两曲线相切的应用

<正>我们熟悉直线与曲线相切的情形,对于两曲线,我们也可以这样定义它们相切:若两曲线有公共点P且在点P处有相同的切线,我们就称这两条曲线在点P处相切.设曲线f(x)与曲线g(x)在点P (x0, y0)处相切,     

非圆问题的圆化处理

众所周知,圆的性质是非常灵活的,且容易理解与掌握。一些非圆问题若是能够合理地转化成圆。然后借助圆的有关性质来解,往往能使问题得到简洁明了的解答,今举几例. 1.点的圆化处理点P(x0,y0)可看成点圆:(x-x0)2 (y-y0)2=0,利用这种观点解题,可简化求解过程. 例1 一圆过点(-2,-4)且与直线x 3y-26=0相切于点(8,6)。求这个圆的方程.     

点的妙用

在某些解析几何习题中,若把点看作是圆锥曲线的退化现象(如点圆,点椭圆等),常常显得生动形象,解题过程也较简洁,这时,点作为一种解题技巧,起着特殊的作用,现举几例. [例1]一圆经过点(0,-5),且与直线4x-3y-25=0相切于点(4,     

数学奥林匹克问题

本期问题 初31.如图,⊙O_1是等腰△ABC的外接圆,⊙O是以底边BC为弦的一圆,⊙O_2内切于⊙O,并且与AB,AC分别相切于点P,Q,点I为△ABC的内心。     

直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系按公共点的个数分类有三种:无公共点(通常称“相离”),一个公共点(相切于一点或相交于一点),两个公共点(两交点的部分通常称为圆锥曲线的弦).而在适当的坐标系中来研究此位置关系,常根据直线与圆锥曲线     

这道竞赛题的题设条件可以减弱

有一道数学竞赛题是:有一圆与一等腰三角形两腰相切,并与三角形的外接圆相内切,试证两腰上切点的连线段之中点为该三角形之内心。 关于此题,许多作者已给出了精彩的证明,笔者深受启发,在此笔者指出此题的“等腰三角形”条件可以放宽为一般三角形。放宽后(改进后)的命题难度有所增加,但更为深刻和含蓄,极富美感,是训练     

圆和圆的位置关系

一圆和网的位置关系有五种,由两圆的公共点个数及圆上其余点间关系,将两圆位置关系分为两圆相离（外离、内含）、两圆卡相切（外切、内切）、两圆相交。     

用退化二次曲线解题

在处理有关二次曲线问题时,如果能借助退化二次曲线解题,可以简化运算,优化解题过程,将使一些问题得到巧妙的解决.1用退化圆解题例1 有一圆与直线4x-3y 6=0相切于点A(3,6),且经过点B(5,2),求此圆的方程. 此题的常规解法是设圆的方程为(x-     

建模型图熟识视太阳周日运动

一、两切点之外地区(极昼出现地区)的视太阳运动 这里的两个切点指的是晨昏线与纬线圈相切之处.晨昏线与纬线只有在春秋分两天不相切,相切的纬线圈上为极昼或极夜.极夜地区太阳在地平圈以下,这里考虑极昼出现地区太阳周日运动的情况.     

一道中考数学题的解法探究

湖北省武汉市2010年中考数学第22题是:如图1,点O在∠APB的平分线上,⊙O与PA相切于点C。(1)求证:直线PB与⊙O相切;(2)PO的延长线与⊙O交于点E。若⊙O的半径为3,PC=4。求弦CE的长。     

由一个高考付题所想到的

你刊八O年三期登载的《19了9年全国高等学校招生考试数学付题》第十题: 在一抛物线y一ax’(系数a>o)的上侧(即y》ax’),求出一个与抛物线相切于原点的最大园。(16分) 解法要点是抓住两曲线相切于原点,只有一个公共点,从而得出最大园的方程为: rZ一xZ(rZ一x,)f“(o)二二 t 1、,1     

对一道高中会考题的引申和探究

题目(2011年浙江省普通高中会考第41题)如图1,圆C与y轴相切于点T(0,2),与x轴正半轴相交于M、N两点(点M在点N的左侧),且|MN|=3.(1)求圆C的方程;(2)过点M任作一条直线与圆O:x~2+y~2=4相交于A、B两点,连结AN、BN.求证:∠ANM=∠BNM.这是一道颇具美感、难易适中的好题.该     

从一道高考题谈起

2005年普通高考数学试题(江西卷)理科22题: 设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.     

AutoCAD中一种特殊情况下圆的画法与思考

本文阐述了通过仔细分析与总结两圆内切或一圆与直线相切的规律,很好解决了AutoCAD中一种特殊情况下圆的画法,并提出了在AutoCAD的二次开发中把解决这个问题的方法做成一个新命令的设想。     

两条相交直线同时与圆相切的问题

<正>在"直线与圆相切"一节内容中有一个基本图形:如图1,射线PA,PB与⊙O相切于点A、B,则有PA=PB,PO平分∠APB.即若已知⊙O与直线PA,PB相切,则点O在∠APB或其补角的平分线上,如图2.现介绍以此为背景的一类中考题,这类问题往往可以通过作图使之得到简化,再利用两个直角三角形或勾股定理,即可使问题得到解决.     

一道几何命题的证明与变式训练

圆与圆的位置关系这一单元 ,两圆相交和相切是重点 在这一单元中有几道证明两线平行的题目 ,通过这几道题目的变式训练 ,可以把两圆相交和相切中辅助线的作法 ,证明命题的方法让学生掌握清楚 已知 :如图 1,⊙Ｏ1 与⊙Ｏ2 相交与Ａ ,Ｂ两点 ,分别过Ａ ,Ｂ两点作直线交⊙Ｏ1 于Ｃ ,Ｅ两点 ,交⊙Ｏ2 于Ｄ ,Ｆ两点 .求证 :ＣＥ ∥ＤＦ .图 1　　　　　　　　图 2证明　连结ＡＢ ,因为四边形ＡＢＥＣ内接于⊙Ｏ1 ,所以∠ＡＢＦ =∠Ｃ (圆内接四边形的性质 ) 因为四边形ＡＢＦＤ内接于⊙Ｏ2 ,所以∠ＡＢＦ +∠Ｄ =180° (圆内接四边形的性质 ) …     

IMO40第5题的一种综合证法

第40届IMO第5题:两个圆Γ1和Γ2被包含在圆Γ内,且分别与圆Γ相切于两个不同的点M和N.Γ1经过Γ2的圆心.过Γ1和Γ2的两个交点的直线与Γ相交于A和B.直线MA和MB分别与Γ1相交于点C和D.证明:CD与Γ2相切.     

尺规可作哪些图

著名的几何作图三大难题是: 立方倍积问题:求作一立方体,使它的体积两倍于一已知立方体的体积。 三等分角问题:求作一任意角的三等分角。 化圆为方问题:求作一正方形,使它的面积等于一已知圆的面积。 这三个问题,早在两千多年前的希腊就盛传着,并规定仅仅借助于有限次使用没有刻度的直尺、闭开自如的圆规为工具作出。1 作图公法 (1)过两已知点可作一直线; (2)已知圆心和半径可作一圆; (3)已知两直线可求其交点; (4)已知一直线与一圆周相交,可求其交点; (5)已知两圆周相交,可求其交点。     

直线与二次曲线相切的一个问题

我们知道,直线与曲线相切的概念是这样叙述的:“如果P_0(x_0,y_0)是曲线y=f(x)上的一个点,并且当点P(x,y)沿着曲线以任意方式趋向于P_0点时,割线P_0P有极限位置存在,则此极限位置P_0T仍是一条直线,并称它为曲线:y=f(x)在点P_0处的切线。这时我们也可称直线P_0T与曲线y=f(x)相切于P_0点。”     

一道高考题另一种形式的推广

问题(2005年江西高考第22题)设抛物线C:y=x~2的焦点为F,动点P在直线l:x- y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△APB的重心G的轨迹方程;