求一些特殊数列前n项和的方法

对于等差、等比数列的前n项求和问题,一般只要根据已知条件,灵活应用公式,不难求出.而对一些特殊数列的求和问题,学生时常感到束手无策,无从下手.实际上,我们只要把这些特殊数列的求和稍加巧妙变化,转化为基本类型或熟知的数列求和问题,从而简捷地解答此类问题.现将解决这些特殊数列前n项和的方法归纳如下.1分项求和法所谓“分项求和法”,就是把一个数列分解为几个基本数列后再求和.例1求和S=1·n 2(n-1) 3(n-2) … n·1.分析这是一个数列求和问题,考察其通项k(n-k 1)=k(n 1)-k2,则可将其分解成两个数列的求和问题求解.解S=1·n 2(n-1) 3(n…     

数列求和的常用方法

数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象.数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,用方法.下面介绍数列求和的几种常用方法.一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和利用下列常用求和公式是数列求和的最基本最重要的方法.1.等差数列求和公式:     

“降阶”、作商、转化——关于一类数列的求和问题

在数列求和的过程中,难点是如何得出和的公式,即使形式上很有规律的数列的求和,要得出公式,也不是件容易的事。例如求1·2~2 2·3 3·4~2 … n(n 1)~2的和。对于低“阶”(通项的次数),当然用待定系数法可以解决,可是随着“阶”数的增加,计算量就越来越大,本文运用“降阶”、作商、转化的思想,寻求到一个规律:用已知的、简单的、“低阶”的数列和去解决较复杂的、“高阶”的数列求和问题。 一般说来,若一数列的每一项减去其前一项得出第二个数列,把第二个数列的每一项减去其前一项得出第三个数列,依此方法得出第四个、第五个、……数列,假如得到的第k—1个数列是一个常数数列,我们     

如何求解数列的综合问题

[考点解释]1.理解等差数列、等比列的概念,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式并能解决简单的实际问题.2.掌握递推数列化归构造新的辅助数列为等差或等比数列,或“叠代法、累加法或累乘法”求通项或通过“归纳-猜想-证明”探索其通项的方法.3.掌握特殊数列求和的方法:直用公式;裂项相消法;错位相减法;反序求和等.     

∑ from k=1 to n k~2的三种求法

数列的求和问题是一个饶有兴趣的问题.本文给出三种求数列{n2}的前n项和的方法,并对数列求和的一般解法做些探讨.方法1:归纳假设法这种方法利用最初的数值计算列表发现规律,而后猜测答案,这是发现数学公式的重要方法之一,它给我们“在没有公式之前怎样去找公式”提供了一个很好的范例.取n=1,2,3,4,5,…分别计算∑nk=1k和∑nk=1k2列表如下:12345…∑nk=1k=1+2+…+n1361015…∑nk=1k2=12+22+…n215143055…∑nk=1k2∑nk=1k1(33)35373(39)131…计算∑∑kk2得到一个数列:33,35,37,93,131,…显然此数列可写成2n3+1,所以有12+22+32+…+n21+2+3+…+…     

几种特殊数列通项公式的求法探讨

正一、已知数列的前几项,求通项公式已知数列的前几项,求通项公式。通过观察找规律,分析出数列的项与项数之间的关系,从而求出通项公式。这种方法称为观察法,也即是归纳推理。例1、求数列的通项公式。(1)0,3,8,15.........(2)3/2,5/4,7/6,9/8......分析:观察项与项数n的关系,分析特点,找出共同规律,就能归纳出一个通项公式。     

“三和五两九通”速解高考数列

数列是高考的重点内容,一般有一道大题和一道小题,分值共20分左右.考生由于没有掌握好数列的解题规律,失掉了不该丢的分数.其实只要我们牢记“三和五两九通”,把握住数列常用的通性通法,拿下数列是不成问题的.一、“三和五两九通”“三和”指的是三种求和方法:倒序相加法、错项相消法、裂项相消法.“五两”指的是:(1)两个基础:等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式;(2)两个灵活:如果m n=p q(m、n、p、q∈N*),等差数列有am an=ap aq,等比数列有am·an=ap·aq;(3)两个分类:an=S1(n=1)Sn-Sn-1(n≥2,n∈N*)和Sn=na1(q=1)a1(1-qn)1-q(q≠…     

逐差法在解题中的应用

在中学数学中,逐差法(逐项相消法)常常用来求某些数列的前n项和以及求某些递推数列的通项公式。在数列求和时,如果可将数列的一般项a_k写成 a_b=λ〔f(k 1)-f(k)〕, ①其中λ为待定常数,而f(k)为k的函数,则可在①中令k=1、2、…、n,然后将这n个等式相加,于是数列{a_k}的前n项和即为 S_n=a_l a_2 … a_n =λ〔f(n 1)-f(1)〕②这里要说明的是,将数列的一般项a_k写成两项之差的目的是为了求和时等式右端的     

计算数列极限的几种特殊方法

对于数列极限问题 ,若数列的通项较为简单 ,通常可以运用一些已知极限并结合运算法则求得其值 ;但有时还须对通项的表达式作适当的恒等变形后 ,再求值 .本文对一些通项稍为复杂的问题的几种特殊处理方法作些归纳 .方法一 :求和法当数列的通项是由ｎ项的和构成时 ,通常可考虑先求和 ,再求极限 .有些和式可直接用公式 ,如等差数列、等比数列等等 ;有些不能简单用求和公式 ,而要运用数列的各种求和技巧 ,如拆项等等 .例 1　求ｌｉｍｎ→∞1ｎ3 32ｎ3 … (2ｎ- 1) 2ｎ3.解　因为 (2ｎ - 1) 2 =4ｎ2 - 4ｎ 1,所以1ｎ3 32ｎ3 … (2ｎ - 1) 2ｎ3=…     

裂项叠加法的新应用

对于分式数列{k/n（n＋d）}求和。一般都是将通项an=k/n（n＋d）变形为an=k/d（1/n-1/n＋d）的形式,然后进行叠加求和,方法通用且计算简便;而等差数列{an}与等比数列{bn}的相应项乘积构成的数列{anbn}求和,一般地采用“错位相减法”,方法通用,但计算量大,结果往往是“方法会,计算不对”．对于这类数列求和,能否也采崩裂项求和呢？回答是肯定的!请看：     

数列求和的方法

<正>数列求和是数列的重要内容之一,是高考必考内容.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面就谈谈这类问题的解决方法和技巧.一、分组求和法如果数列的通项公式可分为几个等差、等比或常见的数列,这时就要分别求和,然后再相加.譬如数列{cn=an+bn},其中数列{an}、{bn}分别是等差、对比数列,前n项和Sn=(a1+b1)+(a1+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn).例1推测数列112,214,318,4116,…的前n项和Sn.解Sn=112+214+318+…+n+12()n=(1+2+3+…+n)+     

关于数列求和方法的探讨

数列求和是数列教学中的一个中心问题 .根据《大纲》的要求 ,高中学生应当“掌握等差数列 ,等比数列的前 n项和公式 ,并能运用公式解决简单的问题 ,了解数学归纳法的原理 ,并能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 .后者包括了一些特殊数列的求和问题 .在中学数学教学中 ,如何根据大纲要求 ,使学生在数列求和问题上 ,真正达到理解掌握并能灵活运用呢 ?笔者认为 ,第一 ,要教会学生能用从特殊到一般的方法 ,得出给定数列的通项公式 ,这是解决求和问题的基础 ;第二 ,要教会学生掌握一些基本的数列求和方法 ,提高学生解决求和问题的能力和技巧 .…     

数列求和的方法

<正>数列求和是数列的重要内容之一,是高考必考内容.除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面就谈谈这类问题的解决方法和技巧.一、分组求和法如果数列的通项公式可分为几个等差、等比或常见的数列,这时就要分别求和,然后再相加.譬如数列{cn=an+bn},其中数列{an}、{bn}分别是等差、对比数列,前n项和Sn=(a1+b1)+(a1+b2)+…+(an+bn)=(a1+a2+…+an)+(b1+b2+…+bn).例1推测数列112,214,318,4116,…的前n项和Sn.解Sn=112+214+318+…+n+12()n=(1+2+3+…+n)+     

“类周期数列”的并项与迭代求和

正数列求和一直是高考的热点内容.通过研究近几年的高考试卷我们可以发现,通项形如"dn=an bn+cn(其中bn为周期数列)"的数列{dn}的求和问题正悄然升温.我们暂且称数列{dn}为"类周期数列".一、并项与迭代求和策略在"类周期数列"{dn}中,设数列{bn}的周期为T(T∈*N),数列{dn}的前n项和为Sn.将数列{dn}从第一项起,依次每连续的T项"捆绑"合并成一项,构造一个新数列{pk}(其中pk=dTk-(T-1)+dTk-(T-2)+…+dTk-1+dTk,k∈*N),并求其通项公式.当数列{dn}的项数n为T的倍数(即n=Tm,m∈*N)时,     

非k次方数序列的通项公式

设k》2为自然数,我们把自然数分为k次方数和非k次方数两列: Fk(”):Ik,Zk,3k,…,”k,…(1) G、(n):2,3,…,n“一1,n“ 1,…(2)(2)的通项公式是什么? 定理设自然数k)2,则(2)的通项公式为 Gk(n)=刀 〔“记: 〔“侧又〕〕,(3)其中〔x〕表示x的整数部分。 证明记Gk(n)==T,〔k侧于〕     

组合数公式与一类数列求和

利用组合数性质不难证明公式: 用∑表示为用它求一类数列的和甚 为方便。 1.求连结自然数积的和 这类数列通项的特点是可直接用组合数表示。 例1 求和:1·2 2·3 3·4 … n（n 1）。 解　∵a_k=k(k 1)=2C_~2_(k 1).     

特征根法求数列通项公式

<正>数列的通项公式是高考重点考查的知识点之一,求数列通项公式的方法也很多,在具体的问题中选择最适当的方法来解决是重中之重。本文主要介绍用特征根法求数列通项公式。若常系数齐次线性递归数列的递归关系为:a_(n+k)=c_1a_(n+k-1_+c_2a_(n+k-2)+…+c_ka_n,则称方程x^k=c_1xk=c_1x^(k-1)+c_2x(k-1)+c_2x^(k-2)+…+c_k为其特征方程,方程的根称为{a_n}的特征根。定理:如果x_1,x_2是递推关系a_n=     

浅析“裂项”法求和

在数列求和中“裂项”法是一种常用的方法,即把数列的一项分裂成另一个数列的相邻两项之差,然后用“错位相加法”而得出数列之和.下面举出几例加以说明:例1 求和1·2·3 2·3·4 3·4·5 …… n(n 1)(n 2)解:研究此数列的一般项 a_k,有a_k=k(k 1)(k 2)=-1/4[(k-1)·k(k 1)(k 2)-k(k 1)(k 2)(k 3)]令 k=1,2,3……n 得     

近年高考数列考题回顾与导析

数列是高考数学科的必考内容 ,分析历年来的数列考题 ,都体现了知识的综合性和较大的计算量 ,地位举足轻重 .数列的主要考点有 :数列的通项公式和求和公式 ,将一般数列问题化归为等差或等比数列解决 ,用数列知识解决实际问题等 .1　构建等差或等比数列通项及求和模型例 1　 ( 2 0 0 1年高考题 )从社会效率和经济出发 ,某地投入资金进行生态环境建设 ,并以发展旅游产业 .根据规划 ,本年度投入 80 0万元 ,以后每年投入将比上年减少 1/5 .本年度当地旅游业收入估计为 40 0万元 ,由于该项建设对旅游业的促进作用 ,预计今后的旅游业收入每年会比…     

由递推公式求通项公式常见问题分析

数列中一个很重要的问题是由递推公式求通项公式,这类问题的一般方法是把递推公式变形,然后将它看成新数列（通常是等差或等比数列）的通项公式或递推公式,最后用新数列的性质解决问题.一、基本方法1.求和法:采用累加或累乘,有时需要用到a_n=S_n-S_n-1.例1已知正数数列{a_n}的前n项和S_n=1/2（a_n+1/a_n）,求{a_n}的通项公式.