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1.
20 0 2年高考有一道数学题为 :已知a >0 ,函数 f(x) =ax -bx2 .(1)当b >0时 ,若对任意x∈R ,都有f(x) ≤ 1,证明 :a≤ 2b ;(2 )当b >1时 ,证明 :对任意x∈ [0 ,1],|f(x)|≤ 1的充要条件是b- 1≤a≤ 2 b ;(3)当 0 <b≤ 1时 ,讨论 :对任意x∈[0 ,1],|f(x)|≤ 1的充要条件 .绝大多数考生做此题时无所适从 ,根本不知从何下手 ,参考答案给出的方法比较抽象 ,难于理解 ,笔者有一解法 ,介绍如下 :解 (1)由已知ax -bx2 ≤ 1,∴ bx2 -ax +1≥ 0 .∵ x∈R ,b >0 ,∴ Δ =a2 - 4b≤ 0 ,∴ a≤ 2 b .… 相似文献
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擂台题 (5 4 ) :证明或否定若a、b、c为△ABC的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(b+c-a) λbλ+cλ +(c+a -b) λcλ+aλ +(a +b -c) λaλ+bλ ≥ 32①引理 若m、n∈R+ ,实数 p≥ 1 ,则(m +n2 ) p≤ mp+np2 ②证明 (1 )当 p =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 p >1时 ,令 f(x) =xp(x >0 ) ,这时 ,f′(x) =pxp- 1,f″(x) =p(p -1 )xp - 2 >0 ,所以 f(x)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为m、n∈R+ ,由琴生不等式知f(m +n2 )≤ f(m) +f(n)2 ,即有 (m +n2 ) p≤ mp+np2 ,当且仅当m =n… 相似文献
3.
用函数方法证明不等式 ,常常能够方便地给出证明 .用函数方法证明不等式的关键是结合不等式的结构特征构造适当的函数 ,以便于利用这一函数的有关性质证明所给的不等式 .例 1 若a >b>0 ,m >0 .求证 :ab >a +mb+m.证明 令 f(x) =a+xb +x.由a>b可设a =b+c(c >0 ) ,则f(x) =b+x +cb +x =1+cb +x.当x∈ (0 ,+∞ )时 ,f(x)为减函数 .∵ m >0 ,∴ f(m) <f(0 ) .即 ab >a+mb+m.注 用函数方法证明不等式 ,往往要利用所构造函数的单调性 .例 2 设a、b、c∈R .证明 :a2 +ac+c2 +3b(a+b+… 相似文献
4.
邵剑波 《中学数学教学参考》2000,(6)
有的文献证明了对任何x∈R,f(x)>0.本文获得定理 设x∈R,则f(x)=x4 x2 x 1在x=x0=-14 3-564 56144 3-564-56144=-060582958…处,取得最小值f(x0)=516[(x0 1)2 2]=067355322…此定理可用微分法证明,同时得知x0是方程f’(x)=0的惟一实根.下面用不等式(A2 B2)(1 a2)≥(A aB)2(=|aA=B)来证明.对f(x)进行”双配方”,应用该不等式,有f(x)=(x2 12x)2 34(x 23)2 23=(x2 12x)2 (32x 33)2 23≥11 a2[x2 (12 32a)x 33a]2 23.设3a=b,13<b<3,则x2 (12 b2)x b3≥14[4b3-(12 b2)2]=(3b-1)(3-b)48>0… 相似文献
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选择题1 下列各式 :( 1) 2 0 0 1 {x|x≤ 2 0 0 3};( 2 ) 2 0 0 3∈ {x|x <2 0 0 3};( 3) {2 0 0 3} {x|x≤ 20 0 3};( 4)Φ∈ {x|x <2 0 0 3},其中正确式子的个数为 ( )A 1 B 2 C 3 D 42 满足f(π +x) =- f(x) ,f( -x) =f(x)的函数 f(x)可能是 ( )A sinx B sin x2 C cos2x D cosx3 若函数 f(x) =ax(a >0 ,a≠ 1)为减函数 ,那么 g(x) =log1a1x - 1的图象是 ( )A BC D4 如果a·b =a·c且a≠ 0 ,那么 ( )A b =… 相似文献
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1 求证 :sin2 0 0 3° >12 ·cos2 0 0 2°。 (不要使用计算器等工具。)2 试求出两条抛物线 y2 =2 5 -6x与x2 =2 5 -8y的所有的交点的坐标。 (不要使用一元四次方程求根公式。)3 试求出所有的有序正整数对 (a ,b) (a≤b) ,使得a能整除b2 +b +1 ,且b能整除a2 +a +1。4 试求出所有的函数 f :R -{0 ,1 }→R -{0 },使得对于任何的满足“x·f(y) ,y -x∈R -{0 ,1 }”的x∈R -{0 },y∈R -{0 ,1 },都有 f(x·f(y) ) =(1 -y)·f(y -x)。5 试求出所有的函数 f :R→R ,使得对于任何的x、y∈… 相似文献
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白志峰 《中学生数理化(高中版)》2003,(2):21-21,23
定义型试题即试题中给出一个考生从未接触过的新规定 ,要求考生当即应用 ,用以考查考生的接受能力和应变能力 .一、定义新概念例 1 ( 2 0 0 1年上海高考题 )定义 :若函数 f(x)对于其定义域上的某一点x0 ,有f(x0 )=x0 ,则称x0 是 f(x)的一个不动点 .已知函数 f(x) =ax2 +(b+1)x +(b- 1) (a≠ 0 ) .( 1)当a=1,b =- 2时 ,求函数f(x)的不动点 ;( 2 )若对任意的实数b ,函数f(x)恒有两个不动点 ,求a的取值范围 ;( 3)在 ( 2 )的条件下 ,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数 f(x)的不动点 ,且A、B两点关于… 相似文献
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在闭区间上的二次函数的绝对值不等式的证明有一个通法 :将二次函数的系数用闭区间上的三个函数值 (一般用区间端点和中点的函数值 )来表示 ,然后借助于绝对值不等式来解决 .例 1 设a、b、c∈R ,f(x) =ax2 +bx +c(a≠ 0 ) .若 | f( 0 ) |≤ 1,|f( 1) |≤ 1,|f( - 1) |≤ 1,试证 :对任何x∈ [- 1,1] ,都有 |f(x) |≤ 54 .证明 :因f( 0 ) =c,f( 1) =a +b+c,f( - 1) =a-b +c,故解得a =f( 1) + f( - 1)2 - f( 0 ) ,b =f( 1) - f( - 1)2 ,c=f( 0 ) .∵ |x|≤ 1∴ | f(x) | =|ax2 +bx +c|=f( … 相似文献
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众所周知 ,若a≥b且a≤b ,则a=b .利用这一结论常能解决一些数学问题 .下面是一道 2 0 0 2年全国联赛试题 :已知 f(x)是定义在R上的函数 ,f( 1 ) =1 ,且对任意x∈R都有f(x+ 5 )≥ f(x) + 5 ,f(x+ 1 )≤ f(x) + 1 .若 g(x) =f(x) + 1 -x ,则g( 2 0 0 2 ) =.解 由 g(x) =f(x) + 1 -x ,得g(x+ 5 ) =f(x + 5 ) + 1 -x-5=f(x + 5 ) -x-4≥ f(x) + 5 -x -4=f(x) + 1 -x =g(x) ,g(x + 1 ) =f(x+ 1 ) + 1 -x -1=f(x+ 1 ) -x≤f(x) + 1 -x =g(x) .∴g(x) ≤g(x+ 5 )≤ g(x + 4)… 相似文献
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在函数的性质中 ,周期性占有特殊地位 .本文给出几个在对称条件下函数周期性的一些判定方法及其应用例举 .结论 1 如果一个函数的图象有两条对称轴x=a与x =b,那么这个函数一定是周期函数 .具体地说 ,若函数 y=f(x) ,对于定义域R上的任何x ,都有 f(x) =f( 2a-x) ,f(x) =f( 2b -x) (a≠b) ,则函数 f(x)是周期函数 ,且 2|a-b|为其一个正周期 .证明 对于任一x∈R ,都有f[2 (b-a) +x]=f( 2b-2a +x)=f( 2a-x) =f(x) ,∴y=f(x)是一个周期函数 ,2|a-b|为其一个正周期 .根据结论 1 ,若函数 f(x… 相似文献
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题 设a>0 ,求函数f(x) =x-ln(x +a) (x∈ ( 0 ,+∞ ) )的单调区间 .解 f′(x) =12x- 1x +a =x- 2 x+a2x(x+a) ,因为a>0 ,x >0 ,所以 2 x >0 ,x +a >0 .所以f′(x)与x - 2 x+a同号 ,令t =x ,则x- 2 x+a =(t- 1) 2 + (a - 1)(ⅰ )当a >1时 ,f′(x) >0 ,所以 f(x)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅱ )当a =1时 ,f′(x)≥ 0 ,且只在x =1处f′(x) =0 ,所以 f(x)在 ( 0 ,+∞ )单调递增 ;(ⅲ )当 0 <a <1时 ,令 (t- 1) 2 + (a - 1) =0得t =1± 1-a ,此时x =t2 =2 -a± 2 1-a ,显然当t∈ (… 相似文献
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人民教育出版社编著的《全日制普通高级中学教科书 (试验修订 )·数学 (第一册上 )》第 89页习题2 .8第 4题已知 :f(x) =lg1-x1+x,a ,b ∈ ( - 1,1) ,求证 :f(a) + f(b) =f( a +b1+ab) .教学之余 ,留有如下思考 ,愿与同仁共同探究 1 编选意图降低了题目自身的要求该题设问内容包含两层意思 :其一是隐含意 ,在已知条件f(x) =lg1-x1+x,a、b∈ ( - 1,1)下 ,f(a)、f(b)、f( a +b1+ab)都有意义 ,其二是 f(a)、f(b)、f( a +b1+ab)在数值上满足 f(a) + f(b) =f( a +b1+ab) .现给出第一种证… 相似文献
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问题 :对于函数 f(x) ,若存在x0 ∈R ,使f(x0 ) =x0 成立 ,则称x0 为 f(x)的不动点 .如果函数 f(x) =x2 +abx-c(b,c∈N)有且只有两个不动点 0 ,2 ,且f( -2 ) <-12 .( 1 )求函数 f(x)的解析式 ;( 2 )已知各项不为零的数列 {an}满足4Sn·f 1an =1 ,其中Sn 是数列 {an}的前n项和 ,求数列通项an.( 3 )如果数列 {an}满足a1 =4,an+1 =f(an) ,求证 :当n≥ 2时 ,恒有an <3成立 .一、分析与评述( 1 )分析 :由f( 0 ) =0 ,可得a=0 ,①又由 f( 2 ) =2可得 ,2b =c+2 ,②再由 f( -2 ) <-12 可得 ,2… 相似文献
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构造法是一种创造性的数学方法 ,它通过在条件和结论之间建立中转站 ,使条件迅速向结论转化 ,不但可以培养人的创造性思维 ,而且更能让人领悟到数学的无穷乐趣和魅力 .这里略举几例 :例 1 已知a ,b ,c∈R ,a +b+c =m ,a2 +b2 +c2 =m22 (m >0 ) ,求证 :0 ≤a≤2m3 .分析 此题关键在于利用已知条件 ,建立a的不等式 ,解得a的最大值 .这里可以消去c得到b的一元二次方程 ,再利用b∈R和Δ≥ 0 ,可以得到a的不等式 ,从而得证 .若构造关于b、c的二次函数 ,则更妙 .解 令f(x) =(x-b) 2 +(x-c) 2 ,则f(x) =2x2 -2… 相似文献
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王翔 《中学生数理化(高中版)》2003,(1):11-11
例 1 已知函数 f(x) =1x2 + (a - 4 )x + 4 - 2a,若a∈ [- 1,1],则 f(x)的定义域为 ( ) .A .( 1,3) B .( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) C .( 1,2 ) D .( -∞ ,1)∪ ( 2 ,+∞ )解 :原命题可等价转化为 :若a∈ [- 1,1],求x的取值范围 ,使x2 + (a - 4 )x +4 - 2a >0恒成立 .这样不妨令函数T(a) =(x - 2 )a +x2 - 4x + 4 .由题意可知 T( 1) >0 ,T( - 1) >0 ,即 x2 - 3x + 2 >0 ,x2 - 5x + 6 >0 .x∈ ( -∞ ,1)∪ ( 3,+∞ ) ,故选B .分析 :上面错解在一些师生中广为流传 ,因此有必要予以纠正 .求含参数的… 相似文献
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《高中数学教与学》2003,(8):21-26
一、选择题 (本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共60分 ,在每小题给出的 4个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1 如果函数 y=ax2 +bx+a的图象与x轴有两个交点 ,则点 (a,b)在aOb平面上的区域 (不包含边界 )为 ( )2 抛物线 y=ax2 的准线方程是 y=2 ,则a的值为 ( ) (A) 18 (B) -18 (C) 8 (D) -83 已知x∈ -π2 ,0 ,cosx =45,则tan 2x=( ) (A) 72 4 (B) -72 4 (C) 2 47 (D) -2 474 设函数 f(x) =2 -x-1 ,x ≤ 0 ,x1 2 , x >0 .若 f(x0 )>1 ,则x0 的取值范围是 (… 相似文献
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构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一 利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1 已知a、b、c∈R ,且a b c =1,求证 :abc 1abc≥ 2 712 7.证明 令 f(x) =x 1x ,取 0 <x1<x2 <1,则f(x2 ) - f(x1) =(x2 -x1) 1x2 - 1x1=(x2 -x1) 1- 1x1x2 <0 ,所以 f(x)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <abc≤ a b c33=12 7,∴f(abc) ≥ f 12 … 相似文献
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在涉及反函数的一些问题中 ,有时不求反函数 ,反而可以更准确更快捷地解题 .一、求值例 1 若f(x) =3x-4 ,则f- 1 ( 2 ) =.解 设f- 1 ( 2 ) =a ,则f(a) =2 ,即3a-4 =2 ,a=2 ,∴f- 1 ( 2 ) =2 .例 2 已知f(x) =x2 (x≥ 1) ,又f- 1 (m)= 4,则m =.分析 ∵f- 1 (m) =4,∴f( 4 ) =m ,∴m =42 =16.例 3 若f(x) =3x2 +2 (x ≥ 0 ) ,则f- 1 [f( 2 ) ] = .分析 应用结论 :若函数y=f(x) (x∈A ,y∈C)存在反函数y =f- 1 (x) ,则f[f- 1 (x) ] =x(x∈C) ,f- 1 [f(x) ] =x(x∈A) .由上易知f- 1 … 相似文献
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本文用初等方法导出函数 f(x) =ax b cx d(a >0 ,c<0 )的几个优美性质。1 f(x)不是单调函数显然 ,函数的定义域为 [-ba ,-dc]。任给x1、x2 ∈ [-ba ,-dc],且x1<x2 ,则f(x1) -f(x2 ) =(ax1 b cx1 d) -(ax2 b cx2 d)=(ax1 b 相似文献
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函数是贯穿于初等数学的一根主线 ,函数思想是数学思想方法的重要组成部分 .函数思想的实质是剔除问题的非数学特征 ,用联系变化的观点提出数学对象 ,抽象其数量特征 ,建立函数关系 .下列举例说明函数思想在解题中的重要性和广泛的应用性 .例 1 设a、b、c∈R ,且a2 ≤ 1 ,b2 ≤ 1 ,c2 ≤ 1 .求证 :ab bc ca 1≥ 0证明 :构造一次函数f(x) =(a c)x ca 1若a c=0 ,由于-1 ≤ac≤ 1 ,有ac 1≥ 0 .即f(x) ≥ 0若a c≠ 0 ,f(1 ) =a c ca 1=(1 a) (1 c) ≥ 0 .f(-1 ) =-(a c) ca 1 =(1 -a)… 相似文献