用联系发展的眼光理解四边形问题

三角形和四边形之间的关系非常密切 ,熟练地掌握它们之间的联系对四边形的学习无疑是十分有益的。任意四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个三角形 ,即△ ABC、△ ACD,如图 1所示。平行四边形 ABCD的一条对角线 AC把它分为两个全等的三角形 ,即△ ABC≌△CDA,如图 2所示。菱形 ABCD的一条对角线 BD把它分成两个全等的等腰三角形 ,即△ ABD≌△ CDB,如图 3所示。矩形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的直角三角形 ,即 Rt△ ABC≌ Rt△ CDA,如图 4所示。正方形 ABCD的一条对角线 AC把它分成两个全等的等腰三角…     

联想·猜想·证明

初中几何教材在讲完两个三角形全等的判定方法后强调指出,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.不一定全等,就是说可能全等,也可能不全等.例如,如图1,在△ABC 和△ABD 中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,显然它们不全等;如图2,在△ABC 和△A′B′C′中,已知 AB=A′B′,AC=A′C′,∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠,则△ABC ≌△A′B′C′(即“斜边、直角边”定理).     

三角形对称外心的性质及其应用

关于三角形内特殊点的发现及其性质的挖掘 ,可见文 [1 ]和文 [2 ] ,经过研究 ,本文得到了三角形的对称外心的性质及其应用 .定义　设△ ABC的外心为 O,点 O关于边图 1BC、CA、AB的对称点分别为 A′、B′、C′,连接AA′、BB′、CC′,则 AA′、BB′、CC′相交于一点O′,称此点 O′为△ ABC的对称外心 .证明 :如图 1 ,由平行四边形 OBA′C对角线互相平分知 A′C∥ OB,且 AC′=OB,同理得AC′∥ OB,且 AC =DB,故四边形 AC′A′C是平行四边形 ,所以 AA′和 CC′相交于中点 O′,同理可知 BB′也过点 O′,所以 AA′、BB…     

怎样找全等三角形

对于能够完全重合的三角形,要使两个三角形重合,则需要搬动图形,通常是以某个三角形为基准(不动),把与其全等的另一个三角形通过平移、旋转或翻折三种方法使其与基准三角形重合。一、平移变形找全等三角形例1如图1,已知AB∥A′B′,AC∥A′C′,BB′∥CC′,求证△ABC≌△A′B′C′.分析:将△A′B′C′沿箭头方向平移使A′与A;B′与B,C′与C分别重合,记为A′→A;B′→B;C′→C.例2如图2,B、C、E在一条直线上,CE=BC,AB⊥BE,DC⊥BE,B、C为垂足,AC∥DE.求证△ABC≌△DCE.分析:将△ABC沿箭头方向平移后使A→D,B→C,C→…     

斜边直角边定理证法之我见

不管是几何专著,还是历来的初中几何课本,在证明“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”时,采用的方法都是目前全日制初中统编教材里拼接的方法。因为这种方法在几何证明中不常用,因此,我们在教学中引导学生探索发现了这一定理证明的新方法。学生感到新证法比拼接法容易理解和掌握。下而提出我们的证法与见解,愿与同行切磋。已知:在Rt△ABC与Rt△A′B′C′中,∠ACB=∠A′C′B′=Rt∠,AB=A′B′,AC=A′C′求证:Rt△ABC≌Rt△A′B′C′证明:分别作两个三角形的斜边AB、A′B′边     

怎样学好“相似三角形”

在日常生活和生产实际中常会碰到很多形状相同,大小不一定相同的图形,在数学上统称为相似形.相似三角形是其中最简单的相似形,相似三角形的识别和性质是学习重要内容,必须切实学好.一、弄清相似三角形的概念两个三角形中,如果它们的对应角相等,它们的对应边成比例,那么这两个三角形相似.例如,在△ABC与△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,AA′BB′=BB′CC′=CC′AA′,那么△ABC∽△A′B′C′.如果记AA′BB′=BB′CC′=CC′AA′=k,那么比值k叫做这两个相似三角形的相似比.二、掌握相似三角形的识别识别两个三…     

谈谈全等三角形及其判定

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,实质上就是这两个三角形的三对对应角,三对对应边分别相等,共有六个相等关系.用△ABC≌△A′B′C′表示两个三角形全等,就表示上述六个相等关系同时成立.对这两个全等三角形当然要把对应顶点的字母分别写在对应位置:A和A′,B和B′,C和C′分别对应,不可写乱.把彼此全等的三角形归于一类,有了判定两     

比例中项式的证明方法

遇到需要证明比例中项式成立的题型 ,可以从三个方面考虑 :利用平行线构造比例中项 ;利用有公共边的两个三角形相似构造比例中项 ;等量代换 (等积代换、等线段代换 ) .1　利用平行线构造比例中项式例 1　如图 1 ,由平行四边形 ABCD的顶点 A作一条直线分别交 BD、DC及 BC的延长线于 G、F、E,求证 :AG2 =GE . GF.分析 :由平行四边形 ABCD的两组对边平行 AD∥ BC、AB∥ CD,可得 AGGE=DGBG,GFGA=DGAB,所以 AGGE=GFGA,即 AG2 =GE . GF.2　找出有公共边的两个三角形相似例 2　如图 2 ,△ ABC中 ,AB=AC,∠ 1 =∠ 2 ,求…     

几何部分

一、选择题 1．如图1—1，如果平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么图中全等三角形共有( )．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对。     

角平分线问题的三种基本构图

一、“角平分线 +翻折”构造全等三角形以三角形的角平分线为轴翻折 ,得全等三角形。在图 1中 ,以 AD为轴将△ ACD翻折 180°,使 C落在 C′(即在 A B上截取 AC′=AC) ,得△ ACD≌△ AC′D。在图 2中 ,以 AD为轴将△ A BD翻折 180°,使 B点落在 B′(即在 AC延长线截取 AB′=AB) ,连结 DB′,得△ ABD≌△ AB′D。例 1.已知△ ABC中 (如图 3) ,∠ C=90°,AC=BC,AD平分∠ BAC交 BC于 D。求证 :AB=AC+CD。分析 :由于题目中有角平分线条件 ,故可考虑翻折造全等 ,即把△ ACD以 AD为轴翻折 180°,使 C点落在 G 上 ,则有…     

巧用对称变换解有关翻折及旋转几何题

同学们在学习有关翻折、旋转的几何题时常无从着手,究其原因是没有把它转换成对称的问题,或因没有抓住位置变换中的不变量。翻折旋转前后哪些线段长度不变、哪些角大小未变、哪些三角形全等,没有充分利用,现就这些问题举例说明。例1如图1,△BDC′是矩形ABCD沿对角线BD折叠得到的,BC′交AD于E,图中(包括实线、虚线共有全等三角形()。A.2对;B.3对;C.4对;D.5对。分析:利用△ABD≌△CDB≌△C′DB,C′D=CD=AB,∠C′=∠C=∠A=Rt∠,∠AEB=∠C′ED,得:△ABE≌△C′DE,故答案为C.例2如图2,正方形ABCD内一点P,将△ABP绕点B顺…     

四边形性质探索

平行四边形的性质与判定A组1.在平行四边形ABCD中,若∠A∶∠B=5∶4,则∠C的度数是.2.已知ABCD的周长为60厘米,对角线交于O,△BOC的周长比△AOB的周长小8厘米,则AB=厘米,BC=厘米.3.以过不在同一直线上的三个顶点A、B、C为顶点,可作平行四边形的个数是()(A)3个.(B)2个.(C)4个.(D)1个.4.下列说法正确的是()(A)一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形.(B)两组邻角互补的四边形是平行四边形.(C)相邻的两角都互补的四边形是平行四边形.(D)一组对边平行,一组对角互补的四边形是平行四边形.5.某平行四边形的对角线长为a,b,…     

初中数学问题教学中主体性策略的运用

教学实践证明,数学教学中学生的主体性越强,其学习的积极性就越高,越能体会数学的价值,促进数学思维能力的发展,增强他们学好数学、理解数学和应用数学的信心,从而使数学教学发挥更大效益.一、传授初中生有效探析问题的策略问题:如图1,把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时,点B′落在对角线AC上,点A′落在CD的延长线上),A′B′交AD于点E,连接AA′、CE.求证:(1)△ADA′≌△CDE;(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线.学生结合全等三角形相关性     

三论三角形外角平分线三角形的性质

文[1]、文[2]分别给出了三角形外角平分线三角形的若干性质.它作为与一个三角形有着特殊关系的三角形,应有很多优美的性质,就像矿藏一样,不将这些矿藏从这个矿点里挖掘出来,总感到意犹未尽.基于这个想法,笔者进一步研究了三角形的外角平分线三角形.现将又得到的几个性质归结出来以飨读者.图1如图1,记△A′B′C′为△ABC的外角平分线三角形,△ABC的外接圆半径和内切圆半径分别为R、r,三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,S为其半周长,△为其面积;△A′B′C′的三内角A′、B′、C′所对边的长分别为a′、b′、c′,△′为其面积.则:…     

《平行四边形》自测题

一、填空：1．如图1，2．如图2，过△DEF的顶点D、E、F分别作对边的平行线，两两相交手A、B、C图中有、个平行四边形，它们是3．在ABCD中，A：B=3：2，那么C——度，D——度．4．平行四边形两个邻角的平分线相交成的角=——度．5．ABCD中，如果BD=10cm，AC=6cm，那么AB的长度可取值范围是、．6。已知矩形的周长是30cm，如果一律中点与对边两顶点功连线所央的角是直角，那么矩形的长边长为cm，短边长cm一二、选择题：1．平行四边形的内角平分线能够围成一个（）（A）平行四边形；（B）施形；（C）菱形；（D）正方形．2．如果顺…     

边边大角定理及其应用

正一、边边大角定理两组对应边相等,并且其中一组边的对角相等是两个三角形全等的必要条件,但不是两个三角形全等的充分条件。那么是不是对以上条件"加强"一下,可以成为充分条件呢?回答是肯定的。请看这个新的命题。定理如果两个三角形的两组边对应相等,并且其中较大一组边的对角相等,则这两个三角形全等。已知:在△ABC与△A’B’C’中,AB=A’B’AC=A’C’ACAB∠B=∠B’。求证:△ABC≌△A’B’C’。证明:按∠B的大小分成三种情况证明(1)∠B90°,如图(1)图(1)     

怎样证明两条边相等

在几何证明中 ,经常要遇到证明两条边相等的问题 ,学生有时无从下手。本文试图结合实例 ,对证明两条边相等作些探讨。一、两条边若不在同一个三角形中 ,可通过两个三角形全等来证明两条边相等例 1.圆内接四边形ABCD的外角∠ DCH =∠ DCA,DP⊥ AC,垂足是 P,DH⊥ BH,垂足为 H,求证 :(1) CH=CP　 (2 ) AP=BH分析 :要证明 CH=CP,我们发现它们分别在两个三角形△ DCH和△ DCP中 ,只要证明两个三角形全等就可以了。那么要证 AP=BH,这两条线段不在同一个三角形中 ,我们也应首先考虑全等。连结 BP,可把 AD、BH放在△ ADP和△ B…     

巧用三角形面积比证题

张景中教授在《从数学教育到教育数学》(四川教育出版社,1989年出版)一书中,针对中学数学教育提出了欧氏几何以质量公理体系和以面积理论为核心的解题方法,其中重要的定理是:共边比例定理:若直线PQ和直线AB相交于M点,则S△PAB∶S△QAB=PM∶QM;共角比例题定理:若在△ABC和△A′B′C′中,∠A=∠A′,若∠A ∠A′=180°,则S△ABC∶S△A′B′C′=AB·AC∶A′B′·A′C′,这两个定理在几何证题中是行之有效的.笔者在此基础上提出两个定理:定理1等高不等底的两个三角形面积之比等于对应底边的比.定理2等底不等高的两个三角形面积…     

正弦定理的联想及其它

由正弦定理出发,我们可以得到如下定理:△ABC中,以sinA、SinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。且△ABC∽A′B′C′,△A′B′C′外接圆直径为1。证明:设△ABC外接圆半径为R, sinA+sinB=1/2R (a+b)>1/2R·C=sinC。同理可证 sinA+sinC>sinB,sinB+sinC>sinA。因此以sinA、sinB、sinC为边可以构造△A′B′C′。由正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC,因此△ABC∽△A′B′C′,则A=A′,B=B′,C=C′。设△A′B′C′外接圆半径为R′,对△A′B′C′施行正弦定理,则sinA/sinA′=2R′=1。由这个定理出发,有下面的二个应用。一、关于三角形中一些恒等式和不等式的互证     

四边形复习训练

第1课时 基础闯关 1．如图，O为平行四边形ABCD对角线AC、BD的交点。EF经过点O，且与边AD、BC分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（ ）