第53届IMO预选题（四）

1．设A为整数集合,若对于任意的x、y∈A（允许x、y相同）,及每个整数k,均有戈。＋kxy＋y2∈A,则称集合A是“允许的”．求所有非零整数数对（m,n,）,使得包含m、n的唯一允许的集合是由所有整数构成的．     

第53届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第4题． 2．设Z和Q分别为整数集和有理数集．（1）是否能将Z分拆成三个非空子集A、层、C,使得A＋B、B＋C、C＋A两两不交？     

第54届IMO预选题（二）

1．已知n为正整数．求满足下述性质的最小正整数k：给定任意实数a1,a2,…,ad,且a1＋a2＋…＋ad=n（0≤ni≤1,i=1,2,…,d）,总能将这些数拆分为k组（某些组可以是空的）,使得每组中的数的和最大为1．     

第49届IMO预选题（二）

组合部分 1．考虑平面上边平行于坐标轴的矩形（长和宽均大于0），并称这样的一个矩形为一个“箱子”．如果两个箱子有公共点（包括箱子的内部或边界上的公共点），则称两个箱子“相交”．求最大的正整数n，使得存在n个箱子B1，B2，…，Bn，满足Bi与Bj相交当且仅当i j±1（mod n）．     

第50届IMO预选题（二）

1．有2009张卡片,每张卡片一面为金色,另一面为黑色,且在一张长桌子上排成一排．开始时,所有卡片的金色面朝上．两个玩家站在桌子的同侧,且交替地进行操作．每次操作规则如下：选择相邻的50张卡片,且最左边的一张卡片的金色面朝上,其翻转卡片,使得金色面朝上的变为黑色面朝上,黑色面朝上的变为金色面朝上,并规定最后一个按上述规则操作的玩家获胜．问：     

第52届IMO预选题（二）

组合部分1．本届IMO第4题．2．设1000名学生围成一个圈．证明：存在正整数k（100≤k≤300）,使得在此圈中存在相邻的2k名学生,满足前面的k名学生与后面的k名学生中包含女生的数目相同．     

第48届IMO预选题（一）

数论部分 1.求所有的正整数对(k,n),使得(7k-3n)|(k4 n2). 2.设b、n是大于1的整数.若对每一个大于1的正整数k,都存在一个整数ak,使得k|(b-ank),证明:存在整数A,使得b＝An.     

第54届IMO预选题（四）

数论部分 1．求所有函数f：Z＋→Z＋,使得对于所有正整数m、n,均有（m^2＋f（n））｜（mf（m）＋n）．     

第49届IMO预选题（四）

数论部分 1.设n是一个正整数,p是一个质数.证明:如果整数a、b、c(不必是正的)满足an+pb=bn+pc=cn+pa, 则a=b=c.     

第51届IMO预选题（三）

几合部分 1．设锐角△ABC边BC、CA、AB上的高的垂足分别为D、E、F,直线EF与△ABC的外接圆的一个交点为P,直线BP与DF交于点Q．证明：AP=AQ．     

第48届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知等腰△ABC,AB=AC,M为边BC的中点,X是△ABM外接圆的劣弧MA^上的一个动点,T是∠BMA内的一点,且满足∠TMX=90°,TX=BX．证明：∠MTB-∠CTM的值不依赖于点X．     

第54届IMO预选题（三）

几何部分 1．本届IMO第4题． 2．已知△ABC的外接圆Г,边AB、AC的中点分别为M、N,圆Г不含点A的弧BC的中点为T,△AMT、△ANT的外接圆与边AC、AB的中垂线分别交于点X、Y,且X、Y在△ABC的内部,若直线MN与XY交于点K,证明：KA=KT．     

第48届IMO预选题（四）

1．已知n是大于1的整数．求满足下列条件的所有数列a1,a2,…,an^2＋n.     

第49届IMO预选题（三）

1．本届IMO第1题． 2．已知梯形ABCD满足AB∥CD,在CB的延长线上有一点E,在线段AD上有一点F,使得∠DAE=∠CBF．设直线CD、AB与朋分别交于点I,J,线段EF的中点为K,且K不在直线AB上,证明：点I在△ABK的外接圆上的充分必要条件是点K在△CDJ的外接圆上．     

第49届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第4题． 2．本届IMO第2题．     

第50届IMO预选题（一）

代数部分 1．求最大的整数k,使得下列命题为真．已知任意2009个非退化的三角形．将每个三角形的三边染上颜色,且一条边染上蓝色,一条边染上红色,一条边染上白色．     

第52届IMO预选题（一）

代数部分 1．本届IMO第1题． 2．求所有正整数数列x1,x2,…,x2011,使得对于每个正整数n,都存在整数a满足