解 将x~2/a~2+y~2/b~2=1记作(1)式,易知x、y的取值范围分别     

一类极值问题的特殊解法

在解有关矢量的动态变化时,常遇到这类问题:三个矢量构成一只闭合三角形,其中一个矢量的大小及方向始终不变,另一个矢量的方向始终不变,大小可以变,而第三个矢量的大小、方向均可以变。要求第三个矢量的极值,对于这类极值问题用矢量图分析求解,比常规的求极值方法显得简便、快速。下面举例说明。     

不等式|Z_1|-|Z_2|≤|Z_1+Z_2|≤|Z_1|+|Z_2|与极值

根据复数的模的几何义意,我们常可利用不等式|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|来解一些几何极值问题。利用上述不等式来解几何极值问题,常常是步骤简捷,条理清晰,而且取得极值的条件一般均可由上述不等式中等号成立的条件直接推得,而无需象其他方法那样预先作出某种猜想,然后再对这种猜想作出证明.|z_1|—|z_2|≤|z_1+z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量反向,而|z_1+z_2|≤|z_1|+|z_2|中等号成立的条件是z_1、z_2所对应的向量同向。这在求极值的问题中应特别注意。如果根据问题的实际意义上述不等式中等号不可能成立,则上述不等式     

借助微软Excel，动态分析物理过程——道物理经典难题的数值解

“临界问题”是中学物理中非常经典的一类题型,表现为物体的状态随时间发生变化,当满足某些条件时,物体会处于一个特殊的物理状态,某个或多个物理量取临界值（常见的有“最大值”“最小值”或“零”等等）．在解决这类问题的过程中,学习者往往并不满足于求解临界值本身,同时也会非常关注物理量取得临界值的特殊条件．正是因为如此,学习者或多或少都积累有这方面的数学经验,诸如“一元二次方程求极值”“不等式求极值”“三角函数求极值”“微分法”等等求解析解的办法．然而,     

对形如sinA+sinC的式子取值范围解法反思

在解三角形的知识背景下有一类求解形如sinA+sinC取值范围的问题,它有几种衍生类型如求a+b,a2+b2,sin2A+sin2B的取值范围,在这类问题解决过程中通行的思路,是将表达式统一转化成关于某个角的表达式.但在处理过程要注意两点,首先是要注意减少未知数的个数;其次,是要注意确定代表元素的取值范围.     

构造组合模型求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N*)的正整数解的个数及应用

许多书上求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解都是利用等异元素允许重复的组和数来求的。下面本人用相异元素不允许重复的组和数来求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解。作为特例,先求方程x1+x2+……+x5=7正整数解。构造模型:设有7个小球排成一排,这7个小球之间有6个空,在这6个空中任选4个画上线,则7个小球将分成5部分,比如:摇00｜00｜0｜0｜0这5部分刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=2,x2=2,x3=1,x4=1,x5=1。比如:摇0｜00｜0｜00｜0这5部分也刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=1,x2=2,x3=1,x4=2,x5=1。…     

用判别式法求一类有理分函数极值存在问题及处理办法

对于实数集上有理分函数:y=(ax~2+bx+c)/(a’x~2+b’x+c’)其中分子与分母是互质的多项(或单项式),且a和a’都不为零.关于求这类有理分函数的极值,书(1)中介绍了判别式法求得的y_(max)(极大值)和y(min)(极小值)它们可能都是函数(I)的极值,也可能有一个不是(I)的极值(参见文(2)).那么,利用判别式法求函数(I)的极值时,究竟何时正确?何时错误?其错误的原因在哪里?     

妙用不等式“A/x+B/y≥(A~(1/2)+B~(1/2))~2/(x+y)”智取一类最值

各类资料都有如下一类二元极值:题目1已知x,y∈R~+,且1/x+4/y=1,求4x+9y的最小值;题目2已知x,y∈R~+,且2x+9y=5,求2/x+1/y的最小值.此类最值,我们老师采用如下方法,以题目     

形成模式 触类旁通——以求最值过程中极值点难求问题的探究课为例

利用导数求解函数的最值是导数作为工具性作用的重要体现,也是高考考查的重点和难点,分值占比较大。利用导数求函数的最值首先是求极值,而求极值的第一步是求出导函数等于零的根(也称为可能的极值点),然后列表判断是否在此点取极值,取极大还是极小。但由于高中阶段有固定解法的方程很有限,因此在求解可能的极值点时经常会碰到方程不会解的窘境,这也是高考考查的难点。笔者本学年执教高三理科英才班,这类难点是学生得分的关键。本节课通过一道例题及三个变式对极值点难求问题加以探讨,最后总结共性,形成思维导图,力求达到触类旁通 .     

导数应用中的五个误区

导数作为一种工具,在解决数学问题时应用极为方便.尤其是利用导数可以求导数的单调性、极值、最值以及曲线的切线.但在学习的过程中由于概念不清而导致错误的情形也时常发生.本文拟对导数应用中常见的误区作一个简单的剖析.一、极值的条件理解不清例1函数f(x)=x~3+ax2+bx+a~2在x=1处有极值10,求a、b.误解f′(x)=3x~2+2ax+b,由题意知(?),即(?),解得(?),或(?)     

用“⊿判别法”求极值所产生的“增根”与“失根”现象

极值问题是一个较有实用价值的数学问题.在中学数学教科书上,极值问题仅限于求二次函数的极值,比较简单.但在一些课外参考书上,出现了一些求有理函数极值的题目,用的是称之为“△判别法”的方法.我认为在使用此方法的过程中要注意一些问题.本文就这些问题加以说明,并指出对形如 y=(dx~2+ex+f)/(ax~2+bx+c)的有理函数使用“△判别法”求极值是可行的.     

等变量极值与其应用

引入等变量函数的极值概念与其判定方法后,可以将多元函数f(x_1,x_2,…,x_n)求等变量极值转化为求二元函数的等变量极值,简化了计算,同时可用初等方法求得多元函数的等变量极值。这对解证不等式有其显著的效果。